解析幾何大題帶答案.doc

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三、解答題 26.（江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k （1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值； （2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； （3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，滿分16分. 解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過坐標(biāo) 原點(diǎn)，所以 （2）直線PA的方程 解得 于是直線AC的斜率為 （3）解法一： 將直線PA的方程代入 則 故直線AB的斜率為 其方程為 解得. 于是直線PB的斜率 因此 解法二： 設(shè). 設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因?yàn)镃在直線AB上，所以 從而 因此 28. （北京理19） 已知橢圓.過點(diǎn)（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點(diǎn). （I）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； （II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 離心率為 （Ⅱ）由題意知，. 當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為 此時(shí) 當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得 當(dāng)時(shí)，設(shè)切線l的方程為 由 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則 又由l與圓 所以 由于當(dāng)時(shí)， 所以. 因?yàn)? 且當(dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2. 32.（湖南理21） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。 （Ⅰ）求C1，C2的方程； （Ⅱ）設(shè)C2與y軸的焦點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C2相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E． （i）證明：MD⊥ME; （ii）記△MAB,△MDE的面積分別是．問：是否存在直線l,使得?請(qǐng)說明理由。 解 ：（Ⅰ）由題意知 故C1，C2的方程分別為 （Ⅱ）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為. 由得 . 設(shè)是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME. （ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 又直線MB的斜率為， 同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 于是 由得 解得 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 又直線ME的斜率為，同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為 于是. 因此 由題意知， 又由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知， 故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為 34.（全國大綱理21） 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 （Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上． 解： （I）F（0，1），的方程為， 代入并化簡得 …………2分 設(shè) 則 由題意得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)P的坐標(biāo)為滿足方程 故點(diǎn)P在橢圓C上。 …………6分 （II）由和題設(shè)知， PQ的垂直平分線的方程為 ① 設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，AB的垂直平分線為的方程為 ② 由①、②得的交點(diǎn)為。 …………9分 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四點(diǎn)在以N為圓心，NA為半徑的圓上 …………12分 36.（山東理22） 已知?jiǎng)又本€與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). （Ⅰ）證明和均為定值; （Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值； （Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由. （I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱， 所以 因?yàn)樵跈E圓上， 因此 ① 又因?yàn)? 所以 ② 由①、②得 此時(shí) （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 由題意知m，將其代入，得 ， 其中 即 …………（*） 又 所以 因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為 所以 又 整理得且符合（*）式， 此時(shí) 綜上所述，結(jié)論成立。 （II）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)， 由（I）知 因此 （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知 所以 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 綜合（1）（2）得|OM||PQ|的最大值為 解法二： 因?yàn)? 所以 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 因此 |OM||PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得 證明：假設(shè)存在， 由（I）得 因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)， 而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)， 與矛盾， 所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G. 40.（天津理18）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)．已知△為等腰三角形． （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運(yùn)算能力.滿分13分. （I）解：設(shè) 由題意，可得 即 整理得（舍）， 或所以 （II）解：由（I）知 可得橢圓方程為 直線PF2方程為 A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理，得 解得 得方程組的解 不妨設(shè) 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 由 于是 由 即， 化簡得 將 所以 因此，點(diǎn)M的軌跡方程是 42.（重慶理20）如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為． （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：（I）由 解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由 得 因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓上，所以 ， 故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知 因此 所以 所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 14