圓周運動知識要點、受力分析和題目精講(張曉整理).doc

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高中圓周運動知識要點、受力分析和題目精講（復習大全） 一、基礎知識 勻速圓周運動問題是學習的難點，也是高考的熱點，同時它又容易和很多知識綜合在一起，形成能力性很強的題目，如除力學部分外，電學中“粒子在磁場中的運動”涉及的很多問題仍然要用到勻速圓周運動的知識，對勻速圓周運動的學習可重點從兩個方面掌握其特點，首先是勻速圓周運動的運動學規(guī)律，其次是其動力學規(guī)律，現(xiàn)就各部分涉及的典型問題作點滴說明。 勻速圓周運動的加速度、線速度的大小不變，而方向都是時刻變化的，因此勻速圓周運動是典型的變加速曲線運動。為了描述其運動的特殊性，又引入周期（T）、頻率（f）、角速度（）等物理量，涉及的物理量及公式較多。因此，熟練理解、掌握這些概念、公式，并加以靈活選擇運用，是我們學習的重點。 1. 勻速圓周運動的基本概念和公式 （1）線速度大小 ，方向沿圓周的切線方向，時刻變化； （2）角速度 ，恒定不變量； （3）周期與頻率 ； （4）向心力 ，總指向圓心，時刻變化，向心加速度 ，方向與向心力相同； （5）線速度與角速度的關系為 ， 、 、 、 的關系為 。所以在 、 、 中若一個量確定，其余兩個量也就確定了，而 還和 有關。 【例1】關于勻速圓周運動，下列說法正確的是（ ） A. 線速度不變 B. 角速度不變 C. 加速度為零 D. 周期不變 解析：勻速圓周運動的角速度和周期是不變的；線速度的大小不變，但方向時刻變化，故勻速圓周運動的線速度是變化的，加速度不為零，答案為B、D。 【例2】在繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動的圓環(huán)上有A、B兩點，如圖1所示，過A、B的半徑與豎直軸的夾角分別為30°和60°，則A、B兩點的線速度之比為 ；向心加速度之比為 。 解析：A、B兩點做圓周運動的半徑分別為 它們的角速度相同，所以線速度之比 加速度之比 2. 質(zhì)點做勻速圓周運動的條件 （1）具有一定的速度； （2）受到的合力（向心力）大小不變且方向始終與速度方向垂直。合力（向心力）與速度始終在一個確定不變的平面內(nèi)且一定指向圓心。 3. 向心力有關說明 向心力是一種效果力。任何一個力或者幾個力的合力，或者某一個力的某個分力，只要其效果是使物體做圓周運動的，都可以認為是向心力。做勻速圓周運動的物體，所需向心力就是該物體受的合外力，總是指向圓心；而做變速圓周運動的物體，所需向心力則是該物體受的合外力在指向圓心方向的分力，合外力的另一個分力沿著圓周的切線，使速度大小改變，所以向心力不一定是物體所受的合外力。因此，解答圓周運動的基本思路是：先分析物體的受力情況，然后把物體受的各外力沿指向圓心（即沿半徑）方向與沿切線方向正交分解，最后用沿指向圓心的合外力等于向心力，即列方程求解做答。 二、解決圓周運動問題的步驟 1. 確定研究對象； 2. 確定圓心、半徑、向心加速度方向； 3. 進行受力分析，將各力分解到沿半徑方向和垂直于半徑方向； 4. 根據(jù)向心力公式，列牛頓第二定律方程求解。 基本規(guī)律：徑向合外力提供向心力 ；若是勻速圓周運動，則有，方向始終指向圓心 三、典型情景受力分析 F向=G+F支 F向=G時恰好到達最高點 F向=G-F支 豎直面軌道 F向=G-F支 F向=F支-G  繩（豎直面） F向=F支-G F向=F支+G 輕桿 F向=F支-G F向=G-F支 四、常見問題和處理方法 1. 皮帶傳動問題 【例3】 如圖2所示，a、b兩輪靠皮帶傳動，A、B分別為兩輪邊緣上的點，C與A同在a輪上，已知，，在傳動時，皮帶不打滑。求： （1） ；（2） ；（3） 。 解析：A、C兩點在同一皮帶輪上，它們的角速度相等，即，由于皮帶不打滑，所以A、B兩點的線速度大小相等，即。 （1）根據(jù)知 （2）根據(jù)知 （3）根據(jù)知 點評：共軸轉(zhuǎn)動的物體上各點的角速度相同，不打滑的皮帶傳動的兩輪邊緣上各點線速度大小相等，這樣通過“角速度”或“線速度”將比較“遙遠”的兩個質(zhì)點的運動學特點聯(lián)系在一起。 【例4】如圖所示，為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則（ ） A. a點與b點的線速度大小相等 B. a點與b點的角速度大小相等 C. a點與c點的線速度大小相等 D. a點與d點的向心加速度大小相等 解析：皮帶不打滑，故a、c兩點線速度相等，選C；c點、b點在同一輪軸上角速度相等，半徑不同，由 ，b點與c點線速度不相等，故a與b線速度不等，A錯；同樣可判定a與c角速度不同，即a與b角速度不同，B錯；設a點的線速度為 ，則a點向心加速度 ，由 ， ，所以 ，故 ，D正確。本題正確答案C、D。 點評：處理皮帶問題的要點為：皮帶（鏈條）上各點以及兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，同一輪上各點的角速度相同。 2. 水平面內(nèi)的圓周運動 轉(zhuǎn)盤：物體在轉(zhuǎn)盤上隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運動，物體與轉(zhuǎn)盤間分無繩和有繩兩種情況。無繩時由靜摩擦力提供向心力；有繩要考慮臨界條件。 例2：如圖 所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物體，當物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是其正壓力的 倍。