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2019-2020年高考數(shù)學大一輪總復習 第9篇 第3節(jié) 變量間的相關關系與獨立性檢驗課時訓練 理 新人教A版
一、選擇題
1．(xx衡水中學模擬)對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關于其相關系數(shù)比較，正確的是( )
A．r2
r3>0，又(2)(4)為負相關且(2)較集中在直線附近，(4)較分散，所以r26.635，故有99%的把握確認這兩個變量間有關系，④正確．故選B.
答案：B
6．(xx年高考福建卷)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假設根據(jù)如表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為＝x＋，若某同學根據(jù)表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結論正確的是( )
A．>b′，>a′ B．>b′，a′ D．a′.
故選C.
答案：C
二、填空題
7．(xx濟南三模)某市居民xx～xx年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如表所示：
年份
xx
xx
2011
xx
xx
年平均收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
年平均支出y
6.8
8.8
9.8
10
12
根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關關系．
解析：5個x值是按從小到大的順序排列的，因此居民家庭年平均收入的中位數(shù)是13萬元．
以家庭年平均收入x作為x軸，年平均支出y作為y軸，描點得到散點圖如圖所示：
觀察散點圖可知，這些點大致分布在一條直線的附近，且總體呈上升趨勢，因此家庭年平均收入與年平均支出有正線性相關關系．
答案：13萬元 正
8．(xx嘉興聯(lián)考)為了判斷高中三年級學生選修文科是否與性別有關，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到2×2列聯(lián)表：
理科
文科
合計
男
13
10
23
女
7
20
27
合計
20
30
50
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2＝≈4.844，
則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性約為________．
解析：由K2＝4.844>3.841.
故認為選修文科與性別有關系出錯的可能性約為5%.
答案：5%
9．(xx深圳二調(diào))某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如表)，由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋54.9.
現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________．
解析：依題意，＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.
由于直線＝0.67x＋54.9必過點(，)，
于是有＝0.67×30＋54.9＝75，
因此表中的模糊數(shù)據(jù)是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.
答案：68
10．已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出如下擬合直線：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x.則根據(jù)最小二乘法的思想求得擬合程度最好的直線是________(填序號)．
解析：由題意知＝4，＝6，
∴＝＝，
∴＝－＝－，
∴＝x－，∴填③.
答案：③
三、解答題
11．(xx年高考重慶卷)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；
(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄．
附：線性回歸方程y＝bx＋a中，
b＝，a＝－b，
其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝bx＋a.
解：(1)由題意知n＝10，＝8，＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，
iyi－n＝184－10×8×2＝24，
由此得b＝＝＝0.3，
a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4.
(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關．
(3)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
12．為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，研究這一社區(qū)居民在20：00～22：00時間段的休閑方式與性別的關系，隨機調(diào)查了該社區(qū)80人，得到數(shù)據(jù)表：
休閑方式
性別
看電視
看書
合計
男
10
50
60
女
10
10
20
合計
20
60
80
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計該社區(qū)居民在這一時間段以看書為休閑方式的概率和女性以看電視為休閑方式的概率；
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認為“在20：00～22：00時間段居民的休閑方式與性別有關系”？
參考公式：K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
參考數(shù)據(jù)：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
解：(1)由表可知該社區(qū)居民以看書為休閑方式的概率為＝，
女性以看電視為休閑方式的概率為＝.
(2)根據(jù)樣本提供的2×2列聯(lián)表得
K2＝
＝
≈8.889>6.635.
所以我們有99%的把握認為“在20：00～22：00時間段居民的休閑方式與性別有關”．
第1節(jié) 計數(shù)原理、排列與組合
1．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
原理
異同點
分類加法計數(shù)原理
分步乘法計數(shù)原理
定義
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法
區(qū)別
各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事
各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才能做完這件事
質(zhì)疑探究1：計數(shù)問題中如何判定是分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？
提示：如果已知的每類方法中的每一種方法都能單獨完成這件事，用分類加法計數(shù)原理；如果每類方法中的每一種方法只能完成事件的一部分，用分步乘法計數(shù)原理．
2．排列與組合
排列與排列數(shù)
組合與組合數(shù)
定義
排列：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)
組合：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)
公式
排列數(shù)公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
組合數(shù)公式C＝＝
＝
性質(zhì)
A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n?。?
0?。?
