齊次和非齊次線性方程組的解法(整理定稿).doc
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4線性方程組解的結(jié)構(gòu)(解法)一、齊次線性方程組的解法【定義】 r(A)= r n ,若AX = 0(A為矩陣)的一組解為 ,且滿(mǎn)足:(1) 線性無(wú)關(guān);(2) AX = 0 的)任一解都可由這組解線性表示.則稱(chēng)為AX = 0的基礎(chǔ)解系. 稱(chēng)為AX = 0的通解 。其中k1,k2, kn-r為任意常數(shù)).齊次線性方程組的關(guān)鍵問(wèn)題就是求通解, 而求通解的關(guān)鍵問(wèn)題是求基礎(chǔ)解系. 【定理】 若齊次線性方程組AX = 0有解,則(1) 若齊次線性方程組AX = 0(A為矩陣)滿(mǎn)足,則只有零解;(2) 齊次線性方程組有非零解的充要條件是.(注:當(dāng)時(shí),齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.)注:1、基礎(chǔ)解系不唯一,但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)相同,且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于. 2、非齊次線性方程組的同解方程組的導(dǎo)出方程組(簡(jiǎn)稱(chēng)“導(dǎo)出組”)為齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的同解方程組。由上述定理可知,若是系數(shù)矩陣的行數(shù)(也即方程的個(gè)數(shù)),是未知量的個(gè)數(shù),則有:(1) 當(dāng)時(shí),此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解,即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解;(2)當(dāng)時(shí),齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式;(3)當(dāng)且時(shí),若系數(shù)矩陣的行列式,則齊次線性方程組只有零解;(4)當(dāng)時(shí),若,則存在齊次線性方程組的同解方程組;若,則齊次線性方程組無(wú)解。1、求AX = 0(A為矩陣)通解的三步驟 (1)(行最簡(jiǎn)形); 寫(xiě)出同解方程組CX =0.(2) 求出CX =0的基礎(chǔ)解系;(3) 寫(xiě)出通解其中k1,k2, kn-r為任意常數(shù).【例題1】 解線性方程組 解法一:將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣 顯然有,則方程組僅有零解,即.解法二:由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)(即)(注意:方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)(即),不可以用行列式的方法來(lái)判斷),從而可計(jì)算系數(shù)矩陣A的行列式:,知方程組僅有零解,即.注:此法僅對(duì)n較小時(shí)方便【例題2】 解線性方程組解:將系數(shù)矩陣A化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣 可得,則方程組有無(wú)窮多解,其同解方程組為 (其中,為自由未知量)令,得;令,得;令,得,于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,.所以,原方程組的通解為 (,).二、非齊次線性方程組的解法求 AX = b 的解()用初等行變換求解,不妨設(shè)前r列線性無(wú)關(guān)其中 所以知時(shí),原方程組無(wú)解.時(shí),原方程組有唯一解.時(shí),原方程組有無(wú)窮多解.其通解為,為任意常數(shù)。其中:為AX = b導(dǎo)出組AX = 0的基礎(chǔ)解系,為AX = b的特解, 【定理1】 如果是非齊次線性方程組AX=b的解,是其導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)解,則是非齊次線性方程組AX=b的解。【定理2】如果是非齊次線性方程組的一個(gè)特解,是其導(dǎo)出組的全部解,則是非齊次線性方程組的全部解。由此可知:如果非齊次線性方程組有無(wú)窮多解,則其導(dǎo)出組一定有非零解,且非齊次線性方程組的全部解可表示為:其中:是非齊次線性方程組的一個(gè)特解,是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。【例題3】判斷下列命題是否正確, A為mn矩陣.(1)若AX=0只有零解,則AX=b有唯一解. 答:錯(cuò), 因r(A)=n, r(A)= n = r(A |b)? (2)若AX=0有非零解,則AX=b有無(wú)窮多解. 答:錯(cuò), 因r(A)n, r(A)= r(A |b) ? (3)若AX=b有唯一解,則AX=0只有零解. 答:對(duì), r(A)= r(A |b) =n.(4)若AX=0有非零解,則ATX=0也有非零解. 答:錯(cuò),A為mn, r(A)=m n, r(AT)=m, 這時(shí)ATX=0只有零解. 例如A為34, R(A)=3 n時(shí), 可以r(A |b) =n+1. 唯一解: 線性方程組有唯一解【例題4】 解線性方程組解: 可見(jiàn),則方程組有唯一解,所以方程組的解為 無(wú)解:線性方程組無(wú)解(或若階梯形方程組出現(xiàn),則原方程組無(wú)解)【例題5】解線性方程組解:,可見(jiàn),所以原方程組無(wú)解. 無(wú)窮多解:線性方程組有無(wú)窮多解【例題6】解線性方程組解:可見(jiàn),則方程組有無(wú)窮多解,其同解方程組為 (其中,為自由未知量)令得原方程組的一個(gè)特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為(其中,為自由未知量)令,得;令,得,于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 ,。