數(shù)學：第一章《空間幾何體》測試（1）（新人教A版必修2）

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第一章 空間幾何體 一、選擇題 1、下列說法中正確的是(??? ) A.棱柱的側(cè)面可以是三角形 B.正方體和長方體都是特殊的四棱柱 C.所有的幾何體的表面都能展成平面圖形 D.棱柱的各條棱都相等 2、將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括(??? ) A.一個圓臺、兩個圓錐?????????????????????????? B.兩個圓臺、一個圓柱 C.兩個圓臺、一個圓柱?????????????????????????? D.一個圓柱、兩個圓錐 3、過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為(??? ) A.???????????????? ?B.????????????? ?C.??????????? D. 解析：設球半徑為R，截面半徑為r. +r2=R2, ∴r2=. ∴. 4、如圖所示的直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左上角而繪制的，其中正確的是(??? ) 解析：由幾何體的直觀圖畫法及主體圖形中虛線的使用，知A正確. 答案：A 5、長方體的高等于h，底面積等于S，過相對側(cè)棱的截面面積為S′，則長方體的側(cè)面積等于(??? ) A.?????????????????????????? B. C.???????????????????????? D. 參考答案與解析:解析：設長方體的底面邊長分別為a、b，過相對側(cè)棱的截面面積S′=①,S=ab②,由①②得：(a+b)2= +2S,∴a+b=,S側(cè)=2(a+b)h=2h. 答案：C 6、設長方體的對角線長度是4，過每一頂點有兩條棱與對角線的夾角都是60°,則此長方體的體積是(??? ) A.???????????? ????B.????????????? C.????????????? D. 參考答案與解析:解析：設長方體的過一頂點的三條棱長為a、b、c，并且長為a、b的兩條棱與對角線的夾角都是60°，則a=4cos60°=2,b=4cos60°=2. 根據(jù)長方體的對角線性質(zhì)，有a2+b2+c2=42, 即22+22+c2=42.∴c=. 因此長方體的體積V=abc=2×2×=. 答案：B 主要考察知識點:簡單幾何體和球 7、棱錐被平行于底面的平面所截，當截面分別平分棱錐的側(cè)棱、側(cè)面積、體積時，相應的截面面積分別為S1、S2、S3，則(??? ) A.S1＜S2＜S3???????????? B.S3＜S2＜S1?????????? C.S2＜S1＜S3????????? D.S1＜S3＜S2 參考答案與解析:解析：由截面性質(zhì)可知，設底面積為S. ;;可知：S1＜S2＜S3故選A. ???? 用平行于底面的平面截棱錐所得截面性質(zhì)都是一些比例關系：截得面積之比就是對應高之比的平方，截得體積之比，就是對應高之比的立方，所謂“高”，是指大棱錐、小棱錐的高，而不是兩部分幾何體的高. 答案：A 主要考察知識點:簡單幾何體和球 8、正四面體的內(nèi)切球球心到一個面的距離等于這個正四面體高的(??? ) A.????????????????? B.???????????????? C.??????????????? D. 參考答案與解析:解析：球心到正四面體一個面的距離即球的半徑r，連結(jié)球心與正四面體的四個頂點.把正四面體分成四個高為r的三棱錐，所以4× S·r=·S·h,r= h (其中S為正四面體一個面的面積，h為正四面體的高) 答案：C 主要考察知識點:簡單幾何體和球 9、若圓臺兩底面周長的比是1∶4，過高的中點作平行于底面的平面，則圓臺被分成兩部分的體積比是(??? ) A.1∶16?????????????? B.3∶27????????????? C.13∶129?????????? D.39∶129 參考答案與解析:解析：由題意設上、下底面半徑分別為r，4r，截面半徑為x，圓臺的高為2h，則有 , ∴x=. ∴. 