九年級數(shù)學(xué)--二次函數(shù)導(dǎo)學(xué)案(全部).doc

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　　　　　　　　　　課 題： 2.1二次函數(shù)所描述的關(guān)系 【溫故】 1. 函數(shù)的定義是怎樣下的？ 2.大家還記得我們學(xué)過哪些函數(shù)嗎？我們學(xué)過那些關(guān)于函數(shù)的生活實際問題呢？ 【互助】 1. 某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結(jié)600個橙子．現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少．根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子． (1)問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？ (2)假設(shè)果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結(jié)多少個橙子？ (3)如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個，那么請你寫出y與x之間的關(guān)系式． （4）大家根據(jù)剛才的分析，判斷一下上式中的y是否是x的函數(shù)？若是函數(shù)，與原來學(xué)過的函數(shù)相同嗎？ Y/個 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵 如果你是果園的負(fù)責(zé)人，你最關(guān)心的問題是什么?（在上述問題中，種多少棵橙子樹，可以使果園橙子的總產(chǎn)量最多？）你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜測嗎？ 2.設(shè)人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉(zhuǎn)存．如果存款額是100元，那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表達式(不考慮利息稅)．在這個關(guān)系式中，y是x的函數(shù)嗎？ 一般地，形如 (a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)(quadratic function)． 例題解析： 例1．下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？ （1） (2) (3) (4) (5) 例2、用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，場地面積S(m2)與矩形一邊長a(m)之間的關(guān)系是什么？是函數(shù)關(guān)系嗎？是哪一種函數(shù)？ 　 【達標(biāo)】 1.下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)？ (1）v=10πr2 (3) s=3+t2 (5) y=(x+3)2-x2 (6) y=2(x-1)2; 2.如果函數(shù)y= +kx+1是二次函數(shù),求k的值. 4.如果函數(shù)y=(k-3) +kx+1是二次函數(shù),求k的值. 5.圓的半徑是4cm,假設(shè)半徑增加xcm時,圓的面積增加ycm2. （1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系表達式； （2）當(dāng)圓的半徑分別增加1cm, 2cm時,圓的面積增加多少？ 課 題： 2.2結(jié)識拋物線 【溫故】 1. 二次函數(shù)的概念. 2.畫函數(shù)的圖象的主要步驟， 3.根據(jù)函數(shù)y=x2列表 x y 【互助】 1. 用描點法畫二次函數(shù)y=x2的圖象，并與同桌交流。 2. 觀察圖象，探索二次函數(shù)y=x2的性質(zhì)，提出問題： (1) 你能描述圖象的形狀嗎?與同伴進行交流. (2) 圖象是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么? 請你找出幾對對稱點,并與同伴交流. (3)圖象與x軸有交點嗎？如果有,交點坐標(biāo)是什么? (4)當(dāng)x<0時,隨著x的值增大,y 的值如何變化？當(dāng)x>0呢？ (5)當(dāng)x取什么值時,y的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？ 3. 二次函數(shù)y=－x2的圖象是什么形狀？ 4. 它與二次函數(shù)y =x2的圖象有什么關(guān)系？與同伴進行交流. 5.說說二次函數(shù)y =－x2的圖象有哪些性質(zhì)？與同伴交流. 小結(jié)：二次函數(shù)y=± x2的性質(zhì) 拋物線 y =x2 y=－x2 頂點坐標(biāo) 對稱軸 位置 開口方向 增減性 最值 　【達標(biāo)】 1.已知函數(shù) 是關(guān)于x 的二次函數(shù)。求： （1）滿足條件的m 的值； （2）m為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點，這時當(dāng)x 為何值時，y 隨x 的增大而增大？ （3）m為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？這時當(dāng)x 為何值時，y 隨x 的增大而減?。縪 y x A 2.已知點A(1，a)在拋物線y=x2 上。 （1）求A的坐標(biāo)； （2）在x 軸上是否存在點P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 課 題： 2.3剎車距離與二次函數(shù) 【溫故】 1.二次函數(shù)y＝x2與y=-x2的圖象一樣嗎？它們有什么相同點？不同點？ 2.二次函數(shù)是否只有y＝x2與y＝-x2這兩種呢?有沒有其他形式的二次函數(shù)？ 【互助】 1. 給出s＝v2的圖象，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)s=v2的圖象； 2. 比較s=v2和s＝v2的圖象. 