高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題練習 文
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第3講數(shù)列的綜合問題1(2016浙江)設數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24,an12Sn1,nN*,則a1_,S5_.答案1121解析由解得a11,a23,當n2時,由已知可得:an12Sn1,an2Sn11,得an1an2an,an13an,又a23a1,an是以a11為首項,以q3為公比的等比數(shù)列S5121.2(2016四川)已知數(shù)列an的首項為1,Sn為數(shù)列an的前n項和,Sn1qSn1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a22成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項公式;(2)設雙曲線x21的離心率為en,且e2,證明:e1e2en.(1)解由已知,Sn1qSn1,Sn2qSn11,兩式相減得an2qan1,n1.又由S2qS11得a2qa1,故an1qan對所有n1都成立所以數(shù)列an是首項為1,公比為q的等比數(shù)列從而anqn1.由2a2,a3,a22成等差數(shù)列,可得2a33a22,即2q23q2,則(2q1)(q2)0,由已知,q0,故q2.所以an2n1(nN*)(2)證明由(1)可知,anqn1.所以雙曲線x21的離心率en.由e2,解得q.因為1q2(k1)q2(k1),所以qk1(kN*)于是e1e2en1qqn1.故e1e2en.1.數(shù)列的綜合問題,往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合,探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實際應用問題相結(jié)合,考查數(shù)學建模和數(shù)學應用.熱點一利用Sn,an的關(guān)系式求an1數(shù)列an中,an與Sn的關(guān)系:an.2求數(shù)列通項的常用方法(1)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項公式(2)在已知數(shù)列an中,滿足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項an.(3)在已知數(shù)列an中,滿足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累積法求數(shù)列的通項an.(4)將遞推關(guān)系進行變換,轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)例1已知數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sn2an2n,則Sn_.答案n2n解析由Sn2an2n,得S1a12a12,a12,Sn2(SnSn1)2n (n2),則Sn2Sn12n (n2),1(n2),所以是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以n1n,故Snn2n.思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.跟蹤演練1已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn,則數(shù)列an的通項公式是_答案an2n解析Sn,當n1時,a1S1,解得a12或a10(舍去)當n2時,由anSnSn1aa2(anan1),因為an0,所以anan10,則anan12,所以數(shù)列an是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,故an2n.熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景,給出數(shù)列所滿足的條件,通常利用點在曲線上給出Sn的表達式,還有以曲線上的切點為背景的問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關(guān)系,將條件進行準確的轉(zhuǎn)化數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體,考查最值問題,不等關(guān)系或恒成立問題例2已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,S1,S3,S2成等差數(shù)列,且a1a33.(1)求an的通項公式an;(2)求Sn,并求滿足Sn2的n的值解(1)設等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q.依題意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2),由于a10,故2q2q0,又q0,從而q,由已知可得a1a1()23,故a14,an4()n1.(2)由(1)得a14,q,Sn1()n,由Sn1()n2得()n,當n為奇數(shù)時不滿足,當n為偶數(shù)時,()n遞減,()n.滿足()n的n的值為2,即滿足Sn2的n的值為2.思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點:(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),函數(shù)定義域是正整數(shù),在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視;(2)解題時準確構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件;(3)不等關(guān)系證明中進行適當?shù)姆趴s跟蹤演練2若數(shù)列an的前n項和為Sn,點(an,Sn)在yx的圖象上(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若c10,且對任意正整數(shù)n都有cn1cnan.