高考數(shù)學 2.10 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算課件.ppt

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第十節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù): ①定義:稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 __________________= 為y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，記作 f′(x0)或 即f′(x0)= =___________________.,②幾何意義:函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線 y=f(x)上點(x0,f(x0))處的___________.相應地,切線方程為_______ ______________. (2)函數(shù)y=f(x)的導函數(shù): 稱函數(shù)f′(x)=__________________為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),導函數(shù)有時也記作y′.,切線的斜率,y-f(x0),=f′(x0)(x-x0),(3)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:,0,αxα-1,cosx,-sinx,axlna,ex,(4)導數(shù)四則運算法則: ①[f(x)±g(x)]′=_______________. ②[f(x)·g(x)]′=______________________. ③ ＝__________________(g(x)≠0).,f′(x)±g′(x),f′(x)g(x)+f(x)g′(x),(5)復合函數(shù)的導數(shù): 復合函數(shù)y=f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為yx′=__________.,yu′·ux′,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線是以點P(x0,y0)為切點,以f′(x0)為斜率的直線,而曲線y=f(x)過點P(x0,y0)的切線,點P(x0,y0)不一定是切點. (2)函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向,其大小|f′(x)|反映了變化的快慢, |f′(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”.,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:利用導數(shù)求切線的方法. (2)數(shù)學思想:轉化與化歸、數(shù)形結合. (3)記憶口訣: 導數(shù)概念要理清,專門刻畫變化量, 放大放大再放大,逼近逼近再逼近. 幾何意義在切線,物理應用求速度. 常見函數(shù)的導數(shù),定義證明會推導. 導數(shù)的四則運算,記住法則計算巧. 簡單函數(shù)的復合,記住公式會運算.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)求f′(x0)時,可先求f(x0)再求f′(x0).( ) (2)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.( ) (3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+ln x(a0),則f′(x)=2xf′(a)+ .( ),【解析】(1)錯誤.應先求f′(x),再求f′(x0). (2)正確.如y=1是曲線y=sin x的切線,但其交點個數(shù)有無數(shù)個. (3)錯誤.如y=0與拋物線y2=x只有一個公共點,但是y=0不是拋物線y2=x的切線. (4)正確.f′(x)=(f′(a)x2+ln x)′=(f′(a)x2)′+(ln x)′ =2xf′(a)+ . 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-2P11T1改編)在高臺跳水運動中,t s時運動員相對于水面的高度(單位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10.則運動員的速度v= ,加速度a= . 【解析】v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8. 答案:-9.8t+6.5 -9.8,(2)(選修2-2P18T3改編)已知函數(shù)r(V)= ,則r′( )=_____. 【解析】因為r′(V)= 所以r′( )= 答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·廣東高考)曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為 . 【解析】因為y′=-5ex,y′|x=0=-5,即在點(0,-2)處的切線斜率為-5,所以切線方程為y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0,(2)(2013·江西高考)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(1,2)處的切線經過坐標原點,則α= . 【解析】因為y′=α·xα-1,所以在點(1,2)處的切線斜率k=α,則切線方程為y-2=α(x-1),又切線過原點,故0-2=α(0-1),解得α=2. 答案:2,(3)(2015·陽泉模擬)直線y= x+b是曲線y=ln x(x0)的一條切線,則實數(shù)b= . 【解析】y′= ,令 = ,得x=2, 因此切點為(2,ln2),代入直線方程 y= x+b得b=ln2-1. 答案:ln2-1,考點1 導數(shù)的計算 【典例1】求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=exsin x.(2)y=x( ). (3)y=x- (4)y=ln(1-2x).,【解題提示】(1)利用積的導數(shù)運算法則求解. (2)(3)先化簡再求導.(4)y=ln(1-2x)是由y=ln u與u=1-2x復合而成.,【規(guī)范解答】(1)y′=(ex)′sin x+ex(sin x)′=exsin x+excos x. (2)因為 所以y′= (3)因為y=x- sin x, 所以y′=1- cos x. (4)設y=ln u,則y=ln(1-2x)是由y=ln u,與u=1-2x復合而成. 所以y′x=y′u·u′x=(ln u)′·(1-2x)′= ·(-2),【易錯警示】解答本題有三點容易出錯： (1)解答本題(2)時，若直接使用積的運算法則求導,則運算煩瑣，易出錯. (2)解答本題(3)時，若不先化簡，直接使用積的運算法則求導，易導致錯誤答案. (3)解答(4)時，易因搞不清復合函數(shù)的構成而解答失誤.,【規(guī)律方法】導數(shù)計算的原則和方法 (1)原則：先化簡解析式，使之變成能用八個求導公式求導的函數(shù)的和、差、積、商，再求導. (2)方法： ①連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導； ②分式形式：觀察函數(shù)的結構特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導； ③對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導；,④根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導； ⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉化為和或差的形式，再求導； ⑥復合函數(shù)：由外向內，層層求導.,【變式訓練】求下列各函數(shù)的導數(shù). (1)y=(3x2-4x)(2x+1). (2)y=x2sin