2019版高考數(shù)學(xué) 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用課件.ppt

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第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型:,(2)三種函數(shù)模型性質(zhì)比較:,增,增,增,快,慢,y,x,(3)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟: ①審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型; ②建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型; ③求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論; ④還原:將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.,以上過(guò)程用框圖表示如下:,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 “f(x)=x+ (a0)”型函數(shù)模型 形如f(x)=x+ (a0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型:①該函 數(shù)在(-∞,- ]和[ ,+∞)上單調(diào)遞增,在[- ,0)和(0, ]上單 調(diào)遞減. ②當(dāng)x0時(shí),x=____時(shí)取最小值____, 當(dāng)x0時(shí),x=_____時(shí)取最大值_____.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:圖象法、導(dǎo)數(shù)法、配方法、待定系數(shù)法. (2)數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)函數(shù)y=2x的函數(shù)值在(0,+∞)上一定比y=x2的函數(shù)值大.( ) (2)在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xa(a0)的增長(zhǎng)速度.( ),(3)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=abx+c(a≠0,b0,b≠1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻.( ) (4)指數(shù)函數(shù)模型,一般用于解決變化較快,短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問(wèn)題中.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.當(dāng)x∈(0,2)和(4,+∞)時(shí),2xx2,當(dāng)x∈(2,4)時(shí),x22x. (2)正確.由兩者的圖象易知. (3)錯(cuò)誤.增長(zhǎng)越來(lái)越快的指數(shù)型函數(shù)是y=abx+c(a0,b1). (4)正確.根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)函數(shù)值增長(zhǎng)特點(diǎn)知(4)正確. 答案:(1) (2)√ (3) (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修1P107A組T1改編)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中,測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù),如下表: 則x,y最適合的函數(shù)的是( ) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x,【解析】選D.根據(jù)x=0.50,y=-0.99,代入計(jì)算,可以排除A;根據(jù)x=2.01,y=0.98,代入計(jì)算,可以排除B,C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知滿足題意.故選D.,(2)(必修1P107A組T3改編)一根蠟燭長(zhǎng)20cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm,燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的( ) 【解析】選B.由題意知h=20-5t(0≤t≤4),故選B.,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015泉州模擬)某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函 數(shù)關(guān)系是y=3000+20x-0.1x2(0x240,x∈N*),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25 萬(wàn)元,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是( ) A.100臺(tái) B.120臺(tái) C.150臺(tái) D.180臺(tái) 【解析】選C.設(shè)利潤(rùn)為f(x)(萬(wàn)元),則f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3000≥0,所以x≥150.,(2)(2015武漢模擬)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為:M=lg A-lg A0,其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅,A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中,測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級(jí)為 級(jí);9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的 倍.,【解析】由lg1000-lg0.001=6,得此次地震的震級(jí)為6級(jí).因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,設(shè)9級(jí)地震最大振幅為A9,則lg A9-lg0.001=9解得A9=106,同理5級(jí)地震最大振幅A5=102,所以9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的10000倍. 答案:6 10000,考點(diǎn)1 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 知考情 以一次函數(shù)、二次函數(shù)為模型的應(yīng)用題常出現(xiàn)在高考試題中,尤其是二次函數(shù),考查較多,既有選擇題、填空題,也有解答題,難度適中,屬中檔題.,明角度 命題角度1:單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型 【典例1】(1)(2015西安模擬)某電信公司推出兩 種手機(jī)收費(fèi)方式:A種方式是月租20元,B種方式是月 租0元.一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話 費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示,當(dāng)通話150分鐘時(shí),這 兩種方式電話費(fèi)相差( ) A.10元 B.20元 C.30元 D. 