人教版第11章 三角形 測試卷（2）

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第11章 三角形 測試卷（2） 一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分） 1．（3分）至少有兩邊相等的三角形是（　　） A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．銳角三角形 2．（3分）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（　?。? A．正方形 B．矩形 C．平行四邊形 D．直角三角形 3．（3分）如圖，∠1=55°，∠3=108°，則∠2的度數(shù)為（　　） A．52° B．53° C．54° D．55° 4．（3分）三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（　?。? A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形 C．直角三角形 D．周長相等的三角形 5．（3分）下列說法不正確的是（　?。? A．三角形的中線在三角形的內部 B．三角形的角平分線在三角形的內部 C．三角形的高在三角形的內部 D．三角形必有一高線在三角形的內部 6．（3分）下列長度的三根小木棒能構成三角形的是（　?。? A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 7．（3分）已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（　　） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．正三角形 8．（3分）試通過畫圖來判定，下列說法正確的是（　　） A．一個直角三角形一定不是等腰三角形 B．一個等腰三角形一定不是銳角三角形 C．一個鈍角三角形一定不是等腰三角形 D．一個等邊三角形一定不是鈍角三角形 9．（3分）如圖，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D為垂足，∠C=55°，則∠ABC的度數(shù)是（　?。? A．35° B．55° C．60° D．70° 10．（3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，點O在AD上，且OE⊥BC于點E，∠BAC=60°，∠C=80°，則∠EOD的度數(shù)為（　?。? A．20° B．30° C．10° D．15° 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分） 11．（3分）已知三角形的兩邊長分別為3和6，那么第三邊長的取值范圍是　?。? 12．（3分）如圖，AD⊥BC于D，那么圖中以AD為高的三角形有　　個． 13．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為D、E、F，則線段　　是△ABC中AC邊上的高． 14．（3分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為　　． 15．（3分）十邊形的外角和是　　°． 16．（3分）若三角形的周長是60cm，且三條邊的比為3：4：5，則三邊長分別為　?。? 　 三、解答題（共8題，共72分） 17．（8分）求正六邊形的每個外角的度數(shù)． 18．（8分）如圖，一個六邊形木框顯然不具有穩(wěn)定性，要把它固定下來，至少要釘上幾根木條，請畫出相應木條所在線段． 19．（8分）觀察以下圖形，回答問題： （1）圖②有　　個三角形；圖③有　　個三角形；圖④有　　個三角形；…猜測第七個圖形中共有　　個三角形． （2）按上面的方法繼續(xù)下去，第n個圖形中有　　個三角形（用n的代數(shù)式表示結論）． 20．（8分）如圖，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求證：AB∥CD． 21．（8分）如圖，在△BCD中，BC=4，BD=5， （1）求CD的取值范圍； （2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度數(shù)． 22．（10分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多5cm，AB與AC的和為11cm，求AC的長． 23．（10分）如圖，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度數(shù)． 24．（12分）（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點A落在點A’處，試探索∠1+∠2與∠A的關系．（不必證明）． （2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點A與點I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度數(shù)； （3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點F，CG⊥AB于點G，BF、CG交于點H，把△ABC折疊使點A和點H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關系，并證明你的結論． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分） 1．（3分）至少有兩邊相等的三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．銳角三角形 【考點】三角形． 【分析】本題需要分類討論：兩邊相等的三角形稱為等腰三角形，該等腰三角形可以是等腰直角三角形，該等腰三角形有可能是銳角三角形，也有可能是鈍角三角形； 當有三邊相等時，該三角形是等邊三角形．等邊三角形是一特殊的等腰三角形． 【解答】解：本題中三角形的分類是： ． 故選：B． 【點評】本題考查了三角形的分類．此題屬于易錯題，同學們往往忽略了等邊三角形是一特殊的等腰三角形，且等腰三角形也可以是銳角三角形、鈍角三角形以及直角三角形． 　 2．（3分）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（　?。? A．正方形 B．矩形 C．平行四邊形 D．直角三角形 【考點】三角形的穩(wěn)定性；多邊形． 【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性進行判斷． 