C＝1；
C＝C；
C＋C＝C
備注
n、m∈N*且m≤n
質(zhì)疑探究2：如何區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題？
提示：看選出的元素與順序是否有關，若與順序有關，則是排列問題；若與順序無關，則是組合問題．
1．4封不同的信投入3個不同的信箱中，所有投法的種數(shù)是( )
A．7 B．12
C．34 D．43
解析：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理4封不同的信投入3個不同的信箱共有3×3×3×3＝34(種)投法，故選C.
答案：C
2．從3名男同學和4名女同學中選2人分別擔任學生會主席和副主席，則不同的選法種數(shù)為( )
A．7 B．21
C．42 D．12
解析：因為選出的2人擔任職位不同，所以這是一個排列問題，不同的選法為A＝7×6＝42(種)．
故選C.
答案：C
3．xx×xx×xx×2011×xx等于( )
A．A B．A
C．C D．C
解析：由排列數(shù)公式知上式為A，故選B.
答案：B
4．有5張卡片分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5.
(1)從中任取4張，共有______種不同取法；
(2)從中任取4張，排成一個四位數(shù)，共組成______個不同的四位數(shù)．
解析：(1)從5張卡片中任取4張，共有C＝5(種)不同取法．
(2)從5張卡片中任取4張組成一個四位數(shù)，共組成A＝120(個)不同的四位數(shù)．
答案：(1)5 (2)120
第十篇 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 高三一輪總復習 數(shù)學(人教A版·理科)
分類加法計數(shù)原理
[例1] 橢圓＋＝1的焦點在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數(shù)為________．
[思維導引] 由方程表示焦點在y軸上的橢圓可知0n>0.
以m的取值進行分類．
(1)當m＝1時，n值不存在；
(2)當m＝2時，n可取1，只有1種選擇；
(3)當m＝3時，n可取1,2，有2種選擇；
(4)當m＝4時，n可取1,2,3，有3種選擇；
(5)當m＝5時，n可取1,2,3,4，有4種選擇；
由分類加法計數(shù)原理可知，符合條件的橢圓共有10個．
答案：10
分步乘法計數(shù)原理
[例2] 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點，則
(1)P可表示平面上________個不同的點；
(2)P可表示平面上________個第二象限的點．
[思維導引] 對點P的確定應分步完成，即先確定橫坐標，再確定縱坐標，因此本題用分步乘法計數(shù)原理．
[解析] (1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：
第一步確定a的值，共有6種確定方法；
第二步確定b的值，也有6種確定方法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到平面上的點的個數(shù)是6×6＝36.
(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a＜0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b＞0，所以有2種確定方法．
由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是
3×2＝6.
[答案] (1)36 (2)6
利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意：
(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件．
(3)對完成各步的方法數(shù)要準確確定．
即時突破2 (xx年高考大綱全國卷)將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有( )
A．12種 B．18種
C．24種 D．36種
解析：利用分步乘法計數(shù)原理，先填最左上角的數(shù)，有3種，再填最右上角的數(shù)，有2種，再填寫第二行第一列的數(shù)，有2種，一共有3×2×2＝12(種)．
故選A.
排列的應用問題
[例3] 有5個同學排隊照相．
(1)甲在中間的排法有多少種？
(2)甲、乙兩個同學必須相鄰的排法有多少種？
(3)甲、乙兩個同學互不相鄰的排法有多少種？
[思維導引] (1)甲在中間，則其余4人在甲兩側的4個位置中進行全排即可；(2)甲、乙相鄰，利用捆綁法，先排甲、乙，然后看作一個整體與其他三人全排即可；(3)甲、乙兩人不相鄰，則先排其余三人，形成四個空，然后甲、乙兩人插空排列即可．
[解析] (1)因為甲的位置已確定，故不同的排法為其余四人的一個全排列，即A＝24(種)．
(2)因為甲、乙相鄰，所以甲、乙不同的排法為A種，然后與其他三人共4個元素進行全排，即不同的排法有A·A＝2×24＝48(種)．
(3)因為甲、乙不相鄰，所以先排其余三人，不同的排法為A；形成4個空位，甲、乙選擇其中的2個進行排列即可．所以不同的排法為A·A＝6×12＝72(種)．
求解排列應用問題的主要方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題
除法處理
對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法