答案：D 主要考察知識點:簡單幾何體和球 10、在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是(??? ) A.????????????????? B.?????????????? C.????????????????? D. 參考答案與解析:解析：用共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，所得三棱錐的體積為,故剩下的凸多面體的體積為. 答案：D 主要考察知識點:簡單幾何體和球 11、已知高為3的直棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1-ABC的體積為(??? ) A.??????????????? B.???????????????? C.?????????????? ??D. 參考答案與解析:解析：. 答案：D 主要考察知識點:簡單幾何體和球 12、向高為H的水瓶中注水，注滿為止.如果注水量V與水深h的函數(shù)關系如圖，那么水瓶的形狀是圖中的(??? ) 參考答案與解析:解析：如果水瓶形狀是圓柱，V=πr2h,r不變，V是h的正比例函數(shù)，其圖象應該是過原點的直線，與已知圖象不符.由已知函數(shù)圖可以看出，隨著高度h的增加V也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，體積V的增加量變小，圖象上升趨勢變緩，其原因只能是瓶子平行底的截面的半徑由底到頂逐漸變小. 答案：B 主要考察知識點:簡單幾何體和球 二、填空題 1、下列有關棱柱的說法： ①棱柱的所有的面都是平的； ②棱柱的所有的棱長都相等； ③棱柱的所有的側(cè)面都是長方形或正方形； ④棱柱的側(cè)面的個數(shù)與底面的邊數(shù)相等； ⑤棱柱的上、下底面形狀、大小相等． 正確的有__________. 參考答案與解析:①④⑤ 主要考察知識點:簡單幾何體和球 2、一個橫放的圓柱形水桶，桶內(nèi)的水占底面周長的四分之一，那么當桶直立時，水的高度與桶的高度的比為_________. 參考答案與解析:解析：橫放時水桶底面在水內(nèi)的面積為.V水=,直立時V水=πR2x,∴x:h=(π-2):4π 答案：(π-2):4π 主要考察知識點:簡單幾何體和球 3、一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱柱的表面積為_________. 參考答案與解析:解析：由三視圖知正三棱柱的高為2 cm,由側(cè)視圖知正三棱柱的底面三邊形的高為 cm. 設底面邊長為a，則, ∴a=4. ∴正三棱柱的表面積S=S側(cè)+2S底 =3×4×2+2××4×=8(3+)(cm) 答案：8(3+)(cm). 主要考察知識點:簡單幾何體和球 4、一圓臺上底半徑為5 cm，下底半徑為10 cm，母線AB長為20 cm，其中A在上底面上，B在下底面上，從AB中點M，拉一條繩子，繞圓臺的側(cè)面一周轉(zhuǎn)到B點，則這條繩子最短長為____________. 解析：畫出圓臺的側(cè)面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，扉形圓心角90° 答案：50cm 主要考察知識點:簡單幾何體和球 三、解答題 1、畫出圖中兩個幾何體的三視圖. 參考答案與解析:解析：(1)如下圖 (2)如下圖 主要考察知識點:簡單幾何體和球 2、在圖中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？ 解析：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開輔平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N點，實際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個頂點M到達不相鄰的另一個頂點N.而兩點間以線段的長度最短.所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線. 如圖所示. 