【解答】解：直角三角形具有穩(wěn)定性． 故選：D． 【點評】此題考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，正確掌握三角形的性質是解題關鍵． 　 3．（3分）如圖，∠1=55°，∠3=108°，則∠2的度數(shù)為（　?。? A．52° B．53° C．54° D．55° 【考點】三角形的外角性質． 【專題】探究型． 【分析】直接根據三角形外角的性質進行解答即可． 【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=55°，∠3=108°， ∴∠2=∠3﹣∠1=108°﹣55°=53°． 故選B． 【點評】本題考查的是三角形外角的性質，即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和． 　 4．（3分）三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（　?。? A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形 C．直角三角形 D．周長相等的三角形 【考點】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據三角形的面積公式以及三角形的中線定義，知三角形的一邊上的中線把三角形分成了等底同高的兩個三角形，所以它們的面積相等． 【解答】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形． 故選：B． 【點評】考查了三角形的中線的概念．構造面積相等的兩個三角形時，注意考慮三角形的中線． 　 5．（3分）下列說法不正確的是（　?。? A．三角形的中線在三角形的內部 B．三角形的角平分線在三角形的內部 C．三角形的高在三角形的內部 D．三角形必有一高線在三角形的內部 【考點】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據三角形的中線，角平分線和高線的定義以及在三角形的位置對各選項分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、三角形的中線在三角形的內部正確，故本選項錯誤； B、三角形的角平分線在三角形的內部正確，故本選項錯誤； C、只有銳角三角形的三條高在三角形的內部，故本選項正確； D、三角形必有一高線在三角形的內部正確，故本選項錯誤． 故選C． 【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，是基礎題，熟記概念以及在三角形中的位置是解題的關鍵． 　 6．（3分）下列長度的三根小木棒能構成三角形的是（　?。? A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【考點】三角形三邊關系． 【分析】依據三角形任意兩邊之和大于第三邊求解即可． 【解答】解：A、因為2+3=5，所以不能構成三角形，故A錯誤； B、因為2+4＜6，所以不能構成三角形，故B錯誤； C、因為3+4＜8，所以不能構成三角形，故C錯誤； D、因為3+3＞4，所以能構成三角形，故D正確． 故選：D． 【點評】本題主要考查的是三角形的三邊關系，掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵． 　 7．（3分）已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（　?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．正三角形 【考點】三角形內角和定理． 【分析】根據已知條件和三角形的內角和是180度求得各角的度數(shù)，再判斷三角形的形狀． 【解答】解：∵∠A=20°， ∴∠B=∠C=（180°﹣20°）=80°， ∴三角形△ABC是銳角三角形． 故選A． 【點評】主要考查了三角形的內角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件． 　 8．（3分）試通過畫圖來判定，下列說法正確的是（　　） A．一個直角三角形一定不是等腰三角形 B．一個等腰三角形一定不是銳角三角形 C．一個鈍角三角形一定不是等腰三角形 D．一個等邊三角形一定不是鈍角三角形 【考點】三角形． 【分析】根據三角形的分類方法進行分析判斷．三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；三角形按邊分為不等邊三角形和等腰三角形（等邊三角形）． 【解答】解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故該選項錯誤； B、如等邊三角形，既是等腰三角形，也是銳角三角形，故該選項錯誤； C、如頂角是120°的等腰三角形，是鈍角三角形，也是等腰三角形，故該選項錯誤； D、一個等邊三角形的三個角都是60°．故該選項正確． 故選D． 【點評】此題考查了三角形的分類方法，理解各類三角形的定義． 　 9．（3分）如圖，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D為垂足，∠C=55°，則∠ABC的度數(shù)是（　?。? A．35° B．55° C．60° D．70° 【考點】直角三角形的性質；角平分線的定義． 【分析】根據直角三角形兩銳角互余求出∠CBD，再根據角平分線的定義解答． 【解答】解：∵CD⊥BD，∠C=55°， ∴∠CBD=90°﹣55°=35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°． 故選D． 【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，角平分線的定義，熟記性質是解題的關鍵． 　 10．（3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，點O在AD上，且OE⊥BC于點E，∠BAC=60°，∠C=80°，則∠EOD的度數(shù)為（　　） A．20° B．30° C．10° D．15° 【考點】三角形的角平分線、中線和高；垂線；三角形內角和定理． 【分析】首先根據三角形的內角和定理求得∠B，再根據角平分線的定義求得∠BAD，再根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和求得∠ADC，最后根據直角三角形的兩個銳角互余即可求解． 【解答】解：∵∠BAC=60°，∠C=80°， ∴∠B=40°． 又∵AD是∠BAC的角平分線， ∴∠BAD=∠BAC=30°， ∴∠ADE=70°， 又∵OE⊥BC， ∴∠EOD=20°． 