高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理 10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理課件 理.ppt

《高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理 10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理課件 理.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理 10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理課件 理.ppt（62頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

,第十章 計數(shù)原理,§10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,,,內(nèi)容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,易錯警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,,基礎知識 自主學習,1.分類計數(shù)原理 如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法. 2.分步計數(shù)原理 如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.,m1＋m2＋…＋mn,,知識梳理,1,,答案,3.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別在于：分類計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)在分類計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分類計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.( ) (3)在分步計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成.( ) (4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法.( ) (5)在分步計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.( ),×,√,√,√,√,,答案,思考辨析,1.(教材改編)三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過3次傳遞后，毽子又被踢回給甲.則不同的傳遞方式共有________種. 解析 傳遞方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲.,2,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為________. 解析 5個人中每一個都可主持，所以共有5種選法.,5,,解析答案,1,2,3,4,5,3.現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有________種. 解析 按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48種.,48,,解析答案,1,2,3,4,5,4.用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，則這樣的四位數(shù)共有____個.(用數(shù)字作答),解析 數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：,綜上所述，共可組成14個這樣的四位數(shù).,14,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有________種. 解析 每位同學都有2種報名方法， 因此，可分五步安排5名同學報名， 由分步計數(shù)原理，總的報名方法共2×2×2×2×2＝32(種).,32,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,例1 高三一班有學生50人，男生30人，女生20人；高三二班有學生60人，男生30人，女生30人；高三三班有學生55人，男生35人，女生20人. (1)從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？ 解 完成這件事有三類方法： 第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法； 第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法； 第三類，從高三三班任選一名學生共有55種選法. 根據(jù)分類計數(shù)原理，任選一名學生任學生會主席共有50＋60＋55＝165種選法.,,,題型一 分類計數(shù)原理的應用,,解析答案,(2)從高三一班、二班男生中，或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？ 解 完成這件事有三類方法： 第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法； 第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法； 第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法. 綜上知，共有30＋30＋20＝80種選法.,,解析答案,思維升華,,思維升華,分類標準是運用分類計數(shù)原理的難點所在，重點在于抓住題目中的關鍵詞或關鍵元素、關鍵位置.首先根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準；其次分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類.,(2015·四川)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比 40 000大的偶數(shù)共有________個.,故比40 000大的偶數(shù)共有72＋48＝120個.,120,跟蹤訓練1,,解析答案,例2 (1)將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有________種. 解析 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6種不同排法； 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1種排法. 因此共有6×2×1＝12種不同的排列方法.,12,,,題型二 分步計數(shù)原理的應用,,解析答案,(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法. 解析 每項限報一人，且每人至多參加一項， 因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法， 根據(jù)分步計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120種.,120,,解析答案,1.本例(2)中將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？ 解 每人都可以從這三個比賽項目中選報一項， 各有3種不同的報名方法， 根據(jù)分步計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729種.,引申探究,,解析答案,2.本例(2)中將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？ 解 每人參加的項目不限， 因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽， 根據(jù)分步計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216種.,,解析答案,(1)某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元.某人想從01至10中選3個連續(xù)的號，從11至20中選2個連續(xù)的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注,則這人把這種特殊要求的號買全,至少要花______元. 