求證:對任意正整數(shù)n2,總有.(1)解Snan,當n2時,anSnSn1an1an,anan1.又S1a1,a1,an()n1()2n1.(2)證明由cn1cnan2n1,得當n2時,cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)035(2n1)n21(n1)(n1)(1)()()()(1)()().又,原式得證熱點三數(shù)列的實際應用用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題,關(guān)鍵是合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型,弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型,它的首項是什么,項數(shù)是多少,然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題求解時,要明確目標,即搞清是求和,還是求通項,還是解遞推關(guān)系問題,所求結(jié)論對應的是解方程問題,還是解不等式問題,還是最值問題,然后進行合理推算,得出實際問題的結(jié)果例3自從祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來,在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園,臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務,某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M,M的價值在使用過程中逐年減少,從第二年到第六年,每年年初M的價值比上年年初減少10萬元,從第七年開始,每年年初M的價值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價值an的表達式;(2)設An,若An大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年年初對M更新,證明:必須在第九年年初對M更新(1)解當n6時,數(shù)列an是首項為120,公差為10的等差數(shù)列,故an12010(n1)13010n,當n7時,數(shù)列an從a6開始的項構(gòu)成一個以a61306070為首項,以為公比的等比數(shù)列,故an70()n6,所以第n年年初M的價值an(2)證明設Sn表示數(shù)列an的前n項和,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式,得當1n6時,Sn120n5n(n1),An1205(n1)1255n9580,當n7時,由于S6570,故Sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因為an是遞減數(shù)列,所以An是遞減數(shù)列因為An,A882.73480,A976.8231時,求使TnSn3成立的最小正整數(shù)n的值押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識,第(1)問考查反證法的數(shù)學方法及邏輯推理能力,第(2)問是高考的熱點問題,即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合,其中將求數(shù)列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相消法”結(jié)合在一起,考查了綜合分析問題、解決問題的能力解(1)若數(shù)列an是等比數(shù)列,則由n1得a1S1ka2,從而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3,于是a10,顯然矛盾,故數(shù)列an不是等比數(shù)列(2)由條件得解得從而Snan1.當n2時,由Sn1an,得anSnSn1an1an,即an12an,此時數(shù)列是首項為a2、公比為2的等比數(shù)列綜上所述,數(shù)列an的通項公式為an從而其前n項和Sn2n2 (nN*)由得bnn2,從而cnn2n2.記C1,記C2121220n2n2,則2C2120221n2n1,兩式相減得C2(n1)2n1,從而Tn(n1)2n1(n1)2n1,則不等式TnSn3可化為2n10,因為nN*,故n9,從而最小正整數(shù)n的值是10.A組專題通關(guān)1在一個有窮數(shù)列每相鄰兩項之間添加一項,使其等于兩個相鄰項的和,我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴展”已知數(shù)列1,2.第一次“H擴展”后得到1,3,2;第二次“H擴展”后得到1,4,3,5,2.那么第10次“H擴展”后得到的數(shù)列的項數(shù)為()A1 023 B1 025C513 D511答案B解析設第n次“H擴展”后得到的數(shù)列的項數(shù)為an,則第n1次“H擴展”后得到的數(shù)列的項數(shù)為an12an1,an112(an1),2.又a11312,an1是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,an122n1,an2n1,a1021011 025.