高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件 .ppt

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第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),【知識(shí)梳理】 1.周期函數(shù)和最小正周期,非零常數(shù),f(x+T)=f(x),2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì),R,R,[-1，1],[-1，1],R,{x|x∈R且x≠ + kπ，k∈Z},(k∈Z),(k∈Z),[2kπ-π，,2kπ](k∈Z),[2kπ，2kπ+,π](k∈Z),(k∈Z),2kπ(k∈Z),π+2kπ(k∈Z),(kπ，0)，,k∈Z,x=kπ，k∈Z,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: ①y=sinx在第一、第四象限是增函數(shù); ②所有的周期函數(shù)都有最小正周期; ③正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù); ④y=ksinx+1,x∈R,則y的最大值為k+1; ⑤y=sin|x|是偶函數(shù). 其中正確的是( ) A.①② B.③④ C.⑤ D.④⑤,【解析】選C.①錯(cuò)誤.由y=sinx的遞增區(qū)間是 (k∈Z)可知①不正確, ②錯(cuò)誤.不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如函數(shù)f(x)=C (C為常數(shù))的周期為任意非零實(shí)數(shù),但沒(méi)有最小正周期. ③錯(cuò)誤.正切函數(shù)y=tanx在每一個(gè)區(qū)間 (k∈Z)上 都是增函數(shù),但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),故不是增函數(shù). ④錯(cuò)誤.當(dāng)k0時(shí)y的最大值為k+1;而當(dāng)k0時(shí),y的最大值為-k+1. ⑤正確.由sin|-x|=sin|x|可知⑤正確.,2.函數(shù)y=tan( -x)的定義域是( ) A.{x|x≠ ,x∈R} B.{x|x≠- ,x∈R} C.{x|x≠kπ- ,k∈Z,x∈R} D.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} 【解析】選D.因?yàn)閤- ≠kπ+ ，k∈Z, 所以x≠kπ+ ，k∈Z.,3.函數(shù)y=tan(2x+φ)的最小正周期是( ) A.2π B.π C. D. 【解析】選C.根據(jù)正切函數(shù)的周期公式可知最小正周期為 T= ，選C.,4.函數(shù)y=4sinx,x∈[-π,π]的單調(diào)性是( ) A.在[-π,0]上是增函數(shù),在[0,π]上是減函數(shù) B.在[ ]上是增函數(shù)，在[ ]和[ ]上都是減函數(shù) C.在［0，π］上是增函數(shù)，在［-π，0］上是減函數(shù) D．在[ ]和[ ]上是增函數(shù)，在[ ]上是減函數(shù) 【解析】選B.函數(shù)y=4sinx,x∈[-π,π]在[ ]上是增函數(shù), 在[ ]和[ ]上是減函數(shù).,5.(2014·嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx+ )(ω0)的最 小正周期為π，則該函數(shù)的圖象( ) A.關(guān)于直線x＝ 對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱 C.關(guān)于直線x＝－ 對(duì)稱 D.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱 【解析】選B.由題意知T＝ ＝π，則ω＝2，所以f(x)＝ sin(2x+ )，又f( )＝sin( )＝sin π＝0，故圖象關(guān) 于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱.,6.y＝ 的最大值為_(kāi)_____,此時(shí)x＝________. 【解析】當(dāng)cos(x+ )＝－1時(shí)， 函數(shù)y＝2－3cos(x+ )取得最大值5， 此時(shí)x＋ ＝π＋2kπ,k∈Z，從而x＝ ＋2kπ，k∈Z. 答案：5 ＋2kπ，k∈Z,考點(diǎn)1 三角函數(shù)的定義域與值域 【典例1】(1)函數(shù)y=2sin( )(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( ) A.2- B.0 C.-1 D.-1- (2)函數(shù)f(x)=1-2sin2x+2cos x的最小值和最大值分別為( ) A.-1,1 B.- ，-1 C.- ，3 D.-2， (3)函數(shù) 的定義域是________.,【解題視點(diǎn)】(1)先由x的范圍求出 的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值． (2)利用平方關(guān)系將sin x用cos x表示，再利用二次函數(shù)求解. (3)由三角函數(shù)的正弦線、余弦線及單位圓進(jìn)行作圖求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.