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勻速圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)及例題
二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的描述
1．線速度、角速度、周期和頻率的概念
(1)線速度v是描述質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量，其大小為; 其方向沿軌跡切線，國際單位制中單位符號(hào)是m/s；
（2）角速度ω是描述質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量，其大小為；
在國際單位制中單位符號(hào)是rad／s；
(3）周期T是質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)一周所用時(shí)間，在國際單位制中單位符號(hào)是s；
（4）頻率f是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)完成一個(gè)完整圓運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，在國際單位制中單位符號(hào)是 Hz；
（5）轉(zhuǎn)速n是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，單位符號(hào)為r／s，以及r／min．
2、速度、角速度、周期和頻率之間的關(guān)系
線速度、角速度、周期和頻率各量從不同角度描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢，它們之間有關(guān)系v＝rω．，，。
由上可知，在角速度一定時(shí)，線速度大小與半徑成正比；在線速度一定時(shí)，角速度大小與半徑成反比．
三、向心力和向心加速度
1．向心力
（1）向心力是改變物體運(yùn)動(dòng)方向，產(chǎn)生向心加速度的原因．
（2）向心力的方向指向圓心，總與物體運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以向心力只改變速度的方向．
2．向心加速度
（1）向心加速度由向心力產(chǎn)生，描述線速度方向變化的快慢，是矢量．
（2）向心加速度方向與向心力方向恒一致，總沿半徑指向圓心；向心加速度的大小為
公式：
1. 線速度V＝s/t＝2πr/T
2.角速度ω＝Φ/t＝2π/T＝2πf
3.向心加速度a＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r
4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合
5.周期與頻率：T＝1/f
6.角速度與線速度的關(guān)系：V＝ωr
7.角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系ω＝2πn(此處頻率與轉(zhuǎn)速意義相同)
8.主要物理量及單位：弧長s:米(m)；角度Φ：弧度（rad）；頻率f：赫（Hz）；周期T：秒（s）；轉(zhuǎn)速n：r/s；半徑r：米（m）；線速度V：（m/s）；角速度ω：（rad/s）；向心加速度：（m/s2）。
二、向心力和加速度
1、大小F＝m ω2 r
向心加速度a：（1）大?。篴 =2 f 2r （2）方向：總指向圓心，時(shí)刻變化 （3）物理意義：描述線速度方向改變的快慢。
三、應(yīng)用舉例
（臨界或動(dòng)態(tài)分析問題）
提供的向心力 需要的向心力
＝ 圓周運(yùn)動(dòng)
＞ 近心運(yùn)動(dòng)
＜ 離心運(yùn)動(dòng)
＝0 切線運(yùn)動(dòng)
1、火車轉(zhuǎn)彎
N
mg
如果車輪與鐵軌間無擠壓力，則向心力完全由重力和支持力提供,v增加，外軌擠壓，如果v減小，內(nèi)軌擠壓
問題：飛機(jī)轉(zhuǎn)彎的向心力的來源
2、汽車過拱橋
mg sinθ = f
如果在最高點(diǎn)，那么
此時(shí)汽車不平衡，mg≠N
N
mg
說明：F＝mv2 / r同樣適用于變速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)和v具有瞬時(shí)意義，F(xiàn)隨v的變化而變化。
補(bǔ)充 ： (拋體運(yùn)動(dòng))
3、圓錐問題
例：小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試分析圖中的θ（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期T的關(guān)系。
，
由此可得：，
N
G
F
θ
繩
F
G
G
F
4、繩桿球
這類問題的特點(diǎn)是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的速率時(shí)刻在改變，物體在最高點(diǎn)處的速率最小，在最低點(diǎn)處的速率最大。物體在最低點(diǎn)處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點(diǎn)處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進(jìn)行討論。
①彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有
即，否則不能通過最高點(diǎn)。
②彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有：，否則車將離開橋面，做平拋運(yùn)動(dòng)。
③彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進(jìn)一步討論：①當(dāng)時(shí)物體受到的彈力必然是向下的；當(dāng)時(shí)物體受到的彈力必然是向上的；當(dāng)時(shí)物體受到的彈力恰好為零。②當(dāng)彈力大小F
mg時(shí)，向心力只有一解：F +mg；當(dāng)彈力F=mg時(shí)，向心力等于零。
四、牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用（圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題）
1．向心力?。?）大?。?
