2019-2020年高二數(shù)學(xué) 等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì).doc

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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)理念： 數(shù)學(xué)教學(xué)是思維過(guò)程的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過(guò)程中來(lái)，尤其是在思維上深層次的參與，是促進(jìn)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)能力，全面提高素質(zhì)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究式對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的自主性、能動(dòng)性和創(chuàng)造性有著非常重要的意義。 設(shè)計(jì)思想： 本節(jié)借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，讓探究式教學(xué)走進(jìn)課堂，保障學(xué)生的主體地位，喚醒學(xué)生的主體意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的主體能力，塑造學(xué)生的主體人格，讓學(xué)生在參與中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)創(chuàng)新。 一、教材分析： 1、 教學(xué)內(nèi)容： 高中數(shù)學(xué)必修第五模塊第二章第二節(jié)，等差數(shù)列，兩課時(shí)內(nèi)容，本節(jié)是第一課時(shí)，研究等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，借助生活中豐富的典型實(shí)例，讓學(xué)生通過(guò)分析、推理、歸納等活動(dòng)過(guò)程，從中了解和體驗(yàn)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。 2、 教學(xué)地位: 本節(jié)是第二章的基礎(chǔ)，為以后學(xué)習(xí)等差數(shù)列的求和、等比數(shù)列奠定基礎(chǔ)，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。在高考中也是重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，并且在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，它起著承前啟后的作用。同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。等差數(shù)列是學(xué)生探究特殊數(shù)列的開始，它對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無(wú)論在知識(shí)上，還是在方法上都具有積極的意義。 3、 教學(xué)重點(diǎn)： 理解等差數(shù)列概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的關(guān)系。 4、 教學(xué)難點(diǎn)： 對(duì)等差數(shù)列概念的理解及從函數(shù)、方程角度理解通項(xiàng)公式，概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。 二、學(xué)習(xí)者分析： 高二學(xué)生已經(jīng)具有一定的理性分析能力和概括能力，且對(duì)數(shù)列的知識(shí)有了初步的接觸和認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)公式的運(yùn)用已具備一定的技能，已經(jīng)熟悉由觀察到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，對(duì)函數(shù)、方程思想體會(huì)逐漸深刻。他們的思維正從屬于經(jīng)驗(yàn)性的邏輯思維向抽象思維發(fā)展，但仍需要依賴一定的具體形象的經(jīng)驗(yàn)材料來(lái)理解抽象的邏輯關(guān)系。 三、教學(xué)目標(biāo)： 1、 知識(shí)目標(biāo)： 理解等差數(shù)列定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。 2、 能力目標(biāo)： 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、歸納思想和化歸思想并加深認(rèn)識(shí)；通過(guò)概念的引入與通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 3、 情感目標(biāo): ①通過(guò)個(gè)性化的學(xué)習(xí)增強(qiáng)學(xué)生的自信心和意志力。 ②通過(guò)師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí)。 ③體驗(yàn)從特殊到一般，又到特殊的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。 四、教法和學(xué)法的分析： 1、 通過(guò)探究式教學(xué)方法充分利用現(xiàn)實(shí)情景，盡可能的增加教學(xué)過(guò)程的趣味性、實(shí)踐性。利用多媒體課件和實(shí)例等豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，強(qiáng)調(diào)學(xué)生動(dòng)手操作試驗(yàn)和主動(dòng)參與，在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下，讓學(xué)生自己去分析、探索，在探索過(guò)程中研究和領(lǐng)悟得出的結(jié)論，從而使學(xué)生即獲得知識(shí)又發(fā)展智能的目的。 