求： （1）當轉(zhuǎn)盤的角速度 時，細繩的拉力 。 （2）當轉(zhuǎn)盤的角速度 時，細繩的拉力 。 解析：設轉(zhuǎn)動過程中物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力時轉(zhuǎn)動的角速度為 ，則 ，解得 （1）因為 ，所以物體所需向心力小于物與盤間的最大摩擦力，則物與盤產(chǎn)生的摩擦力還未達到最大靜摩擦力，細繩的拉力仍為0，即 。 （2）因為 ，所以物體所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力，則細繩將對物體施加拉力 ，由牛頓第二定律得 ，解得 。 點評：當轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度 時，物體有繩相連和無繩連接是一樣的，此時物體做圓周運動的向心力是由物體與圓臺間的靜摩擦力提供的，求出 。可見， 是物體相對圓臺運動的臨界值，這個最大角速度 與物體的質(zhì)量無關，僅取決于 和r。這一結(jié)論同樣適用于汽車在平路上轉(zhuǎn)彎。 圓錐擺：圓錐擺是運動軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運動。其特點是由物體所受的重力與彈力的合力充當向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力（或拉力）的水平分力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）。 【例5】小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，試分析圖 中的（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期T的關系。（小球的半徑遠小于R）。 解析：小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖3所示有 由此可得 ， 可見， 越大（即軌跡所在平面越高），v越大，T越小。 點評：本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于火車轉(zhuǎn)彎、飛機在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。 【例6】如下圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m=0.1kg的小球，上面繩長L=2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30°與45°，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊；當角速度為3rad/s時，上、下兩繩拉力分別為多大？ 解析：①當角速度很小時，AC和BC與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當逐漸增大，BC剛被拉直（這是一個臨界狀態(tài)），但BC繩中的張力仍然為零，設這時的角速度為，則有 將已知條件代入上式解得 ②當角速度繼續(xù)增大時減小，增大。設角速度達到時，（這又是一個臨界狀態(tài)），則有 將已知條件代入上式解得 所以當滿足時，AC、BC兩繩始終張緊。 本題所給條件，此時兩繩拉力、都存在。 將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得， 點評：解題時注意圓心的位置（半徑的大?。? 如果時，，則AC與軸的夾角小于。 如果，，則BC與軸的夾角大于45°。 3. 豎直面內(nèi)的圓周運動 豎直面內(nèi)圓周運動最高點處的受力特點及題型分類如下： 這類問題的特點是：由于機械能守恒，物體做圓周運動的速率時刻在改變，所以物體在最高點處的速率最小，在最低點處的速率最大。物體在最低點處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進行討論。 （1）彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有 ，即 ，否則不能通過最高點； （2）彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有 ， ，否則車將離開橋面，做平拋運動； （3）彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進一步討論： a. 當 時物體受到的彈力必然是向下的；當 時物體受到的彈力必然是向上的；當 時物體受到的彈力恰好為零。 b. 當彈力大小 時，向心力有兩解 ；當彈力大小 時，向心力只有一解 ；當彈力 時，向心力等于零，這也是物體恰能過最高點的臨界條件。 結(jié)合牛頓定律的題型 【例7】如圖5所示，桿長為 ，球的質(zhì)量為 ，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動，已知在最高點處，桿對球的彈力大小為 ，求這時小球的瞬時速度大小。 解析：小球所需向心力向下，本題中 ，所以彈力的方向可能向上也可能向下。 （1）若F向上，則 ， ； （2）若F向下，則 ， 點評：本題是桿連球繞軸自由轉(zhuǎn)動，根據(jù)機械能守恒，還能求出小球在最低點的即時速度。 