相同點： 不同點： 做一做 在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=x2和y=2x2的圖象． (1)完成下表： x … －3 －2 －1 0 1 2 33 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 … (2)分別作出二次函數(shù)y=x2和y=2x2的圖象． (3)二次函數(shù)y＝2x2的圖象是什么形狀? 它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么相同和不同? 它的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么? 議一議 1.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝2x2與y＝2x2+1的圖象，并比較它們的性質(zhì)． 2.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝3x2與y＝3x2-1的圖象，并比較它們的性質(zhì)． 【達標(biāo)】 1．在同一坐標(biāo)系中作出y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的圖象，根據(jù)圖象填空： 拋物線y＝x2的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 拋物線y＝2x2的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 拋物線y＝3x2的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 拋物線y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的開口大小由二次項系數(shù)決定，二次項系數(shù)的絕對值越大，拋物線的開口越 ． 2．在同一坐標(biāo)系中作出y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的圖象，根據(jù)圖象填空： 拋物線y＝－x2的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 拋物線y＝－2x2的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 拋物線y＝－3x2的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 可見，拋物線y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的開口大小由二次項系數(shù)決定，二次項系數(shù)的絕對值越大，拋物線的開口越 ． 3．在同一坐標(biāo)系中作出y＝－x2，y＝－x2＋2，y＝－x2－3的圖象，根據(jù)圖象填空： 拋物線y＝－x2的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 拋物線y＝－x2＋2的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 拋物線y＝－x2－3的頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，開口向 ； 拋物線y＝－x2＋2，y＝－x2－3與y＝－x2的形狀、開口大小相同，只是拋物線的頂點位置發(fā)生了變化，把拋物線y＝－x2沿y軸向 平移 個單位就可得到拋物線y＝－x2＋2；把拋物線y＝－x2沿y軸向 平移 個單位就可得到拋物線y＝－x2－3． 4．把拋物線y＝x2沿y軸向上平移3個單位能得到拋物線y＝3x2嗎？把拋物線y＝－x2沿y軸向下平移3個單位能得到拋物線y＝－3x2嗎？ 課 題：2.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象（一） 課 題： 2.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象（二） 課 題： 2.5用三種方式表示二次函數(shù) 【溫故】 問題一：已知矩形周長20cm,并設(shè)它的一邊長為xcm,面積為ycm2. y隨x的而變化的規(guī)律是什么？你能分別用函數(shù)表達式，表格和圖象表示出來嗎？ 【互助】 議一議： (1）在上述問題中,自變量x的取值范圍是什么？ （2）當(dāng)x取何值時,長方形的面積最大？它的最大面積是多少? （3）請你描述一下y隨x的變化而變化的情況. 問題二：兩個數(shù)相差2,設(shè)其中較大的一個數(shù)為x,那么它們的積y是如何隨x的變化而變化的? （1）你能分別用函數(shù)表達式,表格和圖象表示這種變化嗎? （2）自變量x的取值范圍是什么? （3）圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么? （4）如何描述y隨x的變化而變化的情況? （5）你是分別通過哪種表示方式回答上面三個問題的？ 【達標(biāo)】 1.兩個數(shù)的和為6，這兩個數(shù)的積最大可以達到多少？利用圖象描述乘積與因數(shù)之間的關(guān)系 2.把一根長120cm的鐵絲分為兩部分，每一部分均彎曲成一個正方形，它們的面積是多少？它們的面積和最小是多少 3.如圖，在三角形ABC中,AB=AC=10cm，BC=12cm，矩形DEFG的頂點位于△ABC的邊上。設(shè)EF=x，矩形DEFG的面積為y，寫出y關(guān)于x的二次函數(shù)的表達式，列成表格，并畫出函數(shù)圖像 ，根據(jù)三種表達式回答問題 （1）自變量x的取值范圍 （2）圖像的對稱軸和頂點坐標(biāo)是什么 （3）如何描述y隨x的變化而變化的情況 課 題： 2.6何時獲得最大利潤 【溫故】 1．復(fù)習(xí)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的相關(guān)性質(zhì)：頂點坐標(biāo)、對稱軸、最值等。 2．復(fù)習(xí)這節(jié)課所要用的其他相關(guān)知識：利潤=售價－進價，總利潤=每件利潤×銷售額 【互助】 1.某商店經(jīng)營T恤衫，已知成批購進時單價是2.5元。根據(jù)市場調(diào)查，銷售量與銷售單價滿足如下關(guān)系：在一段時間內(nèi)，單價是13.5元時，銷售量是500件，而單價每降低1元，就可以多售出200件。 