2、 在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生多角度，多層面認(rèn)識(shí)事物，學(xué)會(huì)探究。教師是學(xué)生的學(xué)習(xí)的組織者、促進(jìn)著、合作者，在本節(jié)課的備課和教學(xué)過(guò)程中，為學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流的機(jī)會(huì)搭建平臺(tái)，鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的見(jiàn)解，學(xué)會(huì)提出問(wèn)題解決問(wèn)題，通過(guò)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式讓學(xué)生學(xué)會(huì)自我調(diào)適，自我選擇。 五、教學(xué)媒體和教學(xué)技術(shù)的選用 多媒體計(jì)算機(jī)和幾何畫板 通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬演示，使學(xué)生獲得感性知識(shí)的同時(shí)，為掌握理性知識(shí)創(chuàng)造條件，這樣做，可以使學(xué)生有興趣地學(xué)習(xí)，注意力也容易集中，符合教學(xué)論中的直觀性原則和可接受性原則。本節(jié)課打破傳統(tǒng)的一言堂的格局代之以人為本、民主、開放、特色和建立在信息網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上的現(xiàn)代教學(xué)格局。 六、教學(xué)程序： （一）設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)形成概念 師：看大屏幕。 情景1（播放奧運(yùn)會(huì)女子舉重場(chǎng)面） xx年北京奧運(yùn)會(huì)，女子舉重共設(shè)置7個(gè)級(jí)別，其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）： 48，53，58，63 情景2 水庫(kù)的管理員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，定期放水清庫(kù)的辦法清理水庫(kù)中的雜魚。如果一個(gè)水庫(kù)的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫(kù)每天的水位組成數(shù)列（單位：m） 18，15.5，13，10．5，8，5．5 情景3 我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息。按照單利計(jì)算本利和的公式是： 本利和=本金（1+利率存期） 時(shí)間 年初本金（元） 年末本利和（元） 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末本利和分別是：如下表（假設(shè)5年既不加存款也不取款，且不扣利息稅） 各年末本利和（單位：元） 10072，10144，10216，10288，10360 師：思考上述各組數(shù)據(jù)反映了什么樣的信息？ 每行數(shù)有何共同特點(diǎn)？請(qǐng)同學(xué)們互相討論。 （學(xué)生紛紛議論，有的幾個(gè)人在一起商量） （從宏觀上 : 情景1 讓學(xué)生體驗(yàn)成功申辦奧運(yùn)會(huì)的喜悅心情，激發(fā)勇于拼搏的堅(jiān)強(qiáng)意志；情景2讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到保護(hù)水資源，保護(hù)生態(tài)平衡的意識(shí)；情景3 倡導(dǎo)節(jié)約意識(shí)，納稅意識(shí)。） 從微觀上，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)，我們拋開具體的背景，從表格中抽象出一般數(shù)列。 48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 師：（啟發(fā)學(xué)生）你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述上述數(shù)列的共同特征嗎？ 學(xué)生1：后一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于常數(shù)。 師：反例：1，3，5，6，12，這樣的數(shù)列特征和上述數(shù)列的特征一樣嗎？ 學(xué)生1：不一樣，要加上同一個(gè)常數(shù)。 學(xué)生2：每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。 師：反例：1，3，4，5，6，7，這樣的數(shù)列特征和上述數(shù)列的特征一樣嗎？ 學(xué)生2：不一樣，必須從第二項(xiàng)開始。 學(xué)生3：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。 （教師把學(xué)生的回答寫在黑板上，通過(guò)反例，使學(xué)生深刻理解幾組數(shù)列的共同特征： ①同一個(gè)常數(shù)；②從第二項(xiàng)起） 師：能不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示？ 學(xué)生4： 師：等價(jià)嗎？ 學(xué)生4：應(yīng)加上（d是常數(shù)）,. (讓學(xué)生充分討論，注意文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化的嚴(yán)謹(jǐn)性) 師：對(duì)式子進(jìn)行變形可得。 這樣的數(shù)列在生活中的例子，誰(shuí)能再舉幾個(gè)？ 學(xué)生5：某劇場(chǎng)前8排的座位數(shù)分別是 52，50，48，46，44，42，40，38. 學(xué)生6：全國(guó)統(tǒng)一鞋號(hào)中成年女鞋的各種尺碼分別是 21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25　 學(xué)生7：馬路邊的路燈，相鄰兩盞之間的距離構(gòu)成的數(shù)列。 師：如何用數(shù)列表示？ 學(xué)生8：設(shè)相鄰兩盞之間的距離為a,該數(shù)列為 a,a,a,a,……，為常數(shù)列，即常數(shù)列都具有這種特征。 （讓學(xué)生舉例，加深感性認(rèn)識(shí)） 師：滿足這種特征的數(shù)列很多，我們有必要為這樣的數(shù)列取一個(gè)名字？ 學(xué)生（共同）：等差數(shù)列。 師：（學(xué)生敘述，板書定義） 一般的，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，d為公差，a1為數(shù)列的首相。 提出課題《等差數(shù)列》 對(duì)定義進(jìn)行分析，強(qiáng)調(diào)：①同一個(gè)常數(shù)；②從第二項(xiàng)起。注意對(duì)概念嚴(yán)謹(jǐn)性的分析。 師：回到表格中，分別說(shuō)出它們的公差。 學(xué)生9:依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72. 師：在計(jì)算年末本利和的問(wèn)題中求時(shí)，能不能不按本利和=本金（1+利率存期） 求而按數(shù)列的特征求呢？ 學(xué)生：若能求得通項(xiàng)公式，問(wèn)題就很好解決。 （再提出問(wèn)題，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)求通項(xiàng)公式的必要性） （二）啟發(fā)、引導(dǎo)推出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 師：把問(wèn)題推廣到一般情況。若一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，它的公差是d，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？ 啟發(fā)學(xué)生：（歸納、猜想）可用首相與公差表示數(shù)列中任意一項(xiàng)。 學(xué)生10：即： 即： 即： …… 由此可得： 師：從第幾項(xiàng)開始?xì)w納的？ 學(xué)生10：第二項(xiàng)，所以n≥2。 師：n=1時(shí)呢？ 學(xué)生10：當(dāng)n=1時(shí)，等式也是成立，因而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 （n∈N*） 師：很好! （歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力）還有沒(méi)有其他的推導(dǎo)方法？ 學(xué)生11：還可用下面的方法歸納： 當(dāng)n=1時(shí)，等式也是成立，因而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 （n∈N*） 師：我們把這種方法稱為迭代法。大家按照該同學(xué)的思路推導(dǎo)一下。 （把一個(gè)學(xué)生推導(dǎo)的情況用投影儀投在大屏幕上）還有其他的推導(dǎo)方法嗎？ （學(xué)生面露難色） 啟發(fā)：看方法一的第一個(gè)式子 有何規(guī)律？ 學(xué)生12：可以用累加的方法，左邊累加后得，右邊累加的d+d+d+…….+d共n-1個(gè)即 =d+d+d+…….+d ，=（n-1）d ， 師：總結(jié)通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法：遞推歸納法；迭代歸納法；累差法。共同特點(diǎn)：利用觀察、歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想方法，它的合理性在以后學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法中可以得到證明。注意兩點(diǎn)： 1、對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行分析，通項(xiàng)公式中含有四個(gè)量，其中為基本量，當(dāng)確定后，通項(xiàng)公式就確定了。若已知三個(gè)量，可用方程的思想求第四個(gè)量（即知三求一）。 2、對(duì)通項(xiàng)公式變形，對(duì)任意的p、q∈N+。在等差數(shù)列中，有 ap=a1+(p-1)d ① aq=a1+(q-1)d ② ①-②有ap-aq=(p-q)d， ∴ap=aq+(p-q)d 其中p,q關(guān)系可以有p＞q，p=q，p＜q。 通項(xiàng)公式的變形式ap=aq+(p-q)d，請(qǐng)同學(xué)記熟，它在解題過(guò)程中經(jīng)常被應(yīng)用。 （三）通項(xiàng)公式的應(yīng)用 大屏幕給出例題，由學(xué)生代表講解 例1：（1）求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng) 解：由a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得 a20=8+（20-1）（-3）=-49 （2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？ 解：由 得數(shù)列通項(xiàng)公式為： 由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。（方程思想的運(yùn)用） 例2、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=pn+q，其中p，q是常數(shù)，且p≠0，那么這種數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項(xiàng)與公差是什么？ 師：如何分析題意？ 學(xué)生13：由等差數(shù)列定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要看an-an-1（n≥2）是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)就行了。 （學(xué)生敘述，教師板書） 解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an（n≥2）。 ∴an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p， 它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，且公差為p。