（2）方向：總指向圓心，時(shí)刻變化
2．處理方法：
一般地說，當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)物體所受的合力不指向圓心時(shí)，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿半徑方向的分力為向心力，只改變速度的方向，不改變速度的大??；其沿切線方向的分力為切向力，只改變速度的大小，不改變速度的方向。分別與它們相應(yīng)的向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢。
做圓周運(yùn)動(dòng)物體所受的向心力和向心加速度的關(guān)系同樣遵從牛頓第二定律：Fn=man在列方程時(shí)，根據(jù)物體的受力分析，在方程左邊寫出外界給物體提供的合外力，右邊寫出物體需要的向心力（可選用等各種形式）。
【例1】 如圖所示的裝置是在豎直平面內(nèi)放置光滑的絕緣軌道，處于水平向右的勻強(qiáng)電場中，以帶負(fù)電荷的小球從高h(yuǎn)的A處靜止開始下滑，沿軌道ABC運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球所受到電場力是其重力的3／4，圓滑半徑為R，斜面傾角為θ，sBC=2R。若使小球在圓環(huán)內(nèi)能作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，h至少為多少？
解析：小球所受的重力和電場力都為恒力，故可兩力等效為一個(gè)力F，如圖所示?？芍狥＝1.25mg，方向與豎直方向左偏下37o，從圖6中可知，能否作完整的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)是能否通過D點(diǎn)，若恰好能通過D點(diǎn)，即達(dá)到D點(diǎn)時(shí)球與環(huán)的彈力恰好為零。
由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得： 即：
由動(dòng)能定理：
聯(lián)立①、②可求出此時(shí)的高度h。
五、綜合應(yīng)用例析
【例2】如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細(xì)繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m=0.3kg的小球B，A的重心到O點(diǎn)的距離為0.2m．若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度ω的取值范圍．
解析：要使B靜止，A必須相對(duì)于轉(zhuǎn)盤靜止——具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度．A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成．角速度取最大值時(shí)，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時(shí)，A有向心運(yùn)動(dòng)的趨勢，靜摩擦力背離圓心O．
對(duì)于B，T=mg 對(duì)于A，
rad/s rad/s 所以 2.9 rad/s rad/s
【例3】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）．在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2．它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0．設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與v0應(yīng)滿足的關(guān)系式是______．
解析：A球通過圓管最低點(diǎn)時(shí)，圓管對(duì)球的壓力豎直向上，所以球?qū)A管的壓力豎直向下．若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，B球?qū)A管的壓力一定是豎直向上的，所以圓管對(duì)B球的壓力一定是豎直向下的．
最高點(diǎn)時(shí)
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律
對(duì)于A球， 對(duì)于B球，
又 N1=N2 解得
【例5】如圖所示，滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點(diǎn)由靜止出發(fā)到B點(diǎn)時(shí)撤去外力，又沿豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，且恰好通過軌道最高點(diǎn)C，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發(fā)點(diǎn)A，試求滑塊在AB段運(yùn)動(dòng)過程中的加速度.
解析：設(shè)圓周的半徑為R，則在C點(diǎn)：mg=m ①
離開C點(diǎn)，滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，則2R＝gt2／2 ②
vCt＝sAB ③
L
V0
由B到C過程： mvC2/2+2mgR＝mvB2/2 ④
由A到B運(yùn)動(dòng)過程： vB2＝2asAB ⑤
由①②③④⑤式聯(lián)立得到： a=5g／4
例6、如圖所示，M為懸掛在豎直平面內(nèi)某一點(diǎn)的木質(zhì)小球，懸線長為L，質(zhì)量為m的子彈以水平速度V0射入球中而未射出，要使小球能在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且懸線不發(fā)生松馳，求子彈初速度V0應(yīng)滿足的條件。 分兩種情況：
（1）若小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)滿足：
由機(jī)械能守定律得：
由以上各式解得：.
