高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件.ppt

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第七章 立體幾何與空間向量,第7節(jié) 立體幾何中的向量方法,,1．理解直線的方向向量與平面的法向量． 2．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系． 3．能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理). 4．能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何中的應(yīng)用． 5．能用向量法解決空間的距離問題．,[要點(diǎn)梳理] 1．用向量證明空間中的平行或垂直 (1)直線的方向向量：直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量_____(或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量有_____個(gè)． (2)若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量，顯然一個(gè)平面的法向量也有_____個(gè)，它們是_____向量．,,,,,,平行,無數(shù),無數(shù),共線,質(zhì)疑探究：在求平面法向量時(shí)，所列方程組中有三個(gè)變量，但只有兩個(gè)方程，如何處理？ 提示：給其中某一變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一組非零解，即可以作為平面法向量的坐標(biāo)． (3)用向量證明空間中的平行關(guān)系 ①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2. ②設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y使v＝xv1＋yv2.,③設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l? α?v⊥u. ④設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2. (4)用向量證明空間中的垂直關(guān)系 ①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. ②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u. ③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.,2．用向量計(jì)算空間角和距離 空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成角θ滿足sin θ＝|cos〈m1，m2〉|.,,b．如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝cos〈n1，n2〉或π－cos〈n1，n2〉． c．點(diǎn)面距的求法,,[基礎(chǔ)自測] 1．(2015·西安模擬)若直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，平面α的法向量為u＝(－2,2，－4)，則( ) A．l∥α B．l⊥α C．l? α D．l與α斜交 [解析] 因?yàn)橹本€l的方向向量a＝(1，－1,2)與平面α的法向量u＝(－2,2，－4)共線，則說明了直線與平面垂直． [答案] B,2．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于( ) A．2 B．－4 C．4 D．－2,3．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是( ) A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直,[答案] C,,4．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為________．,,5．在四面體P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PA＝PB＝PC＝a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為________．,[解析] 根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P－xyz，則P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)． 過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于點(diǎn)H，則PH的長即為點(diǎn)P到平面ABC的距離．,[典例透析] 考向一 用向量證明垂直或求異面直線所成的角 例1 (2015·湖北省八校聯(lián)考)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱長為3，AB⊥BC，且AB＝BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF.,(1)求證：無論E在何處，總有B′C⊥C′E； (2)當(dāng)三棱錐B－EB′F的體積取得最大值時(shí)，求異面直線A′F與AC所成角的余弦值．,思路點(diǎn)撥 (1)借助于線面關(guān)系證明B′C⊥面ABC′，從而可證B′C⊥C′E.當(dāng)VB－EB′F為最大值確定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值． (2)以B為原點(diǎn)建系，用向量求解． (法一)(1) 證明：由題意知，四邊形BB′C′C是正方形，連接AC′，BC′，則B′C⊥BC′.,,又AB⊥BC，BB′⊥AB， ∴AB⊥平面BB′C′C. ∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′. 又C′E平面ABC′，∴B′C⊥C′E.,,活學(xué)活用1 (2015·鄭州第一次質(zhì)檢)如圖，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC. (1)求證：AC⊥平面ABF； (2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值． (1)[證明] 因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， AF⊥AD，AF平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD. 故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF∩BF＝F，所以AC⊥平面ABF.,,(2)解：由(1)得AF，AB，AC兩兩垂直，則以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，,,,思路點(diǎn)撥 立體幾何題目一般有兩種思路：傳統(tǒng)法和向量法．傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關(guān)定義、定理，通過邏輯推理證明來完成．(1)要證明線面平行，根據(jù)判定定理可通過證明線線平行來實(shí)現(xiàn)；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通過解三角形求解．向量法則是通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)的坐標(biāo)，利用向量的計(jì)算完成證明或求解．直線一般求其方向向量，平面一般求其法向量．(1)只要說明直線的方向向量與對應(yīng)平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即為兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角．,,圖(1),,圖(2),拓展提高 本題法一采用了傳統(tǒng)法，在第二問中要作出C－BM－D的平面角，這里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、證、算于一體．二面角的做法一直是個(gè)難點(diǎn)，不如建系用向量方法求簡單，如方法二．,活學(xué)活用2 (2014·四川高考) 三棱錐A - BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示．設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MN⊥NP.,,(1)證明：P是線段BC的中點(diǎn)； (2)求二面角A - NP - M的余弦值． (1)[證明] 如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO. 由側(cè)視圖及俯視圖知，△ABD，△BCD為正三角形，所以AO⊥BD，OC⊥BD. 因?yàn)锳O，OC平面AOC，且AO∩OC＝O，所以BD⊥平面AOC.,,,考向三 用向量求線面角 例3 (2014·福建高考) 在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示． (1)求證：AB⊥CD； (2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值． 思路點(diǎn)撥 (1)轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面BCD；(2)利用坐標(biāo)法．,,(1)[證明] ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD. 又CD平面BCD，∴AB⊥CD. (2) 解：過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD.,,活學(xué)活用3 (2015·東北三校模擬)如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2AD，AD⊥DC，∠BCD＝45°. (1)設(shè)PD中點(diǎn)為M，求證：AM∥平面PBC； (2)求PA與平面PBC所成角的正弦值．,,,,,活學(xué)活用4 (2015·天津南開調(diào)研)在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點(diǎn)． (1)求證：B1C∥平面A1BD； (2)求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離．,,,規(guī)范答題7 向量法求空間角 典例 (本小題滿分12分)如圖，已知在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于點(diǎn)E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)． (1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值； (2)求平面BDF與平面AA1B所成二面 角(銳角)的余弦值.,,,審題視角 (1)研究的幾何體為長方體，AB＝2，AA1＝1. (2)所求的是異面直線所成的角和二面角． (3)可考慮用空間向量法求解． [滿分展示] [解] (1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)．(2分),,【答題模板】 利用向量求空間角的步驟： 第一步：建立空間直角坐標(biāo)系． 第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)． 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)． 第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)． 第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角． 第六步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．,提醒：(1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用． (2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范． (3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則易錯(cuò)．,,,[思維升華] 【方法與技巧】,1．用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題．,2．利用向量求角，各類角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來運(yùn)算． (1)求兩異面直線a、b的夾角θ，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos θ＝|cos〈a，b〉|. (2)求直線l與平面α所成的角θ 可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角．則sin θ＝|cos〈n，a〉|. (3)求二面角α—l—β的大小θ，可先求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2所成的角，則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉． 3．求點(diǎn)到平面的距離，若用向量知識，則離不開以該點(diǎn)為端點(diǎn)的平面的斜線段．,【失誤與防范】,1．用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線a∥b，只需證明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外．,2．利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角．因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、范圍不同． 3．求點(diǎn)到平面的距離，有時(shí)利用等積法求解可能更方便． 4．求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角．,