即時突破3 xx年世界大學生運動會在俄羅斯的喀山市舉行，已知火炬?zhèn)鬟f在A、B、C、D、E、F六個城市之間進行，以A為起點，F(xiàn)為終點，B與C必須接連傳遞，E必須在D的前面?zhèn)鬟f，且每個城市只經(jīng)過一次，那么火炬?zhèn)鬟f的不同路線共有________種．
解析：因B與C必須相鄰，故把它們捆綁在一起視為一個整體元素B′，則B′、D、E不同的排列方式有A種，因E必須在D的前面?zhèn)鬟f，所以不同的排列方式有種，又B與C的排列方式有A種，從而不同的排列方式有×A＝6(種)．
答案：6
組合的應用問題
[例4] 某課外活動小組共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依據(jù)下列條件各有多少種選法？
(1)只有2名女生；
(2)兩隊長當選；
(3)至少有一名隊長當選；
(4)至多有兩名女生當選．
[思維導引] (1)先選2名女生，再選3名男生；(2)兩隊長當選，則只需從其他11名隊員中選3人；(3)可根據(jù)參選的隊長數(shù)進行分類，也可利用間接法求解；(4)根據(jù)參選女生人數(shù)進行分類．
[解] (1)由題意，需選2名女生，3名男生，不同的選法有C·C＝10×56＝560(種)．
(2)兩隊長當選，則只需從其他11人選出3人即可，故不同的選法有C＝165(種)．
(3)法一 (直接法)至少有一名隊長當選，可分恰有一名隊長當選與兩名隊長都當選兩類．
①恰有一名隊長當選，先從2名隊長中選1人，然后從11名隊員中選4人，不同的選法有C×C＝2×330＝660(種)．
②兩名隊長都當選，則只需從其他11人中選出3人，不同的選法有C＝165(種)．
由分類加法計數(shù)原理可知，不同的選法共有
660＋165＝825(種)．
法二 (間接法)從13人中任選5人，不同的選法有C＝1287(種)．
而兩名隊長都未當選，即只從11名隊員中選取5人，不同的選法為C＝462(種)．
所以至少有一名隊長當選的選法共有：
1287－462＝825(種)．
(4)至多有兩名女生當選可分為三類：
①沒女生當選，即從男生8人中選取5人，不同的選法為C＝56(種)；
②恰有一名女生當選，則需從男生中選取4人，不同的選法為C·C＝5×70＝350(種)；
③恰有兩名女生當選，則需從男生中選取3人，不同的選法為C·C＝560(種)．
由分類加法計數(shù)原理得不同的選法共有：56＋350＋560＝966(種)．
組合問題常有以下兩類題型：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
即時突破4 (xx年高考重慶卷)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是______(用數(shù)字作答)．
解析：選派骨科、腦外科、內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)依次為3,1,1；2,2,1；2,1,2；1,3,1；1,2,2；1,1,3.
所以選派種數(shù)為C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝590.
答案：590
分類混淆、計數(shù)原理使用不當致誤
[典例] 在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復)表示一個信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為( )
A．10 B．11
C．12 D．15
分析：信息“0110”是一個四位數(shù)字，此類“至多”、“至少”類型的問題可以直接利用分類討論的方法求解，也可轉(zhuǎn)化為其反面的問題，利用間接法求解．
正解：法一 (直接法)
若0個相同，共有1個；
若1個相同，共有C＝4(個)；
若2個相同，共有C＝6(個)．
故共有1＋4＋6＝11(個)．
法二 (間接法)
若3個相同，共有C＝4(個)，若4個相同，共有1個，
而不同排列個數(shù)為24＝16，所以共有16－(1＋4)＝11(個)．
易錯提醒：該題中要求解的是“至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同”，易出現(xiàn)的問題是分類混淆，漏掉各位數(shù)字信息均不相同的情況，解決此類問題的關鍵是準確確定分類標準，分類計數(shù)時要做到不重不漏．
一、選擇題
1．已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為( )
A．16 B．13
C．12 D．10
解析：由分步乘法計數(shù)原理可知，走法總數(shù)為4×3＝12.故選C.
答案：C
2.
如圖所示，在A、B間有四個焊接點1、2、3、4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通．今發(fā)現(xiàn)A、B之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有( )
A．9種 B．11種
C．13種 D．15種
解析：按照焊接點脫落的個數(shù)進行分類．
若脫落1個，則有(1)，(4)共2種；
若脫落2個，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共6種；
若脫落3個，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4種；
若脫落4個，有(1,2,3,4)共1種．綜上共有2＋6＋4＋1＝13(種)焊接點脫落的情況．故選C.