請你幫助分析，銷售單價是多少時，可以獲利最多? 設(shè)銷售單價為x(x≤13.5)元，那么 (1)銷售量可以表示為 ； (2)銷售額可以表示為 ； (3)所獲利潤可以表示為 ； (4)當(dāng)銷售單價是 元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是 ． 2.本章一開始的“種多少棵橙子樹”的問題，我們得到了表示增種橙子樹的數(shù)量x(棵)與橙子總產(chǎn)量y(個)的函數(shù)關(guān)系是：二次函數(shù)表達式y(tǒng)＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。 當(dāng)時曾經(jīng)利用列表的方法得到一個猜測，現(xiàn)在可以驗證當(dāng)初的猜測是否正確？你是怎么做的？與同伴進行交流。 (1)利用函數(shù)圖象描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關(guān)系。 (2)增種多少棵橙子樹，可以使橙子的總產(chǎn)量在60400個以上？ 練一練： 某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出400件。根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件。如何提高售價,才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？ 　【達標(biāo)】 1．某瓜果基地市場部為指導(dǎo)該基地某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售，在對歷年市場行情和生產(chǎn)情況進行了調(diào)查的基礎(chǔ)上，對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生產(chǎn)成本進行了預(yù)測，提供了兩方面的信息，如圖所示（甲、乙兩圖中的實心黑點所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售價和成本，生產(chǎn)成本6月份最低；甲圖的圖象是線段，乙圖的圖象是拋物線段）． （1）在3月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少元？ （2）哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？說明理由． 2．某化工材料經(jīng)銷公司購進了一批化工原料共7000千克，購進價格為每千克30元．物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克，在這次銷售過程中，每天還要支出其它費用500元（不足1天時，按1天計算）．設(shè)銷售單價為x元，日獲利為y元． （1）求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍． （2）將（1）中所求出的二次函數(shù)配方成y＝a(x＋h)2＋k的形式，寫出頂點坐標(biāo)；在坐 標(biāo)系中畫出草圖；觀察圖象，指出單價為多少元時，日均獲利最多，是多少？ （3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種銷售方式，哪一種總獲利較多，多多少？ 課 題： 2.7最大面積是多少 【溫故】 1．問題一：如下圖，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個長方形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上． (1)設(shè)長方形的一邊AB＝x m，那么AD邊的長度如何表示？ (2)設(shè)長方形的面積為y m2，當(dāng)x取何值時，y的值最大？ 最大值是多少？ 【互助】 問題二：將問題一變式：“設(shè)AD邊的長為x m，則問題會怎樣呢？” 問題三：對問題一再變式 如圖,在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中點A和點D分別在兩直角邊上,BC在斜邊上. (1).設(shè)矩形的一邊BC=xm,那么AB邊的長度如何表示？ (2).設(shè)矩形的面積為ym2,當(dāng)x取何值時,y的最大值是多少? 問題四： 某建筑物的窗戶如下圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m．當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多(結(jié)果精確到0.01m)？此時，窗戶的面積是多少？ 　【達標(biāo)】 1. 用48米長的竹籬笆圍建一矩形養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場一面用磚砌成,另三面用竹籬笆圍成,并且在與磚墻相對的一面開2米寬的門(不用籬笆),問養(yǎng)雞場的邊長為多少米時,養(yǎng)雞場占地面積最大?最大面積是多少? M A B C D P Q R 2. 正方形ABCD邊長5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,點B、C、Q、R在同一直線l上，當(dāng)C、Q兩點重合時，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直線l向左方向開始勻速運動，ts后正方形與等腰三角形重合部分面積為Scm2，解答下列問題： (1)當(dāng)t=3s時，求S的值； (2)當(dāng)t=3s時，求S的值； (3)當(dāng)5s≤t≤8s時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。 課 題： 2.8二次函數(shù)與一元二次方程（一） 【溫故】 1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常數(shù)，a≠0)，y叫做x的__________。它的圖象是一條拋物線。它的對稱軸是直線x=_____, 頂點坐標(biāo)是（ ， ）。 2. 二次函數(shù)的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0) 頂點式：y = a(x-h)2 + k ※交點式：y = a(x-x1)(x-x2) 3. 