x. (3)y= (4),【解析】(1)因為y=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x， 所以y′=18x2-10x-4. (2)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (3)y′=,(4) 所以y′=,【加固訓練】求下列函數(shù)的導數(shù). (1)y=3xex-2x+e. (2)y= (3)y=,【解析】(1)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln(3e)-2xln2. (2)先化簡, 所以 (3)設u=1-3x，則y=u-4， 則yx′=yu′·ux′=,考點2 導數(shù)幾何意義的應用 知·考情 導數(shù)的幾何意義是高考重點考查的內容,主要考查求曲線的切線斜率、切線方程或已知曲線的切線斜率、切線方程求參數(shù)的值或范圍等問題.,明·角度 命題角度1:求切點坐標或切線方程 【典例2】(2014·江西高考)若曲線y=e-x上點P處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點P的坐標是 . 【解題提示】切線問題運用導數(shù)的幾何意義求解.,【規(guī)范解答】設點P(x0,y0),因為y′=-e-x, 所以曲線在點P處的切線的斜率為 又因為切線平行于直線2x+y+1=0,所以 解得x0=-ln2,代入y=e-x得y0=2, 所以點P(-ln2,2). 答案:(-ln2,2),命題角度2:求參數(shù)的值 【典例3】(2014·陜西高考)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切),已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分,則該函數(shù)的解析式為( ),【解題提示】根據(jù)已知圖像可以得到函數(shù)圖像在與x軸交點處的導數(shù),再利用導數(shù)及函數(shù)的零點列出三元一次方程組,解之即得所求.,【規(guī)范解答】選A.由已知可得此函數(shù)為三次函數(shù)且過原點,故可設函數(shù)解析式為y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f′(x)=3ax2+2bx+c, 由題意知f′(0)=-1,f′(2)=3,f(2)=0,即c=-1, 12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0, 解之得a= ,b=- ,c=-1. 所以y= x3- x2-x.,悟·技法 導數(shù)幾何意義的應用及解法 (1)已知切點A(x0,y0)求斜率k,即求該點處的導數(shù)值k=f′(x0). (2)已知斜率k,求切點A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k. (3)求過某點M(x1,y1)的切線方程時,需設出切點A(x0,f(x0)),則切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),再把點M(x1,y1)代入切線方程,求x0.,(4)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值時,一般是利用切點P(x0,y0)既在曲線上又在切線上構造方程組求解. 提醒:當切線方程中x(或y)的系數(shù)含有字母參數(shù)時,則切線恒過定點.,通·一類 1.(2015·昆明模擬)若曲線f(x)=acos x與曲線g(x)=x2+bx+1在交點(0,m)處有公切線,則a+b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】選C.f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,由題意知f(0)=a=g(0) =1,且f′(0)=0=g′(0)=b,即a=1,b=0,所以a+b=1.,2.(2014·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若曲線y=ax2+ (a，b為常數(shù))過點P(2,-5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x+2y+3=0平行，則a+b的值是__________.,【解析】曲線y=ax2+ (a，b為常數(shù))過點P(2,-5), 則有4a+ =-5, 又該曲線在點P處的切線與直線7x+2y+3=0平行， 由y′=2ax- 得 聯(lián)立兩式得 則a+b=-3. 答案：-3,3.(2014·廣東高考)曲線y=e-5x+2在點(0,3)處的切線方程為______. 【解析】因為y′=-5e-5x,y′|x=0=-5, 即在點(0,3)處的切線斜率為-5, 所以切線方程為y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0. 答案:5x+y-3=0,4.(2015·無錫模擬)拋物線y=x2上的點到直線:x-y-2=0的最短距離為__________. 【解析】y′=2x,根據(jù)題意可知與直線x-y-2=0平行的拋物線y=x2的切線對應的切點到直線x-y-2=0的距離最短，設切點坐標為(x0,x02)，則 所以x0= ,所以切點坐標為( ),切點到直線x-y- 2=0的距離d= ,所以拋物線上的點到直線x-y-2=0的 最短距離為 答案：,創(chuàng)新體驗2 導數(shù)幾何意義應用的創(chuàng)新問題 【創(chuàng)新點撥】 1.高考考情:導數(shù)幾何意義的應用中的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的一個增長點,此類問題以新定義、新情境為依托,考查學生理解問題、解決創(chuàng)新問題的能力. 2.命題形式:常見的有新概念、新情境、新法則等.,【新題快遞】 1.(2014·陜西高考)如圖,某飛行器在4千米高空水平飛行,從距著陸點A的水平距離10千米處下降,已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分,則函數(shù)的解析式為( ),【解題提示】根據(jù)函數(shù)的圖象可以得到函數(shù)的極值點,再利用導數(shù)求得解析式的極值點,二者能夠統(tǒng)一的即為所求.,【解析】選A.由函數(shù)圖象可得函數(shù)的極值點為±5,對四個選項中函數(shù)解析式進行求導,只有選項A的函數(shù)解析式求導得y′=3× x2- ,令y′=0得x=±5,所以只有選項A的解析式與圖象相統(tǒng)一.,2.(2014·安徽高考)若直線l與曲線C滿足下列兩個條件: (1)直線l在點P(x0,y0)處與曲線C相切. (2)曲線C在點P附近位于直線l的兩側,則稱直線l在點P處“切過”曲線C. 下列命題正確的是 (寫出所有正確命題的編號). ①直線l:y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=x3; ②直線l:x=-1在點P(-1,0)處“切過”曲線C:y=(x+1)2; ③直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=sin x; ④直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=tan x; ⑤直線l:y=x-1在點P(1,0)處“切過”曲線C:y=ln x.,【解析】根據(jù)題意滿足條件的有①③④,②⑤不滿足題意. 答案:①③④,【備考指導】 1.準確轉化:解決此類問題時,一定要讀懂題目的本質含義,緊扣題目所給條件,結合題目要求進行恰當轉化,切忌同已有概念或定義相混淆. 2.方法選取:對于導數(shù)幾何意義的應用中的創(chuàng)新問題,可恰當選用圖象法、特例法、一般邏輯推理等方法,同時結合導數(shù)的幾何意義求解,以此培養(yǎng)學生領悟新信息、運用新信息的能力.,