答案：C
3．(xx河南省三市(平頂山、許昌、新鄉(xiāng))三模)現(xiàn)將2名醫(yī)生和4名護士分配到2所學校給學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，則不同的分配方法共有( )
A．6種 B．12種
C．18種 D．24種
解析：只需讓第一所學校選取即可．
先從2名醫(yī)生中選取1名，不同的選法有C＝2(種)；
再從4名護士中選取2名，不同的選法有C＝6(種)．
由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的分配方案有
2×6＝12(種)．
故選B.
答案：B
4．一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析：9個座位坐3個三口之家，每家人坐在一起，用捆綁法，不同的坐法種數(shù)為A(AAA)＝(3！)4.故選C.
答案：C
5．(xx甘肅省蘭州一中高三高考沖刺)將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學，若每所大學至少保送1人，且甲不能被保送到北大，則不同的保送方案種數(shù)為( )
A．150 B．114
C．100 D．72
解析：
北大
上海交大
浙大
3
1
1
CC＝8
2
2
1
CC＝18
2
1
2
CC＝18
1
3
1
CC＝16
1
2
2
CC＝24
1
1
3
CC＝16
所以不同的保送方案有8＋18＋18＋16＋24＋16＝100(種)．
故選C.
答案：C
6．(xx吉林省實驗中學第二次模擬)袋中裝有編號分別為1,2,3,4的4個白球和4個黑球，從中取出3個球，則取出球的編號互不相同的取法種數(shù)為( )
A．32 B．40
C．24 D．56
解析：由題意知每個號碼均有白球和黑球各一個．先從4個號碼中選取3個，不同的選法為C＝4(種)；然后每個號碼選擇一球各有2種選法，所以不同的選法共有4×2×2×2＝32(種)．故選A.
答案：A
二、填空題
7．(1)若3A＝2A＋6A，則x＝________.
(2)若Cx2－x16＝C，則x＝________.
解析：(1)原方程可化為
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
整理得3x2－17x＋10＝0.
解之得x＝(舍去)或x＝5.
∴原方程的解為x＝5.
(2)原方程可化為x2－x＝5x－5或(x2－x)＋(5x－5)＝16，
即x2－6x＋5＝0或x2＋4x－21＝0.
解得x＝1，x＝5或x＝－7，x＝3，
經(jīng)檢驗x＝5和x＝－7不合題意，
故原方程的根為1,3.
答案：(1)5 (2)1或3
8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面．不同的安排方法共有________種．
解析：按甲的安排進行分類討論
①甲排周一，則乙丙排后4天中2天，
有4×3＝12(種)；
②甲排周二，則乙、丙排后3天中2天，
有3×2＝6(種)；
③甲排周三，則乙、丙排后2天，
有2×1＝2(種)．
故共有12＋6＋2＝20(種)．
答案：20
9．已知a∈{2,4,6,8}，b∈{3,5,7,9}，則能組成logab>1的對數(shù)值有________個．
解析：由logab>1可得b>a，
故可根據(jù)a的取值進行分類．
當a＝2時，b可取3,5,7,9共4種情況；
當a＝4時，b可取5,7,9共3種情況；
當a＝6時，b可取7,9共2種情況；
當a＝8時，b只能取9，共1種情況．
由分類加法計數(shù)原理可知不同的對數(shù)值共有4＋3＋2＋1－1＝9(個)．其中l(wèi)og23＝log49.
答案：9
10．某市教育局在一次教師招聘中共邀請了9名評委老師，若將9位評委老師平均分成三組進行打分，共有________種不同的分法．
解析：9位評委老師平均分成3組，每組3人，這是一個均分問題，故不同的分法為＝280(種)．
答案：280
三、解答題
11．某校數(shù)學課外活動小組有高一學生10人，高二學生8人，高三學生7人．
(1)選其中1人為總負責人，有多少種不同的選法？
(2)每一年級各選1名組長，有多少種不同的選法？
(3)推選出其中2人去外校參觀學習，要求這2人來自不同年級，有多少種不同的選法？
解：(1)若從高一學生中選，則有10種不同選法；若從高二學生中選，則有8種不同選法；若從高三學生中選，則有7種不同選法；所以由分類加法計數(shù)原理知，共有10＋8＋7＝25(種)不同選法．
(2)三個年級分別有10種，8種，7種不同選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有10×8×7＝560(種)不同選法．
(3)選法可分三類：一類是1人選自高一，1人選自高二，有10×8＝80(種)選法；第二類是1人選自高一，1人選自高三，有10×7＝70(種)選法；第三類是1人選自高二，1人選自高三，有8×7＝56(種)選法，
所以共有80＋70＋56＝206(種)不同選法．
12．男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)男運動員3名，女運動員2名；
(2)至少有1名女運動員；
(3)既要有隊長，又要有女運動員．
解：(1)任選3名男運動員，方法數(shù)為C，再選2名女運動員，方法數(shù)為C，共有C·C＝120(種)方法．
(2)法一 至少有1名女運動員包括以下幾種情況：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，
由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為CC＋CC＋
CC＋CC＝246.