利用三角函數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)的最值. 因?yàn)?≤x≤9，所以 所以 所以y∈［- ，2］，所以ymax+ymin= (2)選C.因?yàn)閒(x)=1-2sin2x+2cos x=1-2(1-cos2x)+2cos x= 2cos2x+2cos x-1= 又因?yàn)閤∈R，所以cos x∈［-1,1］. 所以當(dāng)cos x= 時(shí)，f(x)有最小值，且f(x)min= 當(dāng)cos x=1時(shí)，f(x)有最大值，且f(x)max=3.,(3)由題意，得 即 首先作出sin x= 與cos x= 表示的角的終邊(如圖所示).,由圖可知劣弧 和優(yōu)弧 的公共部分對(duì)應(yīng)角的范圍是 所以函數(shù)的定義域?yàn)? 答案:,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解.,2.三角函數(shù)值域的三種求法 (1)直接法:利用sinx,cosx的值域. (2)化一法:化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域. (3)換元法:把sinx或cosx看作一個(gè)整體,可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題.,【變式訓(xùn)練】函數(shù)y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈［0，π］的最小值是_______. 【解析】設(shè)sin x－cos x＝t， 因?yàn)閤∈［0，π］，所以 所以t∈［－1， ］，sin xcos x＝ 所以 當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1. 答案：－1,【加固訓(xùn)練】 1.函數(shù) 的定義域?yàn)開(kāi)_____. 【解析】要使函數(shù)有意義，必須使sin x-cos x≥0. 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出［0,2π］上y=sin x和y=cos x的圖象，如圖所示.,在［0,2π］內(nèi)，滿足sin x=cos x的x為 再結(jié)合正弦、 余弦函數(shù)的周期是2π，所以定義域?yàn)?{x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z}. 答案：{x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z},2.函數(shù)y＝ 的值域?yàn)開(kāi)_______. 【解析】由y＝ 得cos x＝ 因?yàn)椋?≤cos x≤1，所以－1≤ ≤1，解得 因此，原函數(shù)的值域?yàn)?答案：,考點(diǎn)2 三角函數(shù)的單調(diào)性 【典例2】(1)函數(shù)y=sin( -2x)的減區(qū)間是 . (2)(2014·紹興模擬)若函數(shù)f(x)=2sinωx(ω0)在[ ] 上單調(diào)遞增,則ω的最大值為 . 【解題視點(diǎn)】(1)將x的系數(shù)化為正數(shù)后再求解. (2)根據(jù)[ ]是相應(yīng)增區(qū)間的子集構(gòu)造不等式求解或轉(zhuǎn)化 為周期關(guān)系求解.,【規(guī)范解答】(1)y＝sin( -2x)可化為 y＝－sin(2x- ). 令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 所以x∈R時(shí)，y＝sin( -2x)的減區(qū)間為 k∈Z. 答案： k∈Z,(2)方法一：由2kπ－ ≤ωx≤2kπ＋ ，k∈Z, 得f(x)的增區(qū)間是[ ]，k∈Z. 因?yàn)閒(x)在[ ]上是增函數(shù)， 所以[ ]?[ ]. 所以 且 ，又因?yàn)棣兀?,所以ω∈(0, ]. 因此ω的最大值為 .,方法二：因?yàn)閤∈[ ],ω0. 所以ωx∈[ ], 又f(x)在區(qū)間[ ]上是增函數(shù)， 所以[ ]?[ ]， 則 得0ω≤ 因此ω的最大值為,方法三：因?yàn)閒(x)在區(qū)間[ ]上是增函數(shù)，故原點(diǎn)到 的距離不超過(guò) ，即 ，得T≥ ,即 , 又ω＞0，得0ω≤ 因此ω的最大值為 答案：,【互動(dòng)探究】在本例(1)中函數(shù)不變，求函數(shù)在［－π，0］上 的單調(diào)遞減區(qū)間. 【解析】方法一：x∈R時(shí)，y＝sin( -2x)的減區(qū)間為[kπ- ,kπ+ ]，k∈Z.令k＝0得 ；令k＝－1得 ，故x∈［－π，0］時(shí)，y＝sin( -2x)的減 區(qū)間為[-π, ]，[ ,0].,方法二：因?yàn)椋小躼≤0， 所以 結(jié)合正弦曲線， 由 解得 由 解得 所以單調(diào)減區(qū)間為[-π, ]，[ ,0].,【規(guī)律方法】求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)代換法:所謂代換法,就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)處理后的整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)圖象法:函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是:從左到右,圖象上升趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間,圖象下降趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間,畫(huà)出三角函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象易求它的單調(diào)區(qū)間. 