元,(2)(2015昆明模擬)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x為 m.,【解題提示】(1)根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出兩條直線方程. (2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),找出比例關(guān)系,列出以x為變量的二次函數(shù)式表示出陰影部分的面積。,【規(guī)范解答】(1)選A.依題意可設(shè)sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又sA(100)=sB(100),所以100k+20=100m, 得k-m=-0.2,于是sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150 (-0.2)=-10, 即兩種方式電話費(fèi)相差10元.,(2)由相似三角形性質(zhì)可得 ,解得y=40-x,所以面積 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0x40), 當(dāng)x=20時(shí),Smax=400. 答案:20,【互動(dòng)探究】在本例(2)中,欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形 花園,則其邊長(zhǎng)x的取值范圍又是多少呢? 【解析】 ,則x=40-y,y=40-x.由xy≥300, 即x(40-x)≥300,解得10≤x≤30.,命題角度2:以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)模型 【典例2】(2015廈門(mén)模擬)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車(chē)流速度v(單位:千米/時(shí))是車(chē)流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車(chē)流速度為0;當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車(chē)流速度為60千米/時(shí).研究表明:當(dāng)20≤x≤200時(shí),車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù).,(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式. (2)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí),車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù),單位:輛/時(shí))f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/時(shí)),【解題提示】(1)根據(jù)已知條件,確定0≤x≤200時(shí)v(x)的表達(dá)式. (2)確定0≤x≤20及20≤x≤200時(shí),v(x)的分段函數(shù),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定f(x)=xv(x)的最大值.,【規(guī)范解答】(1)由題意,當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=60;當(dāng)20≤x≤200時(shí), 設(shè)v(x)=ax+b, 再由已知得 解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)=,(2)依題意并由(1)可得f(x)= 當(dāng)0≤x≤20時(shí),f(x)為增函數(shù), 故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為6020=1200; 當(dāng)20x≤200時(shí),f(x)= x(200－x) 當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,,即x=100時(shí),等號(hào)成立.所以當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最 大值 ≈3333. 綜上,當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí),車(chē)流量可以達(dá)到最大,最大值約為 3333輛/時(shí).,悟技法 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型.解決此類問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn): ①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決,但一定要密切注意函數(shù)的定義域,否則極易出錯(cuò); ②確定一次函數(shù)模型時(shí),一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定,常用待定系數(shù)法; ③解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí),最后要還原到實(shí)際問(wèn)題.,(2)以分段函數(shù)的形式考查.解決此類問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn): ①實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車(chē)票價(jià)與路程之間的關(guān)系,應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解; ②構(gòu)造分段函數(shù)時(shí),要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔,做到分段合理、不重不漏; ③分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).,提醒:(1)構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)不要忘記考慮函數(shù)的定義域. (2)對(duì)構(gòu)建的較復(fù)雜的函數(shù)模型,要適時(shí)地用換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問(wèn)題求解.,通一類 1.(2015鹽城模擬)某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖),為降低消耗,開(kāi)源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用,則截取的矩形面積的最大值為 .,【解析】依題意知: 即x= (24-y), 所以陰影部分的面積 S=xy= (24-y)y= (-y2+24y), 所以當(dāng)y=12時(shí),S有最大值為180. 答案:180,2.(2015福州模擬)為了在“十一”黃金周期間降價(jià)搞促銷,某超市對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng),規(guī)定一次購(gòu)物付款總額:①如果不超過(guò)200元,則不予優(yōu)惠;②如果超過(guò)200元,但不超過(guò)500元,則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠;③如果超過(guò)500元,其中500元按第②條給予優(yōu)惠,超過(guò)500元的部分給予7折優(yōu)惠.