高考數(shù)學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時1 相似三角形的進一步認識課件 理.ppt

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,§14.1 幾何證明選講,課時1 相似三角形的進一步認識,,,內容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,基礎知識 自主學習,1.平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也 . 推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必 . 推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必 . 2.平行線分線段成比例定理 兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段 . 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段 .,相等,平分另一腰,平分第三邊,成比例,成比例,,知識梳理,1,,答案,3.相似三角形的判定及性質 (1)判定定理：,(2)性質定理：相似三角形的對應線段的比等于 ，面積比等于 .,兩角,兩邊,夾角,三邊,相似比,相似比的平方,,答案,4.直角三角形的射影定理 直角三角形一條直角邊的平方等于該 ，斜邊上的高的平方等于 .,直角邊在斜邊上的射影與,斜邊的乘積,兩條直角邊在斜邊上射影,的乘積,,答案,1.如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.,證明 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA， 故A，B，C，D四點共圓，從而∠CAB＝∠CDB. 由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA， 因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,2.如圖，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的長度.,依題意得，△ADB∽△ACE，,,解析答案,1,2,3,3.如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC于點F，求 的值.,解 如圖，過點D作DG∥AF，交BC于點G，易得FG＝GC， 又在△BDG中，BE＝DE， 即EF為△BDG的中位線，,,1,2,3,解析答案,返回,,題型分類 深度剖析,例1 如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD交于點O，過點O作AB的平行線，與AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，與CD的延長線交于點K.求證：KO2＝KE·KF.,,,題型一 平行截割定理的應用,,解析答案,思維升華,證明 延長CK，BA，設它們交于點H， 因為KO∥HB，,因為KF∥HB，,即KO2＝KE·KF.,,思維升華,,當條件中給出平行線時，應優(yōu)先考慮平行線分線段成比例定理，在有關比例的計算與證明題中，常結合平行線分線段成比例定理構造平行線解題.作平行線常用的方法有利用中點作中位線，利用比例線段作平行線等.,思維升華,(1)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點O，過點O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF的長度. 解 ∵AD∥BC，,∴EF＝OE＋OF＝15.,跟蹤訓練1,,解析答案,(2)如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，求AB的長. 解 ∵DE∥BC，,,解析答案,例2 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E為AC的中點，ED、CB延長線交于一點F. 求證：FD2＝FB·FC.,證明 ∵E是Rt△ACD斜邊上的中點， ∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A， ∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A， ∴∠FBD＝∠FDC， ∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，,,,題型二 相似三角形的判定與性質,,解析答案,思維升華,,(1)判定兩個三角形相似要注意結合圖形的性質特點，靈活選擇判定定理.在一個題目中，相似三角形的判定定理和性質定理可能多次用到.(2)相似三角形的性質可用來證明線段成比例、角相等，也可間接證明線段相等.,思維升華,(1)如圖，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的長. 解 ∵BC∥PE， ∴∠PED＝∠C＝∠A， ∴△PDE∽△PEA，,又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.,跟蹤訓練2,,解析答案,(2)如圖，四邊形ABCD中，DF⊥AB，垂足為F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延長FB到E，使BE＝FB，連結BD，EC.若BD∥EC，求四邊形ABCD的面積.,解 如圖，過點E作EN⊥DB交DB的延長線于點N， 在Rt△DFB中，DF＝3，F(xiàn)B＝1，,所以EN為△BCD底邊BD上的高，,,解析答案,例3 如圖，在△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC的長.,,,題型三 射影定理的應用,,解析答案,思維升華,解 在△ABC中，設AC為x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC. 又FC＝1，根據(jù)射影定理，得AC2＝FC·BC， 即BC＝x2. 再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，,在△BDC中，過D作DE⊥BC于E.,,解析答案,在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，,,思維升華,,(1)在使用直角三角形射影定理時，要學會將“乘積式”轉化為相似三角形中的“比例式”.(2)證題時，作垂線構造直角三角形是解直角三角形常用的方法.,思維升華,(1)如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.,解 ∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4， ∴AC∶BC＝3∶2.,跟蹤訓練3,,解析答案,(2)已知圓的直徑AB＝13，C為圓上一點，過C作CD⊥AB于D(ADBD)，若CD＝6，求AD的長.,解 如圖，連結AC，CB，∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°. 設AD＝x，∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD2＝AD·DB， 即62＝x(13－x)， ∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9. ∵ADBD，∴AD＝9.,,解析答案,返回,,思想方法 感悟提高,1.判定兩個三角形相似的常規(guī)思路 (1)先找兩對對應角相等； (2)若只能找到一對對應角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應成比例； (3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對應成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”.,2.直角三角形中常用的四個結論 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB(如圖)：,(1)∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD. (2)△ABC∽△ACD∽△CBD. (3)a2＝pc，b2＝qc，h2＝pq，ab＝ch(其中c＝p＋q). (4)在a、b、p、q、h五個量中，知道兩個量的值，就能求出其他三個量的值.,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.如圖，△OAB是等腰三角形，P是底邊AB延長線上一點， 且PO＝3，PA·PB＝4，求腰長OA的長度. 解 如圖，作OD⊥AP，垂足為D， 則PO2－PD2＝OB2－BD2， 所以PO2－OB2＝PD2－BD2， 因為AD＝BD， 所以PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝PA·PB＝4， 所以PO2－OB2＝4，所以OB2＝9－4＝5，,,解析答案,2.如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6， AC＝4，AD＝12，求AE的長.,解 由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D， ∴△ABE∽△ADC，,又AC＝4，AD＝12，AB＝6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,3.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，求AD∶BC.,∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AC2＝CD·BC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,4.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，求△ACD與△CBD的相似比. 解 如圖所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB， 由射影定理得：CD2＝AD·BD， 又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x.則BD＝3x(x0)，,又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,證明 ∵BE是∠ABC的角平分線，,在Rt△ABC中，由射影定理知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中點， CN⊥AM，垂足是N，求證：AB·BM＝AM·BN. 證明 ∵CM2＝MN·AM， 又∵M是BC的中點，,又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB∽△BMN，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,7.如圖所示，平行四邊形ABCD中，E是CD延長線上的一 點，BE與AD交于點F，DE＝ CD. (1)求證：△ABF∽△CEB；,證明 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD. ∴∠ABF＝∠CEB. ∴△ABF∽△CEB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)若△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積. 解 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD. ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.,∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8. ∴S四邊形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16. ∴S四邊形ABCD＝S四邊形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,8.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂 足為E，連結AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE＝∠C. (1)求證：△ABF∽△EAD.,證明 ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的長. 解 ∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,9.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分 別是AB、BC的中點，EF與BD相交于點M. (1)求證：△EDM∽△FBM； 證明 ∵E是AB的中點，∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB. 又∵AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形. ∴CB∥DE，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)若DB＝9，求BM.,∵F是BC的中點， ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,10.如圖，在梯形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF∥AD，假設EF做上下平行移動.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,證明 過點A作AH∥CD分別交EF，BC于點G，H.,又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，,即3EF＝BC＋2AD.,,解析答案,解 EF與BC，AD的關系式為5EF＝2BC＋3AD，理由和(1)類似.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,返回,