故選B.2在數(shù)列an中,an1ana (nN*,a為常數(shù)),若平面上的三個不共線的非零向量,滿足a1a2 016,三點A,B,C共線且該直線不過O點,則S2 016等于()A1 007 B1 008C2 016 D2 012答案B解析a1a2 016,且三點A,B,C共線,必有a1a2 0161,又an1ana,an1ana為常數(shù),故數(shù)列an為等差數(shù)列,故S2 0161 008,故選A.3已知函數(shù)yf(x)對任意自變量x都有f(x1)f(1x),且函數(shù)f(x)在1,)上單調(diào)若數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列,且f(a6)f(a20),則an的前25項之和為()A0 B.C25 D50答案C解析由已知函數(shù)關(guān)系可知a6a202,又an是等差數(shù)列,所以a6a20a5a21a4a22a3a23a2a24a1a25a7a19a8a18a9a17a10a16a11a15a12a142a132,所以數(shù)列的前25項和為122125,故選C.4今有女善織,日益功疾,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第1天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計)共織390尺布,則每天比前一天多織的布的尺數(shù)為(不作近似計算)()A. B.C. D.答案C解析由題意可知,該女每天的織布量成等差數(shù)列,首項是5,公差為d,前30項和為390.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式,有390305d,解得d.5已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足ax,且f(x)g(x)f(x)g(x),若有窮數(shù)列 (nN*)的前n項和等于,則n等于()A5 B6 C7 D8答案A解析令h(x),則h(x)0,故函數(shù)h(x)為減函數(shù),即0a0,其前n項和為Sn,若S312,且2a1,a2,1a3成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)記bn (nN*),且數(shù)列bn的前n項和為Tn,證明:Tn0,d3,a11.數(shù)列an的通項公式an13(n1)3n2.(2)證明bn(),Tnb1b2b3bn(1)()()(1).nN*,0,故Tn,又Tn為單調(diào)遞增,當n1時,取最小值,故Tn.B組能力提高112008年5月18日某愛心人士為一位孤兒去銀行存款a元,存的是一年定期儲蓄;2009年5月18日他將到期存款的本息一起取出,再加a元后,還存一年的定期儲蓄,此后每年5月18日都如此,假設銀行一年定期儲蓄的年利率r不變,直到2015年5月18日這位孤兒準備上大學時,他將所有的存款和利息全部取出并且資助給這位孤兒,則取出的錢數(shù)共為()Aa(1r)7元Ba(1r)7(1r)元C.(1r)7r元D.(1r)8(1r)元答案D解析由題意,2009年5月18日的存款為a(1r)a元;2010年5月18日的存款為a(1r)2a(1r)a元;2011年5月18日的存款為a(1r)3a(1r)2a(1r)a元;2012年5月18日的存款為a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)a元;2013年5月18日的存款為a(1r)5a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)a元;2014年5月18日的存款為a(1r)6a(1r)5a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)a元;到2015年5月18日他所有的存款和本息為a(1r)7a(1r)6a(1r)5a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)(1r)8(1r)元12已知函數(shù)f(x)x2(a8)xa2a12,且f(a24)f(2a8),設等差數(shù)列an的前n項和為Sn (nN*),若Snf(n),則的最小值為()A. B.C. D.答案D解析由題意可得a242a8或a242a82(),解得a1或a4,當a1時,f(x)x29x10,數(shù)列an不是等差數(shù)列;當a4時,f(x)x24x,Snf(n)n24n,a15,a27,an5(75)(n1)2n3,1,當且僅當n1,即n1時取等號,n為正數(shù),故當n3時原式取最小值,故選D.13對于數(shù)列an,若m,nN* (mn),都有t (t為常數(shù))成立,則稱數(shù)列an具有性質(zhì)P(t)(1)若數(shù)列an的通項公式為an2n,且具有性質(zhì)P(t),則t的最大值為_;(2)若數(shù)列an的通項公式為ann2,且具有性質(zhì)P(10),則實數(shù)a的取值范圍是_答案(1)2(2)36,)解析(1)t0,所以數(shù)列antn是遞增數(shù)列,即an1t(n1)(antn)0.因為an2n,所以上式化簡為t2n,得t2,故t的最大值為2.(2)由已知條件得100.所以數(shù)列an10n是遞增數(shù)列,即an110(n1)(an10n)0.因為ann2,所以上式化簡為an(n1)(2n9),令f(n)n(n1)(2n9),由三次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知f(n)min為f(1)或f(2)或f(3)或f(4)f(1)14,f(2)30,f(3)36,f(4)20.所以f(n)min36,所以a36a36,故a的取值范圍為36,)14數(shù)列an的通項an是關(guān)于x的不等式x2xnx的解集中正整數(shù)的個數(shù),f(n).(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bn,求數(shù)列bn的前n項和Sn;(3)求證:對n2且nN*恒有f(n)1.(1)解x2xnx等價于x(xn1)0,解得x(0,n1),其中有正整數(shù)n個,于是ann.(2)解bnnn,Snb1b2bn122nn,Sn1223nn1,兩式相減得,Sn23nnn11nnn1,故Sn2n1nn.(3)證明f(n)0,故f(n1)f(n),當n2且nN*時,f(n)為增函數(shù),f(n)f(2),綜上可知f(n)1.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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