辛云和她母親兩次去購(gòu)物,分別付款168元和423元,假設(shè)他們一次性購(gòu)買(mǎi)上述同樣的商品,則應(yīng)付款額為 .,【解析】依題意,價(jià)值為x元的商品和實(shí)際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系 式為 當(dāng)f(x)=168時(shí),由1680.9≈187200,故此時(shí)x=168;當(dāng)f(x)=423時(shí), 由4230.9=470∈(200,500],故此時(shí)x=470.所以兩次共購(gòu)得價(jià)值為 470+168=638元的商品,又5000.9+(638-500)0.7=546.6元,即若 一次性購(gòu)買(mǎi)上述商品,應(yīng)付款額為546.6元. 答案:546.6元,3.(2015日照模擬)某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元. (1)分別寫(xiě)出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系. (2)該家庭有20萬(wàn)元資金,全部用于理財(cái)投資,問(wèn):怎么分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬(wàn)元?,【解析】(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)分別為f(x)=k1x,g(x)=k2 . 由已知得f(1)= =k1,g(1)= =k2, 所以f(x)= x(x≥0),g(x)= (x≥0).,(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品為x萬(wàn)元,則投資股票類產(chǎn)品為(20-x)萬(wàn)元, 依題意得y=f(x)+g(20-x)= (0≤x≤20). 令t= 則y= 所以當(dāng)t=2,即x=16時(shí),收益最大,ymax=3萬(wàn)元. 投資債券類產(chǎn)品16萬(wàn)元,投資股票類產(chǎn)品4萬(wàn)元,可使投資獲得最大 收益,最大收益為3萬(wàn)元.,【加固訓(xùn)練】1.(2014武漢模擬)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為:Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月生產(chǎn)x臺(tái)某種產(chǎn)品的收入為R(x)元,成本為C(x)元,且R(x)=3000x-20x2, C(x)=500x+4000 (x∈N*).現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過(guò)100臺(tái). (1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)以及它的邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x). (2)求利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差.,【解析】(1)由題意,得x∈[1,100],且x∈N*. P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000) =-20x2+2500x-4000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x.,(2)P(x)= +74125, 當(dāng)x=62或x=63時(shí),P(x)取得最大值74120元; 因?yàn)镸P(x)=2480-40x是減函數(shù),所以當(dāng)x=1時(shí), MP(x)取得最大值2440元. 故利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差為71680元.,2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè):發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng),其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過(guò)線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程s(km).,(1)當(dāng)t=4時(shí),求s的值. (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái). (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城,如果會(huì),在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城?如果不會(huì),請(qǐng)說(shuō)明理由.,【解析】(1)由圖象可知:當(dāng)t=4時(shí),v=34=12(km/h), 所以s= 412=24(km). (2)當(dāng)0≤t≤10時(shí),s= t3t= t2;當(dāng)10t≤20時(shí), s= 1030+30(t-10)=30t-150; 當(dāng)20t≤35時(shí),s= 1030+1030+(t-20)30- (t-20) 2(t-20)=-t2+70t-550.,綜上,可知s= (3)沙塵暴會(huì)侵襲到N城.因?yàn)閠∈[0,10]時(shí),smax= 102=150650, t∈(10,20]時(shí),smax=3020-150=450650, 所以當(dāng)t∈(20,35]時(shí),令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40(舍). 所以沙塵暴發(fā)生后30h會(huì)侵襲到N城.,考點(diǎn)2 函數(shù)y＝x＋ 模型的應(yīng)用 【典例3】(2015天津模擬)某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的 矩形蔬菜溫室,在溫室內(nèi),沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通 道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地,當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí),蔬 菜的種植面積最大?最大面積是多少? 【解題提示】根據(jù)條件設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為x m,列出種植面積y= (x-4)( -2),然后化簡(jiǎn),構(gòu)建“對(duì)勾函數(shù)”求解.,【規(guī)范解答】設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為x m,則右側(cè)邊長(zhǎng)為 m.所以蔬 菜種植面積y=(x-4)( -2) =808-2(x+ )(4x400). 因?yàn)閤+ ≥2 =80,所以y≤808-280=648.當(dāng)且僅當(dāng) x= ,即x=40時(shí)取等號(hào),此時(shí) =20,y最大值=648(m2). 