拋物線y = x2+2x- 4的對稱軸是_______, 開口方向是______, 頂點坐標(biāo)是___________. 4. 拋物線y=2(x-2)(x-3) 與x軸的交點為_______________,與y軸的交點為___________. 5. 已知拋物線與軸交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并經(jīng)過點M(0,1), 則此拋物線的解析式為_______________ 。 【互助】 1．我們已經(jīng)知道,豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關(guān)系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是拋出時的高度, v0(m/s)是拋出時的速度. 一個小球從地面以40m/s的速度豎直向上拋出起,小球的高度h(m)與運動時間t (s)的關(guān)系如圖所示,那么 (1) 圖象上每個點的橫、縱坐標(biāo)含義是什么？ (2) h和t的關(guān)系式是什么？ （3）小球經(jīng)過多少秒后落地? 你有幾種求解方法?與同伴進行交流. 2．分別求出二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象與x軸的交點的坐標(biāo),并快速作出草圖. （1）觀察下列二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象，每個圖象與x 軸有幾個交點？ (2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有幾個根?驗證一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根嗎? (3)說說二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象和x軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系? 　【達標(biāo)】 1． 拋物線y=-3（x－2）（x＋5）與x軸的交點坐標(biāo)為 _______ 2． 拋物線y=x2－2x＋3與兩坐標(biāo)軸交點的個數(shù)為 個． 3． 拋物線y=2x2＋8x＋m與x軸只有一個交點，則m= ____________ 4． 二次函數(shù)y=kx2＋3x－4的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍 5．若a＞0，b＞0，c＞0，＞0，那么拋物線y=ax2＋bx＋c 經(jīng)過 象限． 6.個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 來表示．其中t（s）表示足球被踢出后經(jīng)過的時間． （1）當(dāng)t=1時，足球的高度是多少？ （2）t為何值時，h最大？ （3）經(jīng)過多長時間球落地？ （4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的實際意義是什么？你能在圖上表示嗎? （5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的實際意義是什么？你能在圖上表示嗎? 7.已知二次函數(shù)y=kx2－7x－7的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍為什么? 課 題： 2.8二次函數(shù)與一元二次方程（二） 【溫故】 1. 拋物線y=ax2＋bx＋c經(jīng)過點（0，0）與（12，0），最高點縱坐標(biāo)是3，求這條拋物線的表達式___________________ . 2．若a＞0，b＞0，c＞0，＞0，那么拋物線y=ax2＋bx＋c經(jīng)過 象限． 3. 在平原上，一門迫擊炮發(fā)射的一發(fā)炮彈飛行的高度y（m）與飛行時間x（s）的關(guān)系滿足y=－x2＋10x．（1）經(jīng)過_____時間，炮彈達到它的最高點？最高點的高度是_____？（2）經(jīng)過_____秒，炮彈落在地上爆炸？ 4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與直線_______交點的______坐標(biāo). 5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與直線______交點的________坐標(biāo) . 問題：函數(shù)y = ax2 +bx +c的圖象如下圖所示， x= 為該圖象的對稱軸，根據(jù)圖象 信息你能得到關(guān)于系數(shù)a，b，c的一些 -1 1 什么結(jié)論？ 【互助】 你能利用二次函數(shù)的圖象估計一元二次方程x2+2x-10=0的根嗎？ 分析解答： (1) 用描點法作二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象 (2) 觀察估計二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象與 x軸的交點的橫坐標(biāo). 　【達標(biāo)】 1.利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. 分析解答： 2．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題： （1）寫出方程的兩個根． （2）寫出不等式的解集． （3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍． （4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍． 3．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和點B． （1）求該二次函數(shù)的表達式； （2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)； x y O 3 ?－9 －1 －1 A B （3）點P（m，m）與點Q均在該函數(shù)圖象上（其中m＞0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q 到x軸的距離．