提醒:求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)若x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正,同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域.,【變式訓(xùn)練】函數(shù) 的遞減區(qū)間是_____. 【解析】y的遞減區(qū)間為cos 2x的遞增區(qū)間，同時(shí)注意 cos 2x0，所以有2kπ－ 2x≤2kπ(k∈Z)，kπ－ x≤kπ(k∈Z)，其遞減區(qū)間為(kπ－ ，kπ](k∈Z). 答案：(kπ－ ，kπ](k∈Z),【加固訓(xùn)練】 1.下列區(qū)間是函數(shù)y＝2|cos x|的單調(diào)遞減區(qū)間的是( ) A.(0，π) B.(- ,0) C.( ,2π) D.(-π,- ) 【解析】選D.作出函數(shù)y＝2|cos x|的圖象，結(jié)合圖象可判斷選D.,2.比較下列各組數(shù)的大?。?(1)cos( )與 . (2)cos 1,sin 1. 【解析】(1)cos( )=cos =cos(π- )=-cos ; 而 因?yàn)? 所以 所以 所以,(2)因?yàn)閏os 1=sin( -1)，而0＜ -1＜1＜ , 且y=sin x在[0, ]上單調(diào)遞增， 所以sin( -1)＜sin 1，即cos 1＜sin 1.,考點(diǎn)3 三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對(duì)稱性 【考情】三角函數(shù)的奇偶性與周期性、對(duì)稱性在高考中以選擇題、填空題或解答題的某一問(wèn)的形式出現(xiàn)，考查對(duì)稱中心與對(duì)稱軸、奇偶性的判斷等問(wèn)題.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例3】(1)(2014·湖州模擬)函數(shù)y＝2sin(3x＋φ) (|φ|＜ )的一條對(duì)稱軸為x＝ ，則φ＝________. (2)(2014·舟山模擬)函數(shù)f(x)＝ (ω0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖 象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且 △ABC為正三角形,則ω＝_____________.,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)對(duì)稱軸方程求φ或利用對(duì)稱軸處函數(shù)取最值求解. (2)利用相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為半個(gè)周期求解.,【規(guī)范解答】(1)方法一：由y＝sin x的對(duì)稱軸為x＝kπ＋ (k∈Z)，即3× ＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，得φ＝kπ＋ (k∈Z)． 又|φ|＜ ，所以k＝0，故φ＝ . 方法二：因?yàn)閤＝ 是函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)(|φ|＜ )的一條 對(duì)稱軸，故當(dāng)x＝ 時(shí)，函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)取得最值，即 f( )＝±2，故2sin( ＋φ)＝±2，得 得φ＝kπ＋ (k∈Z).又|φ|＜ ，所以k＝0，故φ＝ . 答案：,(2)正三角形ABC的高為2 ，從而B(niǎo)C＝4. 所以函數(shù)f(x)的周期T＝4×2＝8， 即 答案：,【通關(guān)錦囊】,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2012·福建高考)函數(shù)f(x)＝sin(x- )的圖象的一條對(duì)稱 軸是( ) A.x＝ B.x＝ C.x＝－ D.x＝－,【解析】選C.方法一：(圖象特征) 因?yàn)檎液瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)， 故令x－ ＝kπ＋ ，k∈Z，所以x＝kπ＋ ，k∈Z. 取k＝－1，則x＝－ . 方法二：(驗(yàn)證法) x＝ 時(shí)，sin（ ）＝0，不合題意，排除A；x＝ 時(shí)， sin( )＝ ，不合題意，排除B；x＝－ 時(shí)，sin(- - )＝－1，符合題意，C項(xiàng)正確；而x＝－ 時(shí)，sin(- - ) ＝ 不合題意，故D項(xiàng)也不正確.,2.(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知ω0,0φπ，直線x＝ 和x＝ 是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則 φ＝( ) 【解析】選A.