故選A． 【點評】此類題要首先明確思路，考查了三角形的內角和定理及其推論、角平分線的定義． 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分） 11．（3分）已知三角形的兩邊長分別為3和6，那么第三邊長的取值范圍是　大于3小于9　． 【考點】三角形三邊關系． 【分析】根據三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊以及任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍． 【解答】解：∵此三角形的兩邊長分別為3和6， ∴第三邊長的取值范圍是：6﹣3=3＜第三邊＜6+3=9． 故答案為：大于3小于9． 【點評】此題主要考查了三角形三邊關系，根據第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關鍵． 　 12．（3分）如圖，AD⊥BC于D，那么圖中以AD為高的三角形有　6　個． 【考點】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】由于AD⊥BC于D，圖中共有6個三角形，它們都有一邊在直線CB上，由此即可確定以AD為高的三角形的個數(shù)． 【解答】解：∵AD⊥BC于D， 而圖中有一邊在直線CB上，且以A為頂點的三角形有6個， ∴以AD為高的三角形有6個． 故答案為：6 【點評】此題主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形內，所以確定三角形的高比較靈活． 　 13．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為D、E、F，則線段　BE　是△ABC中AC邊上的高． 【考點】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據過三角形的一個頂點向對邊引垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答． 【解答】解：∵BE⊥AC， ∴△ABC中AC邊上的高是BE． 故答案為：BE 【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵． 　 14．（3分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為　6?。? 【考點】多邊形內角與外角． 【專題】計算題． 【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內角和定理即可解決問題． 【解答】解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內角和是外角和的2倍， 則內角和是720度， 720÷180+2=6， ∴這個多邊形是六邊形． 故答案為：6． 【點評】本題主要考查了多邊形的內角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關鍵． 　 15．（3分）十邊形的外角和是　360　°． 【考點】多邊形內角與外角． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】根據多邊形的外角和等于360°解答． 【解答】解：十邊形的外角和是360°． 故答案為：360． 【點評】本題主要考查了多邊形的外角和等于360°，多邊形的外角和與邊數(shù)無關，任何多邊形的外角和都是360°． 　 16．（3分）若三角形的周長是60cm，且三條邊的比為3：4：5，則三邊長分別為　15cm，20cm，25cm?。? 【考點】三角形；一元一次方程的應用． 【分析】先設三角形的三邊長分別為3x，4x，5x，再由其周長為60cm求出x的值即可． 【解答】解：∵三角形的三邊長的比為3：4：5， ∴設三角形的三邊長分別為3x，4x，5x． ∵其周長為60cm， ∴3x+4x+5x=60，解得x=5， ∴三角形的三邊長分別是15cm，20cm，25cm， 故答案為：15cm，20cm，25cm 【點評】此題考查三角形的問題，關鍵是根據三角形的三邊關系解答． 　 三、解答題（共8題，共72分） 17．（8分）求正六邊形的每個外角的度數(shù)． 【考點】多邊形內角與外角． 【分析】由多邊形的外角和為360°可求得每個外角的度數(shù)． 【解答】解： ∵正多邊形的外角和是360度，且每個外角都相等， ∴正六邊形的一個外角度數(shù)是：360÷6=60°． 【點評】本題考查了正多邊形的外角的計算，理解外角和是360度，且每個外角都相等是關鍵． 　 18．（8分）如圖，一個六邊形木框顯然不具有穩(wěn)定性，要把它固定下來，至少要釘上幾根木條，請畫出相應木條所在線段． 【考點】多邊形；三角形的穩(wěn)定性． 【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使六邊形木架不變形需把它分成三角形，即過六邊形的一個頂點作對角線，有幾條對角線，就至少要釘上幾根木條． 【解答】解：如圖所示： ， 至少要定3根木條． 【點評】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，過n邊形的一個頂點作對角線，可以做（n﹣3）條． 　 19．（8分）觀察以下圖形，回答問題： （1）圖②有　3　個三角形；圖③有　5　個三角形；圖④有　7　個三角形；…猜測第七個圖形中共有　13　個三角形． （2）按上面的方法繼續(xù)下去，第n個圖形中有?。?n﹣1）　個三角形（用n的代數(shù)式表示結論）． 【考點】三角形． 【專題】規(guī)律型． 【分析】（1）根據觀察可得：圖②有3個三角形；圖③有5個三角形；圖④有7個三角形；由此可以猜測第七個圖形中共有13個三角形 （2）按照（1）中規(guī)律如此畫下去，三角形的個數(shù)等于圖形序號的2倍減去1，據此求得第n個圖形中的三角形的個數(shù)． 【解答】解：（1）圖②有3個三角形；圖③有5個三角形；圖④有7個三角形；…猜測第七個圖形中共有13個三角形． （2）∵圖②有3個三角形，3=2×2﹣1； 圖③有5個三角形，5=2×3﹣1； 圖④有7個三角形，7=2×4﹣1； ∴第n個圖形中有（2n﹣1）個三角形． 故答案為3，5，7，13，（2n﹣1）． 【點評】本題考查了圖形的變化類﹣規(guī)律型，對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點． 　 20．（8分）如圖，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求證：AB∥CD． 