解析 從01至10中選3個連續(xù)的號共有8種選法； 從11至20中選2個連續(xù)的號共有9種選法； 從21至30中選1個號有10種選法； 從31至36中選1個號有6種選法， 根據(jù)分步計數(shù)原理，得共有8×9×10×6＝4 320種， 所以至少需花4 320×2＝8 640(元).,8 640,,解析答案,跟蹤訓練2,(2)用0,1,2,3,4,5可組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________. 解析 可分三步給百、十、個位放數(shù)字， 第一步：百位數(shù)字有5種放法； 第二步：十位數(shù)字有5種放法； 第三步：個位數(shù)字有4種放法. 根據(jù)分步計數(shù)原理，三位數(shù)的個數(shù)為5×5×4＝100.,100,,解析答案,例3 如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù).,,,題型三 兩個計數(shù)原理的綜合應用,,解析答案,思維升華,解 方法一 可分為兩大步進行， 先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色， 然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步計數(shù)原理即可得出結論. 由題設，四棱錐S—ABCD的頂點S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法. 當S、A、B染好時，不妨設其顏色分別為1、2、3， 若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法； 若C染4，則D可染3或5，有2種染法；,,解析答案,思維升華,若C染5，則D可染3或4，有2種染法. 可見，當S、A、B已染好時，C、D還有3＋2＋2＝7種染法， 故不同的染色方法有60×7＝420種. 方法二 以S、A、B、C、D順序分步染色. 第一步，S點染色，有5種方法； 第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法； 第三步，B點染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法；,,解析答案,思維升華,第四步，C點染色，也有3種方法， 但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類， 當A與C同色時，D點有3種染色方法； 當A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法. 由分步、分類計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420種.,,解析答案,思維升華,方法三 按所用顏色種數(shù)分類.,第二類，只用4種顏色，,第三類，只用3種顏色，,由分類計數(shù)原理，得不同的染色方法種數(shù)為,,思維升華,,思維升華,(1)應用兩個計數(shù)原理的難點在于明確分類還是分步. (2)分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關鍵. (3)分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成. (4)較復雜的問題可借助圖表完成.,如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點A、B、C、D、E染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法共有________種.,跟蹤訓練3,,解析答案,返回,解析 由題意知本題需要分類來解答， 首先A選取一種顏色，有3種情況. 如果A的兩個相鄰點顏色相同，有2種情況； 這時最后兩個點也有2種情況； 如果A的兩個相鄰點顏色不同，有2種情況； 這時最后兩個點有3種情況. 所以方法共有3×(2×2＋2×3)＝30種. 答案 30,,返回,,易錯警示系列,典例 (1)把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有________種. 易錯分析 解決計數(shù)問題的基本策略是合理分類和分步，然后應用加法原理和乘法原理來計算.解決本題易出現(xiàn)的問題是完成一件事情的標準不清楚導致計算出現(xiàn)錯誤，對于(1)，選擇的標準不同，誤認為每個信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種，沒有注意到一封信只能投在一個信箱中；,,13.對兩個基本計數(shù)原理認識不清致誤,,易錯警示系列,,解析答案,易錯分析,解析 第1封信投到信箱中有4種投法； 第2封信投到信箱中也有4種投法； 第3封信投到信箱中也有4種投法. 只要把這3封信投完，就做完了這件事情， 由分步計數(shù)原理可得共有43種方法，即64種. 答案 64,(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4趟，輪船有3次，問此人的走法可有________種. 易錯分析 易混淆“類”與“步”，誤認為到達乙地先坐火車后坐輪船，使用乘法原理計算.,,解析答案,易錯分析,返回,溫馨提醒,解析 因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地， 根據(jù)分類計數(shù)原理，可得此人的走法可有4＋3＝7種. 答案 7,,溫馨提醒,,返回,溫馨提醒,,(1)每封信只能投到一個信箱里，而每個信箱可以裝1封信，也可以裝2封信，其選擇不是唯一的，所以應注意由信來選擇信箱，每封信有4種選擇. (2)在處理具體的應用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標準是什么.選擇合理的標準處理事情，可以避免計數(shù)的重復或遺漏.,,思想方法 感悟提高,1.分類和分步計數(shù)原理，都是關于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這 件事. 2.分類標準要明確，做到不重復不遺漏. 3.混合問題一般是先分類再分步. 4.要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律.,方法與技巧,1.切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行. 2.分類的關鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步. 3.確定題目中是否有特殊條件限制.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為________. 解析 三位數(shù)可分成兩種情況： (1)奇偶奇； (2)偶奇奇.對于(1)，個位(3種選擇)，十位(2種選擇)，百位(2種選擇)，共12種； 對于(2)，個位(3種選擇)，十位(2種選擇)，百位(1種選擇)，共6種，即12＋6＝18.,15,18,,解析答案,2.小明有4枚完全相同的硬幣，每個硬幣都分正反兩面.他想把4個硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，不同的擺法有________種. 解析 記反面為1，正面為2， 則正反依次相對有12121212,21212121兩種； 有兩枚反面相對有21121212,21211212,21212112三種，共5種擺法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5,,解析答案,3.如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1a2且a3a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 分8類，當中間數(shù)為2時，有1×2＝2個； 當中間數(shù)為3時，有2×3＝6個； 當中間數(shù)為4時，有3×4＝12個； 當中間數(shù)為5時，有4×5＝20個； 當中間數(shù)為6時，有5×6＝30個； 當中間數(shù)為7時，有6×7＝42個； 當中間數(shù)為8時，有7×8＝56個； 當中間數(shù)為9時，有8×9＝72個. 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240個. 答案 240,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是________. 