(2)若木球不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則上升的最大高度為L時(shí)滿足：
解得：.
所以，要使小球在豎直平面內(nèi)做懸線不松馳的運(yùn)動(dòng)，V0應(yīng)滿足的條件是：
或
1.
圖4－2－11
在觀看雙人花樣滑冰表演時(shí)，觀眾有時(shí)會(huì)看到女運(yùn)動(dòng)員被男運(yùn)動(dòng)員拉著離開冰面在空中做水平方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知通過目測估計(jì)拉住女運(yùn)動(dòng)員的男運(yùn)動(dòng)員的手臂和水平冰面的夾角約為45°，重力加速度為g＝10 m/s2，若已知女運(yùn)動(dòng)員的體重為35 kg，據(jù)此可估算該女運(yùn)動(dòng)員( )
A．受到的拉力約為350 N B．受到的拉力約為350 N
C．向心加速度約為10 m/s2 D．向心加速度約為10 m/s2
解析：本題考查了勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析．以女運(yùn)動(dòng)員為研究對(duì)象，受力分析如圖．根據(jù)題意有G＝mg＝350 N；則由圖易得女運(yùn)動(dòng)員受到的拉力約為350 N，A正確；向心加速度約為10 m/s2，C正確．
答案：AC
2.
圖4－2－12
中央電視臺(tái)《今日說法》欄目最近報(bào)道了一起發(fā)生在湖南長沙某區(qū)湘府路上的離奇交通事故．
家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個(gè)月內(nèi)連續(xù)遭遇了七次大卡車側(cè)翻在自家門口的場面，第八次有輛卡車沖進(jìn)李先生家，造成三死一傷和房屋嚴(yán)重?fù)p毀的血腥慘案．經(jīng)公安部門和交通部門協(xié)力調(diào)查，畫出的現(xiàn)場示意圖如圖4－2－12所示．交警根據(jù)圖示作出以下判斷，你認(rèn)為正確的是( )
A．由圖可知汽車在拐彎時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐囎鲭x心運(yùn)動(dòng)
B．由圖可知汽車在拐彎時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐囎鱿蛐倪\(yùn)動(dòng)
C．公路在設(shè)計(jì)上可能內(nèi)(東)高外(西)低
D．公路在設(shè)計(jì)上可能外(西)高內(nèi)(東)低
解析：由題圖可知發(fā)生事故時(shí)，卡車在做圓周運(yùn)動(dòng)，從圖可以看出卡車沖入民宅時(shí)做離心運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；如果外側(cè)高，卡車所受重力和支持力提供向心力，則卡車不會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，也不會(huì)發(fā)生事故，故選項(xiàng)C正確．
答案：AC
3.
圖4－2－13
(2010·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖4－2－13所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無作用力，則( )
A．該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定小于2π
B．該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定等于2π
C．盒子在最低點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間的作用力大小可能小于2mg
D．盒子在最低點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間的作用力大小可能大于2mg
解析：要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無作用力，則有mg＝，解得該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度v＝，該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝＝2π.選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；在最低點(diǎn)時(shí)，盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力提供小球運(yùn)動(dòng)的向心力，由F－mg＝，解得F＝2mg，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤．
答案：B
4.
圖4－2－14
如圖4－2－14所示，半徑為r＝20 cm的兩圓柱體A和B，靠電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)，兩圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)軸互相平行且在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向已在圖中標(biāo)出，質(zhì)量均勻的木棒水平放置其上，重心在剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)恰在B的正上方，棒和圓柱間動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.16，兩圓柱體中心間的距離s＝1.6 m，棒長l>2 m，重力加速度取10 m/s2，求從棒開始運(yùn)動(dòng)到重心恰在A正上方需多長時(shí)間？
解析：棒開始與A、B兩輪有相對(duì)滑動(dòng)，棒受向左摩擦力作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，末速度v＝ωr＝8×0.2 m/s＝1.6 m/s，加速度a＝μg＝1.6 m/s2，時(shí)間t1＝＝1 s，此時(shí)間內(nèi)棒運(yùn)動(dòng)位移s1＝at＝0.8 m．此后棒與A、B無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，棒以v＝ωr做勻速運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)動(dòng)s2＝AB－s1＝0.8 m，重心到A正上方時(shí)間t2＝＝0.5 s，故所求時(shí)間t＝t1＋t2＝1.5 s.