主要考察知識點:簡單幾何體和球 3、倒圓錐形容器的軸截面是正三角形，內(nèi)盛水的深度為6 cm，水面距離容器口距離為1 cm，現(xiàn)放入一個棱長為4 cm的正方體實心鐵塊，讓正方體一個面與水平面平行，問容器中的水是否會溢出？ 解析：如圖甲所示： O′P=6 cm,OO′=1 cm.當正方體放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否會溢出，只要比較圓錐中ABCD部分的體積和正方體位于容器口以下部分的體積即能判定. 如圖甲，設水的體積為V1，容器的總?cè)莘e為V，則容器尚余容積為VV1. 由題意得，O′P=6,OO′=1. ∴OP=7,OA2=,O′C2=12, ∴V=πOA2×7=×49π, V1=πO′C2×6=24π. ∴未放入鐵塊前容器中尚余的容積為 V-V1=×49π-24π≈44.3 cm3. 如圖所示，放入鐵塊后，EMNF是以鐵塊下底面對角線作圓錐的軸截面. ∴MN=，∴O1M=，O1P=，∴GM=7-， ∴正方體位于容器口下的體積為 4×4×(7-)=112-≈33.6＜44.3, ∴放入鐵塊后容器中的水不會溢出. 主要考察知識點:簡單幾何體和球 4、棱長為2 cm的正方體容器盛滿水，把半徑為1 cm的銅球放入水中剛好被淹沒.然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應該為多大？ 參考答案與解析:解析：本題考查球與多面體相切問題，解決此類問題必須做出正確的截面(即截面一定要過球心)，再運用幾何知識解出所求量. 過正方體對角面的截面圖如圖所示. AC1=，AO=，AS=AO-OS=， 設小球的半徑r,tan∠C1AC=. 在△AO1D中，AO1=r， ∴AS=AO1+O1S， ∴-1=r+r. 解得：r=2-(cm)為所求. 主要考察知識點:簡單幾何體和球 5、小迪身高1.6 m，一天晚上回家走到兩路燈之間，如圖所示，他發(fā)現(xiàn)自己的身影的頂部正好在A路燈的底部，他又向前走了5 m，又發(fā)現(xiàn)身影的頂部正好在B路燈的底部，已知兩路燈之間的距離為10 m，(兩路燈的高度是一樣的)求： (1)路燈的高度. (2)當小迪走到B路燈下，他在A路燈下的身影有多長？ 參考答案與解析:解:如下圖所示，設A、B為兩路燈，小迪從MN移到PQ，并設C、D分別為A、B燈的底部. 由題中已知得MN=PQ=1.6 m, NQ=5 m,CD=10 m (1)設CN=x，則QD=5-x，路燈高BD為h ∵△CMN∽△CBD, 即 又△PQD∽△ACD 即 由①②式得 x=2.5 m,h=6.4 m, 即路燈高為6.4 m. (2)當小迪移到BD所在線上(設為DH)，連接AH交地面于E. 則DE長即為所求的影長. ∵△DEH∽△CEA 解得DE= m，即影長為 m. 主要考察知識點:簡單幾何體和球 6、如圖1在透明塑料做成的長方體容器中灌進一些水，固定容器的一邊將其傾倒，隨著容器的傾斜度不同，水的各個表面的圖形的形狀和大小也不同.試盡可能多地找出這些圖形的形狀和大小之間所存在的各種規(guī)律(不少于3種). 圖1 參考答案與解析:解析：思考問題時，最好做一個實際的水槽進行演示.下面是可能找到的有關水的各個表面的圖形的形狀和大小之間所存在的規(guī)律： (1)水面是矩形. (2)四個側(cè)面中，一組對面是直角梯形，另一組對面是矩形. (3)水面面積的大小是變化的，如圖2所示，傾斜度越大(即α越小)，水面的面積越大. (4)形狀為直角梯形(如ABDC)的兩個側(cè)面的面積是不變的；這兩個直角梯形全等. (5)側(cè)面積不變. (6)在側(cè)面中，兩組對面的面積之和相等. (7)形狀為矩形的兩個側(cè)面的面積之和為定值. 在圖中，我們可以得到 (8)a+b為定值. (9)如果長方體的傾斜角為α,則水面與底面所成的角為90°-α. (10)底面的面積=水面的面積×cos(90°-α)=水面的面積×sinα.當傾斜度增大，點A在BD上時，有最大值. (11)A與B重合時b=2h(h為原來水面的高度). (12)若容器的高度PD＜2h，當A與B重合時，水將溢出. (13)若A在BD的內(nèi)部，△ADC的面積為定值，即bc為定值. 點評：本題對空間想象能力有一定的要求，我們可以邊操作邊分析，觀察并得出結(jié)論. 主要考察知識點:簡單幾何體和球 第 - 11 - 頁 共 11 頁