在通項(xiàng)公式中，令n=1得a1=p+q，所以這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是p+q，公差是p。 師: 數(shù)列的通項(xiàng)公式給出的是an與n之間的一種關(guān)系，一個(gè)n都對(duì)應(yīng)著一個(gè)an，這與我們以前學(xué)過(guò)的什么內(nèi)容類似？由本例得到什么結(jié)論？ （引發(fā)學(xué)生聯(lián)想、歸納，學(xué)生很自然會(huì)想到一次函數(shù)） 學(xué)生14：與一次函數(shù)內(nèi)容類似，即an與n之間的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系；由本例的結(jié)論可知，如果an是關(guān)于n的一次函數(shù)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列。 師:本例題的逆命題，是否也成立？請(qǐng)同學(xué)們課下自己完成證明。它也可以作為證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的一種方法。那么一次函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)？你能否作出等差數(shù)列的圖象？ （四）通項(xiàng)公式的圖象 在直角坐標(biāo)系中作通項(xiàng)公式為an=3n-5的數(shù)列的圖像，并觀察圖像有什么特點(diǎn)？ 用幾何畫板作圖顯示為下圖： 師:由圖歸納出等差數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象的特點(diǎn)。 學(xué)生14：公差不為零的等差數(shù)列的圖象是直線y=px+q上的均勻排開的一群孤立的點(diǎn)。 當(dāng)p=0時(shí)，an=q，等差數(shù)列為常數(shù)列，此時(shí)數(shù)列的圖象是平行x軸（或x軸）上的均勻公布的一群孤立點(diǎn)。 在大屏幕上打出如下幻燈片： 等差數(shù)列an=pn+q與一次函數(shù)y=px+q的比較 不同點(diǎn) 關(guān)連與相同點(diǎn) 等差數(shù)列 an=pn+q p∈R，n∈N+，p是公差。 （1）p≠0時(shí)，數(shù)列an=pn+q圖象所表示的點(diǎn)均勻分布在函數(shù)y=px+q圖象上。 （2）p＞0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，函數(shù)為增函數(shù)；p＜0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，函數(shù)為減函數(shù)。 一次函數(shù) y=px+q p≠0，x∈R，p是斜率。 （五）、課時(shí)小結(jié) 提出問(wèn)題：這節(jié)課你學(xué)到了什么？ 教師鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，答不完整的沒(méi)有關(guān)系，其它同學(xué)補(bǔ)充。以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。并用多媒體把學(xué)生的歸納用一張表展示出來(lái)。 學(xué)生15：①等差數(shù)列定義。 即(n≥2) 或an+1- an = d （n∈N*） ②等差數(shù)列通項(xiàng)公式 (n∈N*) 推導(dǎo)出公式： ap=aq+(p-q)d ③等差數(shù)列an=pn+q的圖象是直線y=px+q上的均勻排開的一群孤立的點(diǎn)。 (六)、課后作業(yè) （一）閱讀作業(yè)：通讀教材，復(fù)習(xí)鞏固，思考等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法； （二）書面作業(yè)：課本45頁(yè)習(xí)題2.2組A1，2，3，4題 （三）彈性作業(yè)：模仿等差數(shù)列的定義，思考有沒(méi)有“等和數(shù)列”.如果有，請(qǐng)?zhí)骄克亩x、通項(xiàng)公式和相關(guān)的性質(zhì). 七、板書設(shè)計(jì): 等差數(shù)列 一、定義 1． （n≥2） 二、 通項(xiàng)公式 1． 2． ap=aq+(p-q)d 公式推導(dǎo)過(guò)程 三、等差數(shù)列與一次函數(shù) 八、課后反思： 1、 探究式教學(xué)走進(jìn)課堂為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了多樣化的活動(dòng)方式，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生積極參與。學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、推理等豐富多彩的活動(dòng)達(dá)到了知識(shí)的主動(dòng)構(gòu)建與理解。 2、 滲透數(shù)學(xué)思想方法中在平時(shí) 在數(shù)學(xué)課的教學(xué)中應(yīng)該教會(huì)學(xué)生遇到具體問(wèn)題時(shí)那種思考問(wèn)題的方式，和解決問(wèn)題的方法。本節(jié)課在探究解決問(wèn)題的途徑，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想方法。因此在平時(shí)教學(xué)時(shí)，要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。 3、 信息技術(shù)走進(jìn)課堂 充分利用多媒體手段，以輕松愉快的動(dòng)畫演示，化抽象為形象，創(chuàng)設(shè)了直觀的課堂教學(xué)效果，化解了知識(shí)的難點(diǎn)。 4、 課堂上教師怎樣引導(dǎo)學(xué)生是值得我們深思的一個(gè)問(wèn)題，在完成知識(shí)拓展時(shí)，課堂上能不能很好的完成題目的變化，要經(jīng)教師的指導(dǎo)，學(xué)生才能逐漸地掌握方法。 5、 作業(yè)的可選擇性使學(xué)生能根據(jù)自己的能力選擇完成。 感悟：輕松愉快的課堂是學(xué)生思維發(fā)展的天地，討論、合作交流的主陣地，思想品德教育的好場(chǎng)所，因此新教育理念、新課改下的新課堂需要教師和學(xué)生一起來(lái)培育，一起來(lái)創(chuàng)造，一起來(lái)開拓。