法二 “至少有1名女運動員”的反面是“全是男運動員”，因此用間接法求解，不同選法有C－C＝246(種)．
(3)當有女隊長時，其他人任意選，共有C種選法．不選女隊長時，必選男隊長，其他人任意選，共有C種選法，其中不含女運動員的選法有C種，所以不選女隊長時的選法共有(C－C)種選法．
所以既有隊長又有女運動員的選法共有
C＋C－C＝191(種)．
第2節(jié) 計數(shù)原理、排列與組合的綜合應用
1．兩個計數(shù)原理的綜合應用
對于一些較為復雜的既要運用分類計數(shù)原理又要運用分步計數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題的分析更直觀、清楚，一般采用先分類后分步的策略．
2．排列組合常見的解題策略
(1)特殊元素優(yōu)先安排策略；
(2)合理分類與準確分步策略；
(3)排列、組合混合問題先選后排的策略(處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列)；
(4)正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略；
(5)相鄰問題捆綁處理策略；
(6)不相鄰問題插空處理策略；
(7)定序問題除法處理策略；
(8)“小集團”排列問題先整體后局部策略；
(9)構造模型的策略．
1．如圖所示為一電路圖，從A到B共有________條不同的線路可通電( )
A．18 B．8
C．9 D．15
解析：先分步后分類，共有不同的線路為3×(3＋2)＝15條．故選D.
答案：D
2．已知5個工程隊承建某項工程的5個不同的子項目，每個工程隊承建一項，其中甲工程隊不能承建3號子項目，則不同的承建方案共有( )
A．4種 B．16種
C．64種 D．96種
解析：第一步確定甲工程隊承建的子項目，從1,2,4,5號子項目中任選一個，不同的選法有C＝4種；第二步，其余4個工程隊不同的排法有A＝24種．
由分步計數(shù)原理可知，不同的承建方案有4×24＝96種．故選D.
答案：D
3．電視臺在直播xx年莫斯科大學生運動會時要連續(xù)插播5個廣告，其中3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的運動會宣傳廣告，要求最后播放的是運動會宣傳廣告，且2個運動會宣傳廣告不能連播．則不同的播放方式的種數(shù)為( )
A．120 B．48
C．36 D．18
解析：有CCA＝36(種)，故選C.
答案：C
4．某班3名同學去參加5項活動，每人只參加1項，同一項活動最多2人參加，則3人參加活動的方案共有________種(用數(shù)字作答)．
解析：A＋CA＝120(種)．
答案：120
計數(shù)原理的綜合應用
[例1] 如圖所示，將四棱錐SABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法共有________種．(以數(shù)字作答)
[思維導引] 法一 可分兩大步進行，先將四棱錐一側面上的三個頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色方法種數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理可得染色方法總數(shù)；法二 按S→A→B→C→D的順序染色；法三 可按所用顏色種數(shù)分類．
[解析] 法一 由題意，四棱錐SABCD的頂點S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．
當S、A、B染色確定時，不妨設其顏色分別為1、2、3，設另外兩種顏色為4,5，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當S、A、B染色確定時，C、D有7種染法．
故不同的染色方法有60×7＝420(種)．
法二 第一步，S點染色，有5種方法；
第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；
第三步，B點染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法；
第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×4×3×1×3＝180(種)方法；當A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法，則有5×4×3×2×2＝240(種)方法．
由分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共
180＋240＝420(種)．
法三 第一類，5種顏色全用，共有5×4×3×2×1＝120(種)不同的染色方法；
第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C或B與D)，共有5×4×3×2＋5×4×3×2＝240(種)不同的染色方法；
第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有5×4×3＝60(種)不同的染色方法；
由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法共有
120＋240＋60＝420(種)．
[答案] 420
利用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，要注意以下幾個方面：
(1)對于復雜的問題，可借助列表、畫圖的方法將其分解為兩個計數(shù)原理的應用問題；
(2)先分類后分步，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；
(3)分類時要不重不漏；
(4)分步時要步驟完整．
即時突破1 已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中，第一、二象限內(nèi)不同的點有( )
A．18個 B．16個
C．14個 D．10個
解析：(1)設a∈M，b∈N.