所以,原方程組的通解為 (,).【例題7】 求線性方程組: 的全部解.解: 可見(jiàn),所以方程組有無(wú)窮多解,其同解方程組為 (其中為自由未知量) 令,可得原方程組的一個(gè)特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為(其中為自由未知量)令(注:這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)),得,于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為.所以,原方程組的通解為 ().【例題8】求非齊次線性方程組的全部解。解: 因?yàn)?,所以非齊次線性方程組有無(wú)窮多組解,取自由未知量為,原方程組與方程組同解取自由未知量為,得原方程組的一個(gè)特解: 再求其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,其導(dǎo)出組與方程組同解對(duì)自由未知量分別取,代入上式得到其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:則原方程組的全部解為:三、證明與判斷【例題9】已知是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明也是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證:由已知可得:齊次線性方程組AX0的基礎(chǔ)解系含有3個(gè)解向量,并且由齊次線性方程組解的性質(zhì)可知都是AX0的解;因此只要證明線性無(wú)關(guān)即可。設(shè)存在數(shù)使 成立。整理得: (1)已知是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,即得線性無(wú)關(guān),則由(1)得,解得: 所以線性無(wú)關(guān)。即也是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。【例題10】已知是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,若 。討論t滿(mǎn)足什么條件時(shí),是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系解:首先,是齊次線性方程組AX0的解,只須證線性無(wú)關(guān).由已知有:因?yàn)椋壕€性無(wú)關(guān), 即,所以當(dāng)t 1時(shí), 是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系【例題11】已知n階矩陣A的各行元素之和均為零,且r(A)=n-1,求線性方程組AX=0的通解.解 :由r(A)=n-1知AX=0的基礎(chǔ)解系有一個(gè)非零解向量. 又, 即(k為任意常數(shù))為所求通解.【例題12】設(shè)X1,X2, Xt 是非齊次線性方程組 AX =b0 的解向量,證明: 對(duì)于X0=k1 X1+k2 X2+kt Xt 當(dāng)k1 +k2+kt =1時(shí), X0是AX=b的解;當(dāng)k1 +k2+kt =0時(shí), X0是AX=0的解.證 :AX0=A(k1 X1+k2 X2+kt Xt) =k1 AX1+k2 AX2+ktAXt=k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b故:當(dāng)k1+k2 +kt=1時(shí), AX0 =b 當(dāng)k1 +k2+kt =0時(shí), AX0=0 由此可見(jiàn), 非齊次方程組的解對(duì)于線性組合并不一定封閉,只有組合系數(shù)的和等于1的時(shí)候,解向量組的線性組合才是非齊次方程組的解!【例題13】已知為的兩個(gè)不同解,是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.為任意常數(shù). 則的通解為( ) 答案B 【例題14】設(shè)是四元非齊次線性方程組AXb的三個(gè)解向量,且矩陣A的秩為3,求AXb的通解。解:因?yàn)锳的秩為3,則AX0的基礎(chǔ)解系含有431個(gè)解向量。由線性方程組解的性質(zhì)得:是AX0的解,則解得AX0的一個(gè)非零解為:。由此可得AXb的通解為:?!纠}15】設(shè)A是4階方陣, (0)是41矩陣, 是的解,且滿(mǎn)足 試求方程組的通解.解:先求的一個(gè)特解再求的一個(gè)基礎(chǔ)解系,因?yàn)榫€性無(wú)關(guān),所以是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.故方程組的通解是, 為任意常數(shù).【例題16】設(shè)矩陣A。證明:AB0的充分必要條件是矩陣B的每一列向量都是齊次方程組AX=0的解。證:把矩陣B按列分塊:,其中是矩陣B的第i列向量,零矩陣也按列分塊則必要性:AB0可得: 精品文檔,你值得期待 ,即是齊次方程組AX=0的解。充分性:矩陣B的每一列向量都是齊次方程組AX=0的解,即有 得:,即證。她,不自覺(jué)地已經(jīng)墜入了暮年人的園地里,當(dāng)一種暗示發(fā)現(xiàn)時(shí),使人如何的難堪!而且,電影似的人生,又怎樣能掙扎?尤其是她,十年前痛恨老年人的她!她曾經(jīng)在海外壯游,在崇山峻嶺上長(zhǎng)嘯,在凍港內(nèi)滑冰,在廣座里高談。但現(xiàn)在呢?往事悠悠,當(dāng)年的豪舉都如煙云一般霏霏然的消散,尋不著一點(diǎn)的痕跡,她也惟有付之一嘆,青年的容貌,盛氣,都漸漸地消磨去了。她怕見(jiàn)舊時(shí)的摯友。她改變了的容貌,氣質(zhì),無(wú)非添加他們或她們的驚異和竊議罷了。為了躲避,才來(lái)到這幽僻的一隅,而花,鳥(niǎo),風(fēng),日,還要逗引她愁煩。她開(kāi)始詛咒這逼人太甚的春光了5- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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