答案：1.5 s
5．
圖4－2－15
在一次抗洪救災(zāi)工作中，一架直升機(jī)A用長H＝50 m的懸索(重力可忽略不計(jì))系住一質(zhì)量m＝50 kg的被困人員B，直升機(jī)A和被困人員B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，如圖4－2－15甲所示．某時(shí)刻開始收懸索將人吊起，在5 s時(shí)間內(nèi)，A、B之間的豎直距離以l＝50－t2(單位：m)的規(guī)律變化，取g＝10 m/s2.
(1)求這段時(shí)間內(nèi)懸索對(duì)被困人員B的拉力大?。?
(2)求在5 s末被困人員B的速度大小及位移大?。?
(3)直升機(jī)在t＝5 s時(shí)停止收懸索，但發(fā)現(xiàn)仍然未脫離洪水圍困區(qū)，為將被困人員B盡快運(yùn)送到安全處，飛機(jī)在空中旋轉(zhuǎn)后靜止在空中尋找最近的安全目標(biāo)，致使被困人員B在空中做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖乙所示．此時(shí)懸索與豎直方向成37°角，不計(jì)空氣阻力，求被困人員B做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度以及懸索對(duì)被困人員B的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：(1)被困人員在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上被困人員的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人員在豎直方向上做初速度為零、加速度a＝2 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得F－mg＝ma，解得懸索的拉力F＝m(g＋a)＝600 N.
(2)被困人員5 s末在豎直方向上的速度為vy＝at＝10 m/s，合速度v＝＝10 m/s，豎直方向上的位移y＝at2＝25 m，水平方向的位移x＝v0t＝50 m，合位移s＝＝25 m.
(3)t＝5 s時(shí)懸索的長度l′＝50－y＝25 m，旋轉(zhuǎn)半徑r＝l′sin 37°，
由m＝mgtan 37°，解得v′＝ m/s.此時(shí)被困人員B的受力情況如右圖所示，
由圖可知Tcos 37°＝mg，解得T＝＝625 N.
答案：(1)600 N (2)10 m/s 25 m (3)625 N
6．
圖4－2－26
如圖4－2－26所示，小球從光滑的圓弧軌道下滑至水平軌道末端時(shí)，光電裝置被觸動(dòng)，控制電路會(huì)使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)起來．轉(zhuǎn)筒的底面半徑為R，已知軌道末端與轉(zhuǎn)筒上部相平，與轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)軸距離為L，且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔的高度差為h；開始時(shí)轉(zhuǎn)筒靜止，且小孔正對(duì)著軌道方向．現(xiàn)讓一小球從圓弧軌道上的某處無初速滑下，若正好能鉆入轉(zhuǎn)筒的小孔(小孔比小球略大，小球視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g)，求：
(1)小球從圓弧軌道上釋放時(shí)的高度為H；
(2)轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω.
解析：(1)設(shè)小球離開軌道進(jìn)入小孔的時(shí)間為t，則由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得h＝gt2，
L－R＝v0t
小球在軌道上運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，故有mgH＝mv
聯(lián)立解得：t＝ ，H＝.