由于直線x＝ 和x＝ 是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋ φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝ 2π，所以ω＝1，所以 ＋φ＝kπ＋ (k∈Z).又0φπ， 所以φ＝ .,3.(2014·無(wú)錫模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) (A0,ω0)的圖象如圖所示,則f(1)+f(2)+ f(3)+…+f(2013)= . 【解析】由圖可得:T=8,A=2,φ可取0. 且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0, 所以f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) = +2. 答案:2+,4.(2014·紹興模擬)已知函數(shù)y=Acos( x+φ)(A0)在一個(gè)周 期內(nèi)的圖象如圖所示,其中P,Q分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低 點(diǎn)，M，N是圖象與x軸的交點(diǎn)，且∠PMQ=90°，則A的值為_(kāi)___.,【解析】由y=Acos( x+φ)知,函數(shù)的周期 設(shè)M(x0,0)， 則P(x0+3,A),Q(x0+1,-A)，又∠PMQ=90°，故kPM·kQM= =-1，解得A2=3，又A0，故A= . 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.(2014·哈師大附中模擬)若函數(shù)f(x)=Asin2ωx(A0,ω0)在x=1處取得最大值,則f(x+1)的奇偶性為( ) A.偶函數(shù) B.奇函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù),【解析】選A.因?yàn)閒(x)=Asin2ωx在x=1處取得最大值,故f(1)=A,得2ω= +2kπ,k∈Z.因此,f(x+1)=Asin(2ωx+2ω) =Asin( )=Acos2ωx,故f(x+1)是偶函數(shù).,2.(2012·上海高考)若Sn= (n∈N*),則在 S1,S2,…,S100中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) A.16 B.72 C.86 D.100 【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin 的最小正周期為T=14, 又 所以在S1,S2,S3,…,S13,S14中,只有S13=S14=0,其余均大于0. 由周期性可知,在S1,S2,…,S100中共有14個(gè)0,其余都大于0, 即共有86個(gè)正數(shù).,3.已知函數(shù) (1)判斷f(x)的奇偶性. (2)求f(x)的最小正周期. 【解析】(1)由cos2x≠0得2x≠kπ+ ,k∈Z, 解得 k∈Z, 所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠ ，k∈Z}. 當(dāng)x≠ ,k∈Z時(shí), f(x)=,又f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 所以f(x)是偶函數(shù). (2)因?yàn)閒(x)=3cos2x-1= 所以函數(shù)的最小正周期為T= =π.,【巧思妙解4】巧用對(duì)稱性解決奇偶性問(wèn)題 【典例】(2014·金華模擬)若函數(shù)f(x)＝2sin(2x+φ- ) (0φπ)是偶函數(shù)，則φ＝________.,【解析】常規(guī)解法： 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)x∈R,f(-x)=f(x)恒成立， 因此 即 整理得 因?yàn)閤∈R,所以 又因?yàn)?＜φ＜π， 故 所以 答案：,巧妙解法:因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)， 所以函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱①， 故當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取得最值，即f(0)＝±2②， 所以2sin( )＝±2， 從而 又因?yàn)?＜φ＜π，故φ= 答案：,【解法分析】,【小試牛刀】(2014·昆明模擬)若函數(shù)f(x)=cos(2x+φ- )(0φπ)是奇函數(shù)，則φ=______. 【解析】常規(guī)解法：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)， 所以對(duì)x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立， 因此 即 整理得,因?yàn)閤∈R,所以 又因?yàn)?＜φ＜π， 故 所以 答案：,巧妙解法：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)， 所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱， 故f(0)=0，所以 從而 又因?yàn)?＜φ＜π，故 答案：,