高考數學大二輪總復習與增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第1講 集合與常用邏輯用語練習 文
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第1講集合與常用邏輯用語1(2016課標全國乙改編)設集合Ax|x24x30,則AB_.答案x|x3解析由Ax|x24x30x|1x0,得ABx|x32(2016北京改編)設a,b是向量,則“|a|b|”是“|ab|ab|”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案既不充分也不必要解析若|a|b|成立,則以a,b為鄰邊構成的四邊形為菱形,ab,ab表示該菱形的對角線,而菱形的對角線不一定相等,所以|ab|ab|不一定成立;反之,若|ab|ab|成立,則以a,b為鄰邊構成的四邊形為矩形,而矩形的鄰邊不一定相等,所以|a|b|不一定成立,所以“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要條件3(2016.浙江改編)命題“xR,nN*,使得nx2”的否定形式是_答案xR,nN*,使得nx2解析原命題是全稱命題,條件為xR,結論為nN*,使得nx2,其否定形式為存在性命題,條件中改量詞,并否定結論1.集合是高考必考知識點,經常以不等式解集、函數的定義域、值域為背景考查集合的運算,近幾年有時也會出現一些集合的新定義問題.2.高考中考查命題的真假判斷或命題的否定,考查充要條件的判斷.熱點一集合的關系及運算1集合的運算性質及重要結論(1)AAA,AA,ABBA.(2)AAA,A,ABBA.(3)A(UA),A(UA)U.(4)ABAAB,ABABA.2集合運算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集,用數軸求解;(2)若已知的集合是點集,用數形結合法求解;(3)若已知的集合是抽象集合,用Venn圖求解例1(1)已知集合Mx|x22x80,集合Nx|lg x0,則MN_.(2)若集合A,B,則集合AB_.答案(1)x|1x4(2)x|0x3解析(1)Mx|2x4,Nx|x1,考查交集的定義,畫出數軸(圖略)可以看出MNx|1x4(2)因為A,B,所以ABx|0x3思維升華(1)關于集合的關系及運算問題,要先對集合進行化簡,然后再借助Venn圖或數軸求解(2)對集合的新定義問題,要緊扣新定義集合的性質探究集合中元素的特征,將問題轉化為熟悉的知識進行求解,也可利用特殊值法進行驗證跟蹤演練1(1)已知集合Ax|x210,B1,2,5,則AB_.(2)已知集合Ax|x2k1,kZ,Bx|0x5,則AB_.答案1(2)1,3解析(1)Ax|x210x|x11,1,AB1(2)因為Ax|x2k1,kZ為奇數集,所以AB1,3熱點二四種命題與充要條件1四種命題中原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假2若pq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若pq,則p,q互為充要條件例2(1)下列命題:已知m,n表示兩條不同的直線,表示兩個不同的平面,并且m,n,則“”是“mn”的必要不充分條件;不存在x(0,1),使不等式log2xlog3x成立;“若am2bm2,則aN”是“l(fā)og2Mlog2N”成立的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案(1)(2)必要不充分解析(1)當時,n可以是平面內任意一直線,所以得不到mn.當mn時,m,所以n,從而,故“”是“mn”的必要不充分條件,所以正確log2x,log3x,因為lg 2,當x(0,1)時,即log2xlog3x恒成立,所以錯誤中原命題的逆命題為:若ab,則am2MN,不能推出log2Mlog2N,所以不是充分條件,因為log2Mlog2N,ylog2x是增函數,所以MN,故“MN”是“l(fā)og2Mlog2N”成立的必要不充分條件思維升華充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法:正、反方向推理,若pq,則p是q的充分條件(或q是p的必要條件);若pq,且q p,則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)(2)集合法:利用集合間的包含關系例如,若AB,則A是B的充分條件(B是A的必要條件);若AB,則A是B的充要條件(3)等價法:將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題跟蹤演練2(1)下列四個結論中正確的個數是_“x2x20”是“x1”的充分不必要條件;命題:“xR,sin x1”的否定是“x0R,sin x01”;“若x,則tan x1”的逆命題為真命題;若f(x)是R上的奇函數,則f(log32)f(log23)0.