(2)在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆進(jìn)小孔，
即ωt＝2nπ(n＝1,2,3…)．所以ω＝nπ (n＝1,2,3…)
答案：(1) (2)nπ (n＝1,2,3…)
、
圓周運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用專題
知識(shí)簡析 一、圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題的分析方法
首先明確物理過程，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行正確的受力分析，然后確定向心力，根據(jù)向心力公式列出方程，由方程中的某個(gè)力的變化與速度變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而分析找到臨界值．
2.特例（1）如圖所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的情況：
注意：繩對(duì)小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力
①臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒有力的作用：mg=mv2/R→v臨界=（可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)不過的速度）
注意：如果小球帶電，且空間存在電、磁場時(shí)，臨界條件應(yīng)是小球重力、電場力和洛倫茲力的合力作為向心力，此時(shí)臨界速度V臨≠
②能過最高點(diǎn)的條件：v≥，當(dāng)V＞時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力．
③不能過最高點(diǎn)的條件：V＜V臨界（實(shí)際上球還沒到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道）
（2）如圖（a）的球過最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿（管）對(duì)球產(chǎn)生的彈力情況：
注意：桿與繩不同，桿對(duì)球既能產(chǎn)生拉力，也能對(duì)球產(chǎn)生支持力．
①當(dāng)v＝0時(shí)，N＝mg（N為支持力）
②當(dāng) 0＜v＜時(shí)， N隨v增大而減小，且mg＞N＞0，N為支持力．
③當(dāng)v=時(shí)，N＝0
① 當(dāng)v＞時(shí)，N為拉力，N隨v的增大而增大（此時(shí)N為拉力，方向指向圓心）
注意：管壁支撐情況與桿子一樣
若是圖（b）的小球，此時(shí)將脫離軌道做平拋運(yùn)動(dòng)．因?yàn)檐壍缹?duì)小球不能產(chǎn)生拉力．
注意：如果小球帶電，且空間存在電場或磁場時(shí)，臨界條件應(yīng)是小球所受重力、電場力和洛侖茲力的合力等于向心力，此時(shí)臨界速度 。要具體問題具體分析，但分析方法是相同的。
水流星模型(豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng))
豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)研究物體通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況，并且經(jīng)常出現(xiàn)臨界狀態(tài)。(圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例)①火車轉(zhuǎn)彎 ②汽車過拱橋、凹橋3③飛機(jī)做俯沖運(yùn)動(dòng)時(shí)，飛行員對(duì)座位的壓力。
④物體在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（汽車在水平公路轉(zhuǎn)彎，水平轉(zhuǎn)盤上的物體，繩拴著的物體在光滑水平面上繞繩的一端旋轉(zhuǎn)）和物體在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（翻滾過山車、水流星、雜技節(jié)目中的飛車走壁等）。
⑤萬有引力——衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)、庫侖力——電子繞核旋轉(zhuǎn)、洛侖茲力——帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的偏轉(zhuǎn)、重力與彈力的合力——錐擺、（關(guān)健要搞清楚向心力怎樣提供的）
（1）火車轉(zhuǎn)彎：設(shè)火車彎道處內(nèi)外軌高度差為h，內(nèi)外軌間距L，轉(zhuǎn)彎半徑R。由于外軌略高于內(nèi)軌，使得火車所受重力和支持力的合力F合提供向心力。
①當(dāng)火車行駛速率V等于V0時(shí)，F(xiàn)合=F向，內(nèi)外軌道對(duì)輪緣都沒有側(cè)壓力
②當(dāng)火車行駛V大于V0時(shí)，F(xiàn)合F向，內(nèi)軌道對(duì)輪緣有側(cè)壓力，F(xiàn)合-N'=mv2/R
即當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)行駛速率不等于V0時(shí)，其向心力的變化可由內(nèi)外軌道對(duì)輪緣側(cè)壓力自行調(diào)節(jié)，但調(diào)節(jié)程度不宜過大，以免損壞軌道。
（2）無支承的小球，在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)情況：
① 臨界條件：由mg+T=mv2/L知，小球速度越小，繩拉力或環(huán)壓力T越小，但T的最小值只能為零，此時(shí)小球以重力為向心力，恰能通過最高點(diǎn)。即mg=mv臨2/R
結(jié)論：繩子和軌道對(duì)小球沒有力的作用（可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)不過的速度），只有重力作向心力，臨界速度V臨=
②能過最高點(diǎn)條件：V≥V臨（當(dāng)V≥V臨時(shí)，繩、軌道對(duì)球分別產(chǎn)生拉力、壓力）
③不能過最高點(diǎn)條件：V
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圓周運(yùn)動(dòng)
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