需要注重的是：若題目中說明小球在桿的帶動下在豎直面內(nèi)做勻速圓周運動，則運動過程中小球的機械能不再守恒，這兩類題一定要分清。 【例8】如圖 所示，用細繩一端系著的質(zhì)量為 的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為 的小球B，A的重心到O點的距離為 。若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為 ，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度 的取值范圍。（取 ） 解析：要使B靜止，A必須相對于轉(zhuǎn)盤靜止——具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度。A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時，A有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心O。 對于B： 對于A： ， 聯(lián)立解得 ， 所以 點評：在水平面上做圓周運動的物體，當角速度 變化時，物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時要根據(jù)物體的受力情況，判定物體受的某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪（非凡是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。 練習題： 1. 關于互成角度（不為零度和180°）的一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動，下列說法正確的是（ ） A. 一定是直線運動 B. 一定是曲線運動 C. 可能是直線，也可能是曲線運動 D. 以上答案都不對 2. 一架飛機水平勻速飛行，從飛機上每隔1s釋放一個鐵球，先后釋放4個，若不計空氣阻力，則這4個球（ ） A. 在空中任何時刻總是排列成拋物線，它們的落地點是等間距的 B. 在空中任何時刻總是排列成拋物線，它們的落地點是不等間距的 C. 在空中任何時刻總是在飛機的正下方排列成豎直直線，它們的落地點是不等間距的 D. 在空中任何時刻總是在飛機的正下方排列成豎直直線，它們的落地點是等間距的 3. 圖中所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為 ，小輪的半徑為 、 點在小輪上，到小輪中心的距離為 。 點和 點分別位于小輪和大輪的邊緣上。若在傳動過程中，皮帶不打滑。則（ ） A. a點與b點的線速度大小相等 B. a點與b點的角速度大小相等 C. a點與c點的線速度大小相等 D. a點與d點的周期大小相等 4. 在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為 ，摩托艇在靜水中的航速為 ，戰(zhàn)士救人的地點A離岸邊最近處O的距離為d，如戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離O點的距離為（ ） A. B. C. D. 5. 火車軌道在轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，其高度差由轉(zhuǎn)彎半徑與火車速度確定。若在某轉(zhuǎn)彎處規(guī)定行駛速度為 ，則下列說法中正確的是（ ） ① 當以 的速度通過此彎路時，火車重力與軌道面支持力的合力提供向心力 ② 當以 的速度通過此彎路時，火車重力、軌道面支持力和外軌對輪緣彈力的合力提供向心力 ③ 當速度大于v時，輪緣擠壓外軌 ④ 當速度小于v時，輪緣擠壓外軌 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 6．關于做勻速圓周運動的物體的線速度、角速度、周期的關系，下列說法正確的是(　　) A．線速度大的角速度一定大 B．線速度大的周期一定小 C．角速度大的半徑一定小 D．角速度大的周期一定小 7．由上海飛往美國洛杉機磯的飛機在飛越太平洋上空的過程中，如果保持飛行速度的大小和距離海面的高度均不變，則以下說法正確的是(　　) A．飛機做的是勻速直線運動 B．飛機上的乘客對座椅的壓力略大于地球?qū)Τ丝偷囊? C．飛機上的乘客對座椅的壓力略小于地球?qū)Τ丝偷囊? D．飛機上的乘客對座椅的壓力為零 8．游客乘坐過山車，在圓弧軌道最低點處獲得的向心加速度達到20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置座椅對游客的作用力相當于游客重力的(　　) A．1倍　　　 B．2倍 C．3倍 D．4倍 9.汽車行駛在半徑為50m的圓形水平跑道上，速度為10m/s。已知汽車的質(zhì)量為1000 kg，汽車與地面的最大靜摩擦力為車重的0.8倍。問：（g =10m/s2） （1）汽車繞跑道一圈需要的時間是多少？角速度是多少？其向心力是多大？ （2）要使汽車不打滑，則其速度最大不能超過多少？ 10.下課后，小麗在運動場上蕩秋千。已知小麗的質(zhì)量為40 kg，每根系秋千的繩子長為4 m ，能承受的最大張力是300N。如右圖，當秋千板擺到最低點時，速度為3 m/s。（g =10m/s2，小麗看成質(zhì)點處理，秋千繩、底座等不計質(zhì)量） （1）此時，小麗做圓周運動的向心力是多大？ （2）此時，小麗對底座的壓力是多少？每根繩子受到拉力T是多少？ （3）如果小麗到達最低點的速度為5m/s，繩子會斷嗎？ 11.如圖所示，半徑為R、內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質(zhì)量均為m的小球A、B以不同速率進入管內(nèi)，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.75mg.求A、B兩球落地點間的距離． 12.如圖11所示，質(zhì)量為0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用繩子系住小杯在豎直平面內(nèi)做“水流星”表演，轉(zhuǎn)動半徑為1 m，小杯通過最高點的速度為4 m/s。求： （1）在最高點時，繩的拉力T是多少？ （2）在最高點時水對小杯底的壓力是多少？ （3）為使小杯經(jīng)過最高點時水不流出, 在最高點時最小速率是多少? 【模擬試題】 一. 選擇題（在每小題給出的四個選項中，有的小題只有一個選項正確，有的小題有多個選項正確） 1. 下列說法正確的是（ ） A. 做勻速圓周運動的物體的加速度恒定 B. 做勻速圓周運動的物體所受合外力為零 C. 做勻速圓周運動的物體的速度大小是不變的 D. 做勻速圓周運動的物體處于平衡狀態(tài) 2. 如圖1所示，把一個長為20cm，系數(shù)為360N/m的彈簧一端固定，作為圓心，彈簧的另一端連接一個質(zhì)量為0.50kg的小球，當小球以的轉(zhuǎn)速在光滑水平面上做勻速圓周運動時，彈簧的伸長應為（ ） A. 5.2cm B. 5.3cm C. 5.0cm D. 5.4cm 圖1 3. 一圓盤可以繞其豎直軸在圖2所示水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為R。甲、乙物體質(zhì)量分別是M和m（M>m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的倍，兩物體用一根長為的輕繩連在一起。若將甲物體放在轉(zhuǎn)軸位置上，甲、乙之間連線剛好沿半徑方向被拉直，要使兩物體與圓盤間不發(fā)生相對滑動，則轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)角速度的最大值不得超過（兩物體均看作質(zhì)點）（ ） A. B. C. D. 圖2 4. 如圖3所示，一個球繞中心線以角速度轉(zhuǎn)動，則（ ） A. A、B兩點的角速度相等 B. A、B兩點的線速度相等 C. 若，則 D. 以上答案都不對 圖3 5. 一圓盤可繞圓盤中心O且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動，在圓盤上放置一小木塊A，它隨圓盤一起運動（做勻速圓周運動），如圖4所示，則關于木塊A的受力，下列說法正確的是（ ） A. 木塊A受重力、支持力和向心力 B. 木塊A受重力、支持力和靜摩擦力，摩擦力的方向與木塊運動方向相反 C. 木塊A受重力、支持力和靜摩擦力，摩擦力的方向指向圓心 D. 木塊A受重力、支持力和靜摩擦力，摩擦力的方向與木塊運動方向相同 圖4 6. 如圖5所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓軌道上做圓周運動。圓半徑為R，小球經(jīng)過圓環(huán)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點時（ ） A. 小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于mg B. 小球受到的向心力等于重力mg C. 小球的線速度大小等于 D. 小球的向心加速度大小等于 圖5 二. 填空題 7. 一輛質(zhì)量為4t的汽車駛過半徑為50m的凸形橋面時，始終保持5m/s的速率。汽車所受的阻力為車對橋面壓力的0.05倍。通過橋的最高點時汽車牽引力是 N。（g=10m/s2） 8.如下圖所示，要使小球沿半徑為R、豎直放置的光滑圓形軌道的內(nèi)部，從最低點A上升達到最高點B，需給小球的最小速度為多大？ 圖6 三. 解答題（解答應寫出必要的文字說明、方程式和演算步驟） 9. m1、m2是質(zhì)量分別為50g和100g的小球，套在水平光滑桿上，如圖6所示。兩球相距21cm，并用細線相連接，欲使小球繞軸以600r/min的轉(zhuǎn)速在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動而不滑動，兩球離轉(zhuǎn)動中心多遠？線上拉力是多大？ 圖7 10. 如圖7所示，在水平轉(zhuǎn)臺上放有A、B兩個小物塊，它們距離軸心O分別為，，它們與臺面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的0.4倍，取。 （1）當轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動時，要使兩物塊都不發(fā)生相對于臺面的滑動，求轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度的范圍； （2）要使兩物塊都對臺面發(fā)生滑動，求轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動角度速度應滿足的條件。 圖8 【模擬試題答案】 1. C 2. C 3. D 4. AC 5. C 6. BCD 7. 8.最小速度。 9. 10.（1） （2） 　 19