(2) “a1”是“(a1)x2對x(1,)恒成立”的_條件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)答案(1)1(2)充分不必要解析(1)對于,x2x20x1或x0”是“x1”的必要不充分條件,所以錯誤;對于,“若x,則tan x1”的逆命題為“若tan x1,則x”,tan x1推出的是xk,kZ,所以錯誤對于,log32log23,所以錯誤正確(2)a1時,a12,而x1,因此(a1)x2,既充分性成立;反之,a1時,(a1)x2對x(1,)也恒成立,因此必要性不成立熱點三邏輯聯(lián)結詞、量詞1命題pq,只要p,q有一真,即為真;命題pq,只有p,q均為真,才為真;綈p和p為真假對立的命題2命題pq的否定是(綈p)(綈q);命題pq的否定是(綈p)(綈q)3“xM,p(x)”的否定為“x0M,綈p(x0)”;“x0M,p(x0)”的否定為“xM,綈p(x)”例3(1)設p,q是兩個命題,如果綈(pq)是真命題,那么p是_命題,q是_命題(2)已知命題p:“x1,2,x2a0”,命題q:“x0R,x2ax02a0”若命題“(綈p)q”是真命題,則實數a的取值范圍是_答案(1)假假(2)(1,)解析(1)由綈(pq)是真命題可得pq是假命題,由真值表可得p是假命題且q是假命題(2)命題p為真時a1;“x0R,x2ax02a0”為真,即方程x22ax2a0有實根,故4a24(2a)0,解得a1或a2.(綈p)q為真命題,即(綈p)真且q真,即a1.思維升華(1)命題的否定和否命題是兩個不同的概念:命題的否定只否定命題的結論,真假與原命題相對立;(2)判斷命題的真假要先明確命題的構成由命題的真假求某個參數的取值范圍,還可以考慮從集合的角度來思考,將問題轉化為集合間的運算跟蹤演練3(1)已知命題p:存在x1,2,使得x2a0,命題q:指數函數y(log2a)x是R上的增函數,若命題“p且q”是真命題,則實數a的取值范圍是_(2)命題p:bR,使直線yxb是曲線yx33ax的切線若綈p為真,則實數a的取值范圍是_答案(1)(2)(,)解析(1)當p為真時,ax2在x上有解,所以amax4,當命題q為真時,應有l(wèi)og2a1,所以a2,由于命題“p且q ”是真命題,所以p,q都真,從而a.(2)由yx33ax得y3x23a3a.因為命題“bR使直線yxb是曲線yx33ax的切線”是假命題,所以直線yxb的斜率13a,),即13a,解得a.1已知函數f(x)的定義域為M,g(x)ln(1x)的定義域為N,則M(RN)_.押題依據集合的運算在歷年高考中的地位都很重要,已成為送分必考試題集合的運算常與不等式(特別是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函數的定義域、函數的值域等知識相交匯答案x|x0x|1x0x|x1,RNx|x1,M(RN)x|1x1x|x1x|x0,可知錯誤同理,可證得和都是正確的3設R,則“0”是“f(x)cos(x)(xR)為偶函數”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)押題依據充分、必要條件的判定一直是高考考查的重點,該類問題必須以其他知識為載體,綜合考查數學概念答案充分不必要解析當0時,f(x)cos(x)cos x為偶函數成立;但當f(x)cos(x)為偶函數時,k,kZ,所以0時,必要性不成立4給出下列四個命題,其中正確的命題的個數為_函數ysin 2xcos 2x在x上的單調遞增區(qū)間是;a1,a2,b1,b2均為非零實數,集合Ax|a1xb10,Bx|a2xb20,則“”是“AB”的必要不充分條件;若pq為真命題,則pq也為真命題;命題x0R,xx010的否定為xR,x2x10(1,),Bx|x10(,1),AB;必要性成立:ABa1a20;pq為真命題時,p,q不一定全真,因此pq不一定為真命題;命題x0R,xx012,Bx|x26x80,則(UA)B_.