【考點】三角形內角和定理；平行線的判定． 【專題】證明題． 【分析】在△ABC中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A=64°，根據內錯角相等，兩直線平行，就可以證出結論． 【解答】證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°， ∴∠A+∠1=138°， 又∵∠A+10°=∠1， ∴∠A+∠A+10°=138°， 解得：∠A=64°． ∴∠A=∠ACD=64°， ∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）． 【點評】本題首先利用三角形內角和定理和∠A與∠1的關系求出∠A的度數(shù)，然后再利用平行線的判定方法得證． 　 21．（8分）如圖，在△BCD中，BC=4，BD=5， （1）求CD的取值范圍； （2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度數(shù)． 【考點】三角形三邊關系；平行線的性質． 【分析】（1）利用三角形三邊關系得出DC的取值范圍即可； （2）利用平行線的性質得出∠AEC的度數(shù)，再利用三角形內角和定理得出答案． 【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5， ∴1＜DC＜9； （2）∵AE∥BD，∠BDE=125°， ∴∠AEC=55°， 又∵∠A=55°， ∴∠C=70°． 【點評】此題主要考查了三角形三邊關系以及平行線的性質，得出∠AEC的度數(shù)是解題關鍵． 　 22．（10分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多5cm，AB與AC的和為11cm，求AC的長． 【考點】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據中線的定義知CD=BD．結合三角形周長公式知AC﹣AB=5cm；又AC+AB=11cm．易求AC的長度． 【解答】解：∵AD是BC邊上的中線， ∴D為BC的中點，CD=BD． ∵△ADC的周長﹣△ABD的周長=5cm． ∴AC﹣AB=5cm． 又∵AB+AC=11cm， ∴AC=8cm．即AC的長度是8cm． 【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高．三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線． 　 23．（10分）如圖，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度數(shù)． 【考點】三角形的角平分線、中線和高；三角形內角和定理． 【分析】由三角形的內角和是180°，可求∠A=60°．又因為BE是AC邊上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因為∠BHC是△CEH的一個外角，所以∠BHC=120°． 【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°， ∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°． 又∵BE是AC邊上的高，所以∠AEB=90°， ∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°． 同理，∠ACF=30°， ∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°． 【點評】此題主要考查了三角形外角的性質及三角形的內角和定理，求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件；三角形的外角通常情況下是轉化為內角來解決． 　 24．（12分）（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點A落在點A’處，試探索∠1+∠2與∠A的關系．（不必證明）． （2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點A與點I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度數(shù)； （3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點F，CG⊥AB于點G，BF、CG交于點H，把△ABC折疊使點A和點H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關系，并證明你的結論． 【考點】三角形內角和定理；翻折變換（折疊問題）． 【分析】（1）根據翻折變換的性質以及三角形內角和定理以及平角的定義求出即可； （2）根據三角形角平分線的性質得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度數(shù)即可； （3）根據翻折變換的性質以及垂線的性質得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，進而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案． 【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A； （2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65° ∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB） =（180°﹣∠A）=90°﹣∠A， ∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）， =180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°； （3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°， ∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A， ∴∠A=（∠1+∠2）， ∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）． 【點評】此題主要考查了圖形的翻著變換的性質以及角平分線的性質和三角形內角和定理，正確的利用翻折變換的性質得出對應關系是解決問題的關鍵． 第19頁（共19頁）