即當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為40m,20m時(shí),蔬菜的種植面積最大,最大面 積是648m2.,【規(guī)律方法】應(yīng)用函數(shù)y=x+ 模型的關(guān)鍵點(diǎn) (1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)=ax與反比例函數(shù)f(x)= 疊加而 成的. (2)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一般可以直接建立f(x)=ax+ 的模型,有時(shí)可以 將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)=ax+ 的形式. (3)利用模型f(x)=ax+ 求解最值時(shí),要注意自變量的取值范圍,及取 得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.,【變式訓(xùn)練】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋 頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層, 每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用 C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系C(x)= (0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元,設(shè)f(x)為隔 熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和. (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式. (2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.,【解析】(1)由已知條件得C(0)=8,則k=40,因此f(x)=6x+20C(x) =6x+ (0≤x≤10). (2)f(x)=6x+10+ -10 ≥2 -10=70(萬(wàn)元), 當(dāng)且僅當(dāng)6x+10= ,即x=5時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)隔熱層厚度為 5cm時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值,最小值為70萬(wàn)元.,【加固訓(xùn)練】1.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其 生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地 表示為y= -48x+8000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸. (1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成 本. (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以 獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?,【解析】(1)每噸平均成本為 (萬(wàn)元). 則 當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=200時(shí)取等號(hào). 所以年產(chǎn)量為200噸時(shí),每噸平均成本最低為32萬(wàn)元.,(2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元. 則R(x)=40x-y=40x- +48x-8000 =- +88x-8000 =- (x-220)2+1680(0≤x≤210). 因?yàn)镽(x)在[0,210]上是增函數(shù),所以當(dāng)x=210時(shí), R(x)有最大值為- (210-220)2+1680=1660. 所以年產(chǎn)量為210噸時(shí),可獲得最大利潤(rùn)1660萬(wàn)元.,2.某旅游風(fēng)景區(qū)為方便學(xué)生集體旅游,特制學(xué)生寒假旅游專用卡,每張卡60元,使用規(guī)定:不記名,每卡每次一人,每天只限一次,可連續(xù)使用一周.實(shí)驗(yàn)小學(xué)現(xiàn)有1500名學(xué)生,準(zhǔn)備在寒假分若干批去此風(fēng)景區(qū)旅游(來(lái)回只需一天),除需購(gòu)買(mǎi)若干張旅游卡外,每次都乘坐5輛客車(chē)(每輛客車(chē)最大客容量為55人),每輛客車(chē)每天費(fèi)用為500元,若使全體同學(xué)都到風(fēng)景區(qū)旅游一次,按上述方案,每位同學(xué)最少要交多少錢(qián)?,【解析】設(shè)買(mǎi)x張旅游卡,總費(fèi)用為y元, 依題意,購(gòu)買(mǎi)卡需60x元,租車(chē)的次數(shù)為 ,則租車(chē)的 費(fèi)用為( 5005)元, 所以y=60x+ 5005(00,所以y≥ =30000(元),,當(dāng)且僅當(dāng)60x= 5005, 即x=250時(shí),y取得最小值為30000元,此時(shí),每人所 需交錢(qián)數(shù)為 =20(元),旅游所需天數(shù) =67, 每輛車(chē)所載人數(shù)為 =5055,符合要求. 故每位同學(xué)至少要交20元.,考點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型 【典例4】(2015長(zhǎng)春模擬)某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的 一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測(cè): 服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小 時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線. (1)寫(xiě)出第一次服藥后,y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t). (2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定:每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí), 治療有效.求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)?,【解題提示】(1)依據(jù)圖象寫(xiě)出y=f(t).(2)令y≥0.25解所得不等式 即可. 【規(guī)范解答】(1)由題意可設(shè)y= 當(dāng)t=1時(shí),由y=4得,k=4. 由 =4得,a=3. 因此,y=,(2)由y≥0.25得, 或 解得 ≤t≤5. 因此,服藥一次后治療有效的時(shí)間是 小時(shí).,【規(guī)律方法】應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用類型.常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查,在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)解決. (2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)的關(guān)鍵.關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷,先設(shè)定模型,再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證,確定參數(shù),從而確定函數(shù)模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.,【變式訓(xùn)練】(2015商丘模擬)為了保證信息安全,傳輸必須使用加密方式,有一種方式其加密、解密原理如下: 已知加密為y=ax-2(x為明文,y為密文),如果明文“3”通過(guò)加密后得到密文為6,再發(fā)送,接收方通過(guò)解密得到明文“3”,若接收方接到密文為“14”,則原發(fā)的明文是 .,【解析】依題意y=ax-2中,當(dāng)x=3時(shí),y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密為y=2x-2. 因此,當(dāng)y=14時(shí),由14=2x-2,解得x=4. 答案:4,【加固訓(xùn)練】1.