高考數(shù)學 3.2 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式課件.ppt
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第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)同角三角函數(shù)的基本關系: 平方關系:_. 商數(shù)關系:_.,sin2+cos2=1,(2)三角函數(shù)的誘導公式:,-sin,-sin,sin,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-sin,tan,-tan,-tan,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)sin2=1-cos2,cos2=_.,1-sin2,(2)特殊角的三角函數(shù)值,0,1,0,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:統(tǒng)一法,整體代換法. (2)數(shù)學思想:轉化與化歸的思想. (3)記憶口訣:三角函數(shù)誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變,符號看象限”.,【小題快練】 1.思考辨析靜心思考判一判 (1)120角的正弦值是 ,余弦值是 ( ) (2)同角三角函數(shù)關系式中的角是任意角.( ) (3)六組誘導公式中的角可以是任意角.( ) (4)誘導公式的口訣“奇變偶不變,符號看象限”中的“符號”與的大小無關.( ),【解析】(1)錯誤.sin 120=sin(180-60)=sin 60= cos 120=cos(180-60)=-cos 60= (2)錯誤.在tan = 中 +k,kZ. (3)錯誤.對于正、余弦的誘導公式角可以為任意角,而對于正切的誘導公式 k,kZ. (4)正確.誘導公式的“符號看象限”中的符號是把任意角都看成銳角時原函數(shù)值的符號,因而與的大小無關. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P21T5改編)已知f(x)= 則f(- )的值為( ) A.0 B.1 C.-5 D.-9 【解析】選C.f(- )=sin 0+2sin(- )-4cos(- )+3cos(-)= 0+2(-1)-40+3(-1)=-5.,(2)(必修4P22T3改編)已知tan =-2,則 =_. 【解析】原式= 答案:-2,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015泰安模擬)sin 600的值為( ) 【解析】選B.sin 600=sin(360+240)=sin 240=sin(180+ 60)=-sin 60=,(2)(2015梅州模擬)已知為銳角,且tan(-)+3=0,則sin 的值是( ) 【解析】選B.方法一:由tan(-)+3=0得tan =3,即 sin =3cos ,所以sin2=9(1-sin2),10sin2=9,sin2= 又因為為銳角,所以sin =,方法二:因為為銳角,且tan(-)+3=0,所以-tan +3=0即 tan =3.在如圖直角三角形中,令A=,BC=3則AC=1,故 所以,考點1 誘導公式的應用 【典例1】(1)(2015蘭州模擬)計算:2sin( )+cos 12+ tan =_. (2)已知cos( -)= ,則sin(- )=_. (3)(2015淮南模擬)已知f(x)= 則f( )=_.,【解題提示】(1)利用誘導公式化大角為小角,再求值. (2)注意角 -與- 的關系,用誘導公式轉化求值. (3)利用誘導公式先化簡,再求值.,【規(guī)范解答】(1)原式= 答案:1,(2)因為 所以 答案:,(3)因為f(x)= 所以 答案:-1,【互動探究】在本例題(2)的條件下,求 的值. 【解析】,【規(guī)律方法】 1.誘導公式的兩個應用 (1)求值:負化正,大化小,化到銳角為終了. (2)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了. 2.含2整數(shù)倍的誘導公式的應用 由終邊相同的角的關系可知,在計算含有2的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2的整數(shù)倍去掉后再進行運算,如cos(5-)= cos(-)=-cos .,【變式訓練】(2015濟寧模擬)計算: 【解析】原式 答案:-1,【加固訓練】1.(2015南昌模擬)已知sin(x+ )= ,則cos(x+ ) 的值為( ) 【解析】選B.因為 所以,2.已知A= (kZ),則A的值構成的集合是( ) A.1,-1,2,-2 B.-1,1 C.2,-2 D.1,-1,0,2,-2 【解析】選C. 當k為偶數(shù)時,A= k為奇數(shù)時,,3.(2014揚州模擬)已知點(tan ,sin(- )是角終邊上一點,則cos( +)=_. 【解析】將(tan ,sin(- )化簡得:(1,- ),在第四象限, 所以sin = 則 答案:,考點2 同角三角函數(shù)關系式的應用 【典例2】(1)(2015青島模擬)已知是第四象限角,sin = 則tan =( ) (2)化簡:(1+tan2 )(1-sin2 )=_. (3)(2015銀川模擬) 若tan = ,則 =_,sin22sin cos =_.,【解題提示】(1)先求cos ,再求tan ,注意角的范圍. (2)切化弦,注意應用公式的變形. (3)第一個式子的分子分母都是關于sin ,cos 的一次式,第二個式子的分母看成1,然后轉化為sin2 +cos2 ,此時分子分母都是關于sin ,cos 的二次式,利用商數(shù)關系轉化成關于tan 的表達式求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.