①a為橫坐標，b為縱坐標，則由題意知，b>0，故a的選取有3種；b只有5,6兩種選法，由分步計數(shù)原理可知，滿足條件的點有3×2＝6個．
②a為縱坐標，b為橫坐標．
由題意a>0，則b的選法有4種，a的選法有2種．
由分步計數(shù)原理知，滿足條件的點有4×2＝8個．
由分類計數(shù)原理得，滿足條件的點共有6＋8＝14個．
故選C.
計數(shù)原理與排列(或組合)的綜合問題
[例2] (1)(xx年高考浙江卷)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)．
(2)如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為( )
A．240 B．204
C．729 D．920
[思維導引] (1)根據(jù)位置的對稱性分為C在第一或第六位置、C在第二或第五位置與C在第三或第四位置三類求解．
(2)根據(jù)a3是否為0，a1與a3是否相等進行分類，利用分類加法計數(shù)原理求解．
[解析] (1)按C的位置分類計算．
①當C在第一或第六位時，有A＝120(種)排法；
②當C在第二或第五位時，有AA＝72(種)排法；
③當C在第三或第四位時，有AA＋AA＝48(種)排法．
所以共有2×(120＋72＋48)＝480(種)排法．
(2)由題意知a2是a1，a2，a3三個數(shù)中的最大數(shù)且a1與a3的大小關系不確定，a1不能為0，a3可以為0，根據(jù)a3是否為0及a1與a3是否相等進行分類討論．
①若a3＝0，則滿足條件的凸數(shù)有C＝36個．
②若a3≠0，且a1＝a3則滿足條件的凸數(shù)有C＝36個．
③若a3≠0，且a1≠a3，則滿足條件的凸數(shù)有2C＝168個．
由分類計數(shù)原理知所有凸數(shù)的個數(shù)有36＋36＋168＝240個，故選A.
[答案] (1)480 (2)A
解決計數(shù)原理與排列(或組合)綜合問題時首先根據(jù)題意確定是分類還是分步解決，然后確定每一類(或步)是排列問題還是組合問題，先分別求解，再由計數(shù)原理最終求解．
即時突破2 用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復數(shù)字且比xx0大的五位偶數(shù)共有( )
A．48個 B．36個
C．24個 D．18個
解析：由題意知個位數(shù)字可為2或4.
①若個位數(shù)字為2，則首位數(shù)字有3,4,5三種選擇．
此時滿足條件的五位偶數(shù)有3A＝18個．
②若個位數(shù)字為4，則首位數(shù)字有2,3,5三種選擇．
此時滿足條件的五位偶數(shù)有3A＝18個．
由分類加法計數(shù)原理知滿足條件的五位偶數(shù)有18＋18＝36個．
故選B.
排列與組合的綜合應用
[例3] (1)(xx云南省玉溪市畢業(yè)班檢測)從1、2、3、4、5這五個數(shù)字中任取3個組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，當三個數(shù)字中有2和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有( )
A．51個 B．54個
C．12個 D．45個
(2)(xx吉林省白山市模擬)現(xiàn)有12件商品擺放在貨架上，擺成上層4件，下層8件，現(xiàn)要從下層8件中取2件調(diào)整到上層，若其他商品的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為( )
A．420種 B．560種
C．840種 D．xx0種
[思維導引] (1)依據(jù)選取的數(shù)字中是否含有2,3進行分類；(2)保持商品的相對順序不變可以利用依次插空法求解．
[解析] (1)依據(jù)選取的數(shù)字中是否含有2,3分為四類：
①2、3都不選取，則只能選取1,4,5，
故不同的三位數(shù)有A＝6個；
②選2不選3，且2排在3的前面，則需從1,4,5中選取2個，則不同的三位數(shù)有CA＝18個；
③選3不選2，則需從1,4,5中選取2個，則不同的三位數(shù)有CA＝18個；
④2、3都選，且2排在3的前面，則需從1,4,5中選取一個，則不同的三位數(shù)有＝9個．
綜上，不同的三位數(shù)共有：6＋18＋18＋9＝51個．
故選A.