某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票,在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi),他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為( ) A.略有盈利 B.略有虧損 C.沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損 D.無(wú)法判斷盈虧情況,【解析】選B.設(shè)該股民購(gòu)這支股票的價(jià)格為a,則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(1+10%)n=a1.1n,經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a1.1n(1-10%)n =a1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99naa,故該股民這支股票略有虧損.,2.一個(gè)人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少,為了保障交通安全,某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09mg/mL,那么,此人至少經(jīng)過(guò) 小時(shí)后才能開(kāi)車(chē).(精確到1小時(shí)),【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能開(kāi)車(chē).由題意得0.3(1-25%)x≤0.09,所以0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19. 所以此人至少經(jīng)過(guò)5小時(shí)后才能開(kāi)車(chē). 答案:5,3.一片森林原來(lái)面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù),且每年砍伐面積的百 分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí),所用時(shí)間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境, 森林面積至少要保留原面積的 ,已知到今年為止,森林剩余面積為 原來(lái)的 (1)求每年砍伐面積的百分比. (2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年? (3)今后最多還能砍伐多少年?,【解析】(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0x1).則 a(1-x)10= a,即(1-x)10= ,解得x=1- (2)設(shè)經(jīng)過(guò)m年剩余面積為原來(lái)的 ,則 a(1-x)m= ,即 解得m=5. 故到今年為止,已砍伐了5年.,(3)設(shè)從今年開(kāi)始,以后砍了n年, 則n年后剩余面積為 a(1-x)n. 令 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ 解得n≤15. 故今后最多還能砍伐15年.,4.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過(guò)冬,研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn), 兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v=5log2 ,單位是m/s,其中Q 表示燕子的耗氧量. (1)試計(jì)算:燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位? (2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí),它的飛行速度是多少?,【解析】(1)由題意知,當(dāng)燕子靜止時(shí),它的速度為0,代入題目所給 公式可得0=5log2 ,解得Q=10, 即燕子靜止時(shí)的耗氧量為10個(gè)單位. (2)將耗氧量Q=80代入公式得 v=5log2 =5log28=15(m/s), 即當(dāng)一只燕子耗氧量為80個(gè)單位時(shí),它的飛行速度為15m/s.,規(guī)范解答1 利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 【典例】(12分)(2015合肥模擬)已知美國(guó)蘋(píng)果公司生產(chǎn)某款 iPhone手機(jī)的年固定成本為40萬(wàn)美元,每生產(chǎn)1萬(wàn)只還需另投入16萬(wàn) 美元.設(shè)蘋(píng)果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機(jī)x萬(wàn)只并全部銷售完, 每萬(wàn)只的銷售收入為R(x)萬(wàn)美元,且R(x)=,(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)只)的函數(shù)解析式. (2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)只時(shí),蘋(píng)果公司在該款iPhone手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).,解題導(dǎo)思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標(biāo)準(zhǔn) 體會(huì)規(guī)范 (1)當(dāng)040時(shí),W=xR(x)-(16x+40) =- -16x+7360. 所以， ……………………………………………4分,,(2)①當(dāng)040時(shí),W=- -16x+7360, 由于 +16x≥ =1600, ……………10分 當(dāng)且僅當(dāng) =16x, 即x=50∈(40,+∞)時(shí),取等號(hào), 所以W取最大值為5760.,,綜合①②知, 當(dāng)x=32時(shí),W取最大值為6104萬(wàn)元. ………………………………………12分,,高考狀元 滿分心得 把握規(guī)則 爭(zhēng)取滿分 1.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點(diǎn) 一是認(rèn)真審題,讀懂題意,理解問(wèn)題的實(shí)際背景,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;二是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解答問(wèn)題,得到數(shù)學(xué)問(wèn)題中的解,再把結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的答案.,2.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的失誤與防范 (1)函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng),是常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤,所以,正確理解題意,選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型. (2)要特別關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍,合理確定函數(shù)的定義域. (3)注意問(wèn)題反饋,在解決函數(shù)模型后,必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解答對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.,