解析 當x＝2時，x≠y，點的個數(shù)為1×7＝7； 當x≠2時，x＝y(tǒng)，點的個數(shù)為7×1＝7，則共有14個點.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14,,解析答案,5.從－2、－1、0、1、2、3這六個數(shù)字中任選3個不重復的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a、b、c，則可以組成頂點在第一象限且過原點的拋物線條數(shù)為________. 解析 分三步：第一步c＝0只有1種方法； 第二步確定a，a從－2、－1中選一個，有2種不同方法； 第三步確定b，b從1、2、3中選一個，有3種不同的方法. 根據(jù)分步計數(shù)原理得1×2×3＝6種不同的方法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.2015北京世界田徑錦標賽上，8名女運動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種. 解析 分兩步安排這8名運動員. 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排. 所以安排方式有4×3×2＝24種. 第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排， 所以安排方式有5×4×3×2×1＝120種. 所以安排這8人的方式有24×120＝2 880種.,2 880,,解析答案,7.如圖，將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線上下或左右平移，組成一個首尾相接的三角形，則三條線段一共至少需要移動________格. 解析 如圖，將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線平移后組成一個 首尾相接的三角形， 根據(jù)平移的基本性質(zhì)知：左邊的線段向右平移3格，中間的線段 向下平移2格，最右邊的線段先向左平移2格，再向上平移2格， 此時平移的格數(shù)最少為3＋2＋2＋2＝9，其他平移方法都超過 9格， ∴至少需要移動9格.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有________種. 解析 編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法； 編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字3，共有3種不同填法； 編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，共有3種不同填法. 于是由分類計數(shù)原理，得共有3＋3＋3＝9種不同的填法.,9,,解析答案,9.有一項活動需在3名老師，6名男同學和8名女同學中選人參加， (1)若只需一人參加，有多少種不同選法？ 解 只需一人參加，可按老師，男同學，女同學分三類各自有3,6,8種方法，總方法數(shù)為3＋6＋8＝17種. (2)若需一名老師，一名學生參加，有多少種不同選法？ 解 分兩步，先選教師共3種選法，再選學生共6＋8＝14種選法，由分步計數(shù)原理知，總方法數(shù)為3×14＝42種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)若需老師，男同學，女同學各一人參加，有多少種不同選法？ 解 教師，男同學，女同學各一人可分三步，每步方法依次為3,6,8種. 由分步計數(shù)原理知總方法數(shù)為3×6×8＝144種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.為了做好閱兵人員的運輸，從某運輸公司抽調(diào)車輛支援，該運輸公司有7個車隊，每個車隊的車輛均多于4輛.現(xiàn)從這個公司中抽調(diào)10輛車，并且每個車隊至少抽調(diào)1輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？ 解 在每個車隊抽調(diào)1輛車的基礎上，還需抽調(diào)3輛車.,一類是從2個車隊中抽調(diào)，其中1個車隊抽調(diào)1輛，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有________種. 解析 分兩步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，,第二步，選派兩名學生到甲地，另外兩名到乙地，,由分步計數(shù)原理，不同選派方案共有2×6＝12種.,12,,解析答案,12.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4},定義函數(shù)f：M→N.若點A(1，f(1))、B(2，f(2))、C(3，f(3))，△ABC的外接圓圓心為D，且 (λ∈R)，則滿足條件的函數(shù)f(x)有________種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,且BA＝BC，必有f(1)＝f(3)，f(1)≠f(2). 當f(1)＝f(3)＝1時，f(2)＝2、3、4，有三種情況； f(1)＝f(3)＝2，f(2)＝1、3、4，有三種情況； f(1)＝f(3)＝3，f(2)＝2、1、4，有三種情況； f(1)＝f(3)＝4，f(2)＝2、3、1，有三種情況. 因而滿足條件的函數(shù)f(x)有12種. 答案 12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3 443, 94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，…，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.則(1)4位回文數(shù)有________個； 解析 4位回文數(shù)相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法， 中間兩位一樣，有10種填法， 共計9×10＝90種填法，即4位回文數(shù)有90個.,90,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個. 解析 根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格. 結合分步計數(shù)原理，知有9×10n種填法.,9×10n,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？ 解 由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語. 第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，共有6種方法，則說日語的有2＋1＝3種，此時共有6×3＝18種； 第二類：不從只會英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會日語的有2種，此時共有1×2＝2種； 所以根據(jù)分類計數(shù)原理知共有18＋2＝20(種)選法.,,解析答案,15.將紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別涂入圖中的五個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同涂色方法？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,解析答案,返回,解 方法一 本題利用了分步計數(shù)原理求涂色問題. 給出區(qū)域標記號A，B，C，D，E(如圖)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種， 但E區(qū)域的涂色依賴于B與D涂的顏色，如果B與D顏色相同有2種涂色方法，不相同，則只有1種. 因此應先分類后分步.,,解析答案,①當B與D同色時，有4×3×2×1×2＝48種； ②當B與D不同色時，有4×3×2×1×1＝24種. 故共有48＋24＝72種不同的涂色方法. 方法二 按用3種或用4種顏色分兩類， 第一類用3種，此時A與E，B與D分別同色，,第二類用4種，此時A與E，B與D有且只有一組同色，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,由分類計數(shù)原理知涂法總數(shù)為24＋48＝72種.,,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,