(2)可分2步求解．
第一步，從下層8件中選取2件，不同的選法為C種．
第二步，選出的2件依次插入上層的4件中有A種不同的插法．
由分步計數(shù)原理可得，不同調(diào)整方法的種數(shù)有C·A＝28×20＝560種．故選B.
(1)解決排列組合應用題，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列．分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標準．
(2)由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結果時，應著重檢查所設計的解決方案是否完備，有無重復和遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看結果是否相同．
即時突破3 (1)(xx年高考山東卷)用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( )
A．243 B．252
C．261 D．279
(2)由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是( )
A．72 B．96
C．108 D．144
解析：(1)由0,1,2，…，9十個數(shù)字共可組成三位數(shù)個數(shù)為CCC＝900，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有CA＝648(個)，則符合題意的三位數(shù)個數(shù)為900－648＝252.故選B.
(2)由于為偶數(shù)，故末位共有C種選法，然后分類：①當5在首位或十位時，共有2AAC＝72(個)；②當5在萬位、千位或百位時，共有3AAC＝36(個)．
故共有72＋36＝108(個)．
故選C.
特殊元素(位置)優(yōu)先安排法
[典例] 3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為( )
A．360 B．288
C．216 D．96
分析：分兩步計算．第一步：計算滿足3位女生中有且只有兩位相鄰的排法．將3位女生分成兩組，插空到排好的3位男生中．
第二步：在第一步的結果中排除甲站兩端的排法．
解析：3位男生排成一排有A種排法，3名女生分成兩組．
其中2名排好看成一個整體有CA種排法，這兩組女生插空到3名男生中有A種插法，于是6位同學排成一排且3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有C·A·A·A＝432種．
其中男生甲在排頭或排尾時，其余兩男生的排法有A種，兩組女生插到2名男生中有A種插法．于是男生甲在排頭或排尾，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有2A·A·C·A＝144種．
所以滿足條件的排法共432－144＝288種．故選B.
該題涉及到兩個特殊條件：“甲不站兩端”與“3女生中有且只有兩位女生相鄰”，顯然對于“甲不站兩端”這類問題可利用間接法求解，將其轉(zhuǎn)化為“甲站兩端”的問題，要優(yōu)先安排甲，然后再安排其他元素；對于“三位女生中有且只有兩位女生相鄰”中的相鄰問題利用捆綁法，而不相鄰問題可以利用插空法求解．
一、選擇題
1.
如圖所示，使電路接通，開關不同的開閉方式有( )
A．11種 B．20種
C．21種 D．12種
解析：左邊兩個開關的開閉方式有閉合2個、1個即有1＋2＝3(種)，右邊三個開關的開閉方式有閉合1個、2個、3個，即有3＋3＋1＝7(種)，故使電路接通的情況有3×7＝21(種)．故選C.
答案：C
2．現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，每部分涂一種顏色，有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，如果顏色可以反復使用，則不同的著色方法共有( )
A．24種 B．30種
C．36種 D．48種
解析：按使用顏色種數(shù)可分為兩類．①使用4種顏色有A＝24種不同的著色方法，②使用3種顏色有A＝24種不同著色方法．由分類加法原理知共有24＋24＝48種不同的著色方法．
故選D.
答案：D
3．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有( )
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
解析：法一 先分組后分配，不同的安排方案共有
AA＝12(種)．故選A.
法二 由位置選元素，先安排甲地，其余去乙地，不同的安排方案共有CC·CC＝12(種)．選A.
答案：A
4．(xx山西省太原市第五中學高三模擬)xx年第12屆全國運動會舉行期間，某校4名大學生申請當A，B，C三個比賽項目的志愿者，組委會接受了他們的申請，每個比賽項目至少分配一人，每人只能服務一個比賽項目，若甲要求不去服務A比賽項目，則不同的安排方案共有( )
A．20種 B．24種
C．30種 D．36種
解析：①甲自己服務一個比賽項目，則先讓甲從B、C中選取一個項目，然后其余三人分成2組(2＋1)服務兩個不同的比賽項目，故不同的安排方案共有CCA＝12種；
②甲和另一名大學生兩人一組服務一個比賽項目，則先從其余三人中選取一個與甲組成一組，再從B、C中選取一個項目，最后剩余兩人與兩個項目進行全排列即可，所以不同的安排方案共有CCA＝12種．
由分類計數(shù)原理可得，不同的安排方案為12＋12＝24種．
故選B.