答案x|22x|x3或x1,所以UAx|1x3,集合Bx|x26x80x|2x4,所以(UA)B為x|2x33命題“x2,),x31”的否定為_答案x02,),x030,164a22.7已知命題p:0,若p是q的充分不必要條件,則實數a的取值范圍是_答案(,1解析由p:1,得0,1x1,而p是q的充分不必要條件,即pq,qD/p,所以a1,a1.8給出以下四個命題,其中為假命題的是_R,函數f(x)sin(2x)都不是偶函數;,R,使cos()cos cos ;向量a(2,1),b(3,0),則a在b方向上的投影為2;“|x|1”是“x1”的既不充分也不必要條件答案解析對于,當時,函數f(x)sin(2x)cos 2x是偶函數,該命題是假命題;對于,當,時,cos()cos cos ,所以該命題是真命題;對于,a在b方向上的投影為|a|cosa,b2,所以該命題為真命題;對于,由|x|1,當x1時,x1不成立,由x1得不出|x|1,所以“|x|1”是“x1”的既不充分也不必要條件,所以該命題為真命題9已知集合Mx|x24,Nx|x22x30,則集合MN_.答案x|1x2解析解不等式可得Mx|x24x|2x2,Nx|x22x30x|1x3,由交集的計算方法可得,MNx|1x210已知集合Ax|1x5,Bx|m51”是“函數f(x)axcos x在R上單調遞增”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析f(x)axcos x在R上單調遞增f(x)asin x0在R上恒成立a(sin x)max1,所以“a1”是“函數f(x)axcos x在R上單調遞增”的充分不必要條件12給出下列四個命題:命題“若,則cos cos ”的逆否命題;“x0R,使得xx00”的否定是:“xR,均有x2x0”的否定應是:“xR,均有x2x0”,故錯;對于,因為由“x24”得x2,所以“x24”是“x2”的必要不充分條件,故錯;對于,p,q均為真命題,由真值表判定p且q為真命題,故正確B組能力提高13有下列命題:ycoscos的圖象中相鄰兩個對稱中心的距離為;y的圖象關于點對稱;關于x的方程ax22ax10有且僅有一個實根,則a1;命題p:對任意xR,都有sin x1;則綈p:存在xR,使得sin x1.其中真命題的序號是_答案解析因為ycoscoscoscossincossincos 2x,周期為,所以其圖象中相鄰兩個對稱中心的距離為,故為假命題;由于y1,其圖象關于點對稱,故為假命題;由于關于x的方程ax22ax10有且僅有一個實根,所以a0且24a0,解得:a1或a0(舍去),故為真命題;由于命題p:對任意xR,都有sin x1,因為全稱命題的否定是存在性命題,所以綈p:存在xR,使得sin x1,故為真命題14已知圓C的方程為(x1)2y2r2 (r0),若p:1r3;q:圓C上至多有3個點到直線xy30的距離為1,則p是q的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析由點到直線的距離公式,得圓心(1,0)到直線xy30的距離為2,故0r1時,圓上到直線的距離為1的點為0個;r1時,圓上有1個點滿足;1r3時,圓上有4個點滿足15給出以下四種說法,其中錯誤的是_命題“若x1,則x23x20”的逆否命題是“若x23x20,則x1”;“x2”是“x23x20”的充分不必要條件;若“命題p:xR,x2x10”,則“綈p:x0R,xx010”;若“pq”為真命題,則p,q均為真命題答案解析對于若“pq”為真命題,則p,q中至少有一個為真命題,錯誤16已知集合M,若3M,5M,則實數a的取值范圍是_答案(9,25解析集合M,得(ax5)(x2a)0時,原不等式可化為(x)0,若,只需滿足解得1a,只需滿足解得9a25,當a0時,不符合條件,綜上,答案為(9,2517對于集合M,定義函數fM(x)對于兩個集合A,B,定義集合ABx|fA(x)fB(x)1已知A2,4,6,8,10,B1,2,4,8,12,則用列舉法寫出集合AB的結果為_答案1,6,10,12解析要使fA(x)fB(x)1,必有xx|xA且xBx|xB且xA1,6,10,12,所以AB1,6,10,12- 配套講稿:
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