因為是第四象限角,sin = 所以cos = 故tan = (2)原式= 答案:1,(3) 答案:,【一題多解】解答本例題(3),你還知道幾種解法? 解答本題,還有以下兩種解法: 方法一:因為tan = 所以sin = 所以,方法二:因為tan = 所以sin = cos , 又因為sin2 +cos2 =1, 所以 由tan = 0,知是二、四象限角. 當是第二象限角時, 此時 當是第四象限角時,,此時 答案:,【規(guī)律方法】同角三角函數(shù)關系式的應用方法 (1)利用sin2 +cos2 =1可實現(xiàn) 的正弦、余弦的互化,利用 =tan 可以實現(xiàn)角 的弦切互化. (2)關系式的逆用及變形用:1=sin2 +cos2 ,sin2 =1-cos2 , cos2 =1-sin2 . (3)sin ,cos 的齊次式的應用:分式中分子與分母是關于sin , cos 的齊次式,或含有sin2,cos2及sin cos 的式子求值時, 可將所求式子的分母看作“1”,利用“sin2cos2=1”代換后轉化 為“切”后求解.,【變式訓練】1.(2015長沙模擬)化簡: =_. 【解析】原式= 答案: sin 2x,2.已知 則sin xcos x+cos2x=_. 【解析】由已知,得 解得tan x=2, 所以 答案:,【加固訓練】1.(2015??谀M) 記cos(-80)=k,那么tan 100 等于( ) 【解析】選B.因為cos(-80)=cos 80=k, 所以sin 80= 所以tan 100=-tan 80=,2.化簡:cos4-sin4+1= . 【解析】原式=(cos2-sin2)(cos2+sin2)+1 =cos2-sin2+1 =2cos2. 答案:2cos2,考點3 誘導公式、同角三角函數(shù)關系式的綜合應用 知考情 利用誘導公式、同角三角函數(shù)關系式化簡求值是高考的重點,常與三角恒等變換結合,達到化簡的目的,在高考中常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).,明角度 命題角度1:利用誘導公式求值 【典例3】(2014安徽高考)設函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x+)= f(x)+sin x,當0x時,f(x)=0,則f( )=( ) 【解題提示】由函數(shù)f(x)滿足的關系式,逐步降角,直到把 轉化到區(qū)間0,)上,再利用當0x時,f(x)=0求值.,【規(guī)范解答】選A.由f(x+)=f(x)+sin x,得 f(x+2)=f(x+)+sin(x+) =f(x)+sin x-sin x=f(x), 所以f( )=f( ) =f( )=f( ) =f( )+sin . 因為當0x時,f(x)=0. 所以,命題角度2:綜合利用誘導公式和同角三角函數(shù)關系式求值 【典例4】(2015衡水模擬)已知 且- ,則cos( -)等于( ) 【解題提示】明確 +與 -的關系是解題的關鍵,求值時要注意角的范圍.,【規(guī)范解答】選D.因為 所以cos( -)= sin =sin( +).因為-0,所以 所以,悟技法 1.誘導公式用法的一般思路 (1)化大角為小角. (2)角中含有加減 的整數(shù)倍時,用公式去掉 的整數(shù)倍. 2.常見的互余和互補的角 (1)常見的互余的角: -與 +; +與 -; +與 -等. (2)常見的互補的角: +與 -; +與 -等.,3.三角函數(shù)式化簡的方向 (1)切化弦,統(tǒng)一名. (2)用誘導公式,統(tǒng)一角. (3)用因式分解將式子變形,化為最簡.,通一類 1.(2015合肥模擬)設f(x)=cos(-x)+2cos 2x+3cos 4x+4cos 5x,則f( )=( ) 【解析】選D.f( )= = =,2.(2015汕頭模擬)已知sin(3-)=-2sin( +),則 sin cos 等于( ) 【解析】選A.因為sin(3-)=sin(-)=-2sin( +), 所以sin =-2cos ,所以tan =-2, 所以,3.(2015福州模擬)計算: =_. 【解析】原式= = = 答案:-1,巧思妙解5 巧用平方關系求值 【典例】(2015西安模擬)已知sin +cos = ,(0,),則tan =_. 【常規(guī)解法】 由 消去cos 整理得, 25sin2-5sin -12=0.,解得sin = 或sin = 因為(0,), 所以sin = 又由sin cos = 得, cos = 所以tan = 答案:,【巧妙解法】 因為sin +cos = , 所以(sin +cos )2=1+2sin cos = 即2sin cos = 所以(sin -cos )2=1-2sin cos = 又2sin cos = 0,0, 所以sin 0,cos 0,,即sin -cos 0, 故sin -cos = 聯(lián)立得 所以tan = 答案:,【方法指導】平方關系的靈活應用 (1)根據(jù)平方關系sin2 +cos2 =1,三者:sin +cos , sin cos ,sin -cos 中知道一個就可求另外兩個. (2)開方求sin +cos ,或sin -cos 時,一定要注意角的取值范圍對其值符號的影響.,【類題試解】已知sin -cos = ,(0,),則sin 2=( ) 【常規(guī)解法】選A.由 消去cos 整理得2sin2- sin +1=0,解得sin = 又由sin -cos = 得,cos = ,故sin 2=2sin cos =-1.,【巧妙解法】選A.將等式sin -cos = 兩邊平方,整理得sin2+cos2-2sin cos =22sin cos =-1sin 2=-1.,- 配套講稿:
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