答案：B
5．(xx山西省山大附中高三模擬)如圖所示是某個區(qū)域的街道示意圖(每個小矩形的邊表示街道)，那么從A到B的最短線路有________條．( )
A．100 B．400
C．200 D．250
解析：從A到B的最短線路有兩條：A－M－B；A－N－B.
①若線路為A－M－B，則從A到M只需走5條街道，則需要從這五條街道中走3條向右，剩余2條街道則需要向北走，不同的走法為C＝10種；從M到B只需走5條街道，則需要從這五條街道中走2條向右，剩余3條街道則需要向北走，不同的走法為C＝10種．
由分步計數(shù)原理可得，不同的走法為10×10＝100種．
②若線路為A－N－B，則從A到N只需走5條街道，則需要從這五條街道中走2條向右，剩余3條街道則需要向北走，不同的走法為C＝10種；從N到B只需走5條街道，則需要從這五條街道中走3條向右，剩余2條街道則需要向北走，不同的走法為C＝10種．
由分步計數(shù)原理可得，不同的走法為10×10＝100種．
由分類計數(shù)原理可得，不同的走法共有100＋100＝200種．
故選C.
答案：C
6．(xx長春市高中畢業(yè)班第四次調(diào)研)若數(shù)列{an}滿足規(guī)律：a1>a2…a2n<…，則稱數(shù)列{an}為余弦數(shù)列，現(xiàn)將1,2,3,4,5排列成一個余弦數(shù)列的排法種數(shù)為( )
A．12 B．14
C．16 D．18
解析：①a1，a3，a5從3,4,5中取值時，a2，a4從1,2中取值．
共AA＝12種．
②a1，a3，a5依次取2,4,5時，a2，a4依次取1,3，
a1，a3，a5依次取2,5,4時，a2，a4依次取1,3，
a1，a3，a5依次取4,5,2時，a2，a4依次取3,1，
a1，a3，a5依次取5,4,2時，a2，a4依次取3,1.
由分類加法計數(shù)原理得，不同的排法為12＋4＝16種，
故選C.
答案：C
二、填空題
7．(xx河南省商丘市高三第三次模擬)將標號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張卡片，其中標號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法總數(shù)為________．
解析：先將標號為3,4,5,6的卡片平均分成兩組，不同的分法有＝3種．
再將3組分別裝入3個信封中，不同的裝法有A＝6種．
由分步計數(shù)原理得不同方法的總數(shù)為3×6＝18.
答案：18
8．(xx山西省四校聯(lián)考)某鐵路貨運站對6列貨運列車進行編組調(diào)度，決定將這6列列車編成兩組，每組3列，且甲與乙兩列列車不在同一小組，如果甲所在小組3列列車先開出，那么這6列列車先后不同的發(fā)車順序共有________種．
解析：先進行分組，從其余4列火車中任取2列與甲一組，不同的分法為C＝6種．
由分步計數(shù)原理得不同的發(fā)車順序為C·A·A＝216種．
答案：216
9．用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1,2，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“1、5、9”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有________種.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解析：第一步，從紅、黃、藍三種顏色中任選一種去涂標號為“1、5、9”的小正方形，涂法有3種；
第二步，涂標號為“2、3、6”的小正方形，若“2、6”同色，涂法有2×2種，若“2、6”不同色，涂法有2×1種；
第三步，涂標號為“4、7、8”的小正方形，涂法同涂標號為“2、3、6”的小正方形的方法一樣．
所以符合條件的所有涂法共有
3×(2×2＋2×1)×(2×2＋2×1)＝108(種)．
答案：108
10．某國家代表隊要從6名短跑運動員中選4人參加亞運會4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有______種參賽方法．
解析：分情況討論：①若甲、乙均不參賽，則有A＝24(種)參賽方法；②若甲、乙有且只有一人參賽，則有C·C(A－A)＝144(種)；③若甲、乙兩人均參賽，則有C(A－2A＋A)＝84(種)，故一共有24＋144＋84＝252(種)參賽方法．
答案：252
三、解答題
11.
編號為A、B、C、D、E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在1、2號，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，求不同的放法有多少種？
解：根據(jù)A球所在位置分三類：
(1)若A球放在3號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C、D、E有3×2×1＝6(種)不同的放法；
(2)若A球放在5號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C、D、E有3×2×1＝6(種)不同的放法；
(3)若A球放在4
2019-2020年高考數(shù)學大一輪總復習 第9篇 第3節(jié) 變量間的相關關系與獨立性檢驗課時訓練 理 新人教A版 .doc
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