2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.3.1等比數(shù)列(一)教案 北師大版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.3.1等比數(shù)列(一)教案 北師大版必修5一、教學(xué)目標(biāo):1、知識與技能:了解現(xiàn)實(shí)生活中存在著一類特殊的數(shù)列;理解等比數(shù)列的概念,探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實(shí)際問題;體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。2、過程與方法:采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué);發(fā)揮學(xué)生的主體作用,作好探究性活動(dòng);.密切聯(lián)系實(shí)際,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:通過生活中的大量實(shí)例,鼓勵(lì)學(xué)生積極思考,激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度,培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力;通過對有關(guān)實(shí)際問題的解決,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。二、教學(xué)重點(diǎn) 1.等比數(shù)列的概念;2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。教學(xué)難點(diǎn) 1.在具體問題中抽象出數(shù)列的模型和數(shù)列的等比關(guān)系;2.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.三、教學(xué)方法:探究歸納,講練結(jié)合四、教學(xué)過程(一)、導(dǎo)入新課:師 現(xiàn)實(shí)生活中,有許多成倍增長的實(shí)例.如,將一張報(bào)紙對折、對折、再對折、,對折了三次,手中的報(bào)紙的層數(shù)就成了8層,對折了5次就成了32層.你能舉出類似的例子嗎? 生 一粒種子繁殖出第二代120粒種子,用第二代的120粒種子可以繁殖出第三代120120粒種子,用第三代的120120粒種子可以繁殖出第四代120120120粒種子,師 非常好的一個(gè)例子!現(xiàn)實(shí)生活中,我們會(huì)遇到許多這類的事例.教師出示多媒體課件一:某種細(xì)胞分裂的模型.師 細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)也是與我們上述提出的問題類似的實(shí)例.細(xì)胞分裂有什么規(guī)律,將每次分裂后細(xì)胞的個(gè)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)列,你能寫出這個(gè)數(shù)列嗎?生 通過觀察和畫草圖,發(fā)現(xiàn)細(xì)胞分裂的規(guī)律,并記錄每次分裂所得到的細(xì)胞數(shù),從而得到每次細(xì)胞分裂所得到的細(xì)胞數(shù)組成下面的數(shù)列:1,2,4,8,教師出示投影膠片1:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”師 這是莊子天下篇中的一個(gè)論述,能解釋這個(gè)論述的含義嗎?生 思考、討論,用現(xiàn)代語言敘述.師 (用現(xiàn)代語言敘述后)如果把“一尺之棰”看成單位“1”,那么得到的數(shù)列是什么樣的呢? 生 發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系,寫出一個(gè)無窮等比數(shù)列:1,教師出示投影膠片2:計(jì)算機(jī)病毒傳播問題.一種計(jì)算機(jī)病毒,可以查找計(jì)算機(jī)中的地址簿,通過郵件進(jìn)行傳播.如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪,郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪,依此類推.假設(shè)每一輪每一臺計(jì)算機(jī)都感染20臺計(jì)算機(jī),那么在不重復(fù)的情況下,這種病毒感染的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成一個(gè)什么樣的數(shù)列呢?師 (讀題后)這種病毒每一輪傳播的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是怎樣的呢?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪”“每一輪感染20臺計(jì)算機(jī)”中蘊(yùn)涵的等比關(guān)系.生 發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系,寫出一個(gè)無窮等比數(shù)列:1,20,202,203,204,教師出示多媒體課件二:銀行存款利息問題.師 介紹“復(fù)利”的背景:“復(fù)利”是我國現(xiàn)行定期儲蓄中的一種支付利息的方式,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再計(jì)算下一期的利息,也就是通常說的“利滾利”.我國現(xiàn)行定期儲蓄中的自動(dòng)轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)實(shí)際上就是按復(fù)利支付利息的.給出計(jì)算本利和的公式:本利和=本金(1+本金)n,這里n為存期.生 列出5年內(nèi)各年末的本利和,并說明計(jì)算過程.師 生合作討論得出“時(shí)間”“年初本金”“年末本利和”三個(gè)量之間的對應(yīng)關(guān)系,并寫出:各年末本利和(單位:元)組成了下面數(shù)列:10 0001.019 8,10 0001.019 82,10 0001.019 83,10 0001.019 84,10 0001.019 85.師 回憶數(shù)列的等差關(guān)系和等差數(shù)列的定義,觀察上面的數(shù)列,說說它們有什么共同特點(diǎn)?師 引導(dǎo)學(xué)生類比等差關(guān)系和等差數(shù)列的概念,發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系.引入課題:板書課題等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式(二)、推進(jìn)新課合作探究師 從上面的數(shù)列中我們發(fā)現(xiàn)了它們的共同特點(diǎn)是:具有等比關(guān)系.如果我們將具有這樣特點(diǎn)的數(shù)列稱之為等比數(shù)列,那么你能給等比數(shù)列下一個(gè)什么樣的定義呢?生 回憶等差數(shù)列的定義,并進(jìn)行類比,說出:一般地,如果把一個(gè)數(shù)列,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。教師精講師 同學(xué)們概括得很好,這就是等比數(shù)列(geometric sequence)的定義.有些書籍把等比數(shù)列的英文縮寫記作G.P.(GeometricProgression).我們今后也常用G.P.這個(gè)縮寫表示等比數(shù)列.定義中的這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(mon ratio),公比通常用字母q表示(q0). 請同學(xué)們想一想,為什么q0呢?生 獨(dú)立思考、合作交流、自主探究.師 假設(shè)q=0,數(shù)列的第二項(xiàng)就應(yīng)該是0,那么作第一項(xiàng)后面的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比時(shí)就出現(xiàn)什么了呢?生 分母為0了.師 對了,問題就出在這里了,所以,必須q0.師 那么,等比數(shù)列的首項(xiàng)能不能為0呢?生 等比數(shù)列的首項(xiàng)不能為0.師 是的,等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都不能為0,等比數(shù)列中的任一項(xiàng)都不會(huì)是0.合作探究師類比等差中項(xiàng)的概念,請同學(xué)們自己給出等比中項(xiàng)的概念.生 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a、G、b成等比數(shù)列,那么G叫做a、b的等比中項(xiàng). 師 想一想,這時(shí)a、b的符號有什么特點(diǎn)呢?你能用a、b表示G嗎?生 一起探究,a、b是同號的,G=,G2=ab.師 觀察學(xué)生所得到的a、b、G的關(guān)系式,并給予肯定.補(bǔ)充練習(xí):與等差數(shù)列一樣,等比數(shù)列也具有一定的對稱性,對于等差數(shù)列來說,與數(shù)列中任一項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于該項(xiàng)的2倍,即a n-k+a n+k=2an.對于等比數(shù)列來說,有什么類似的性質(zhì)呢?生 獨(dú)立探究,得出:等比數(shù)列有類似的性質(zhì):a n-ka n+k=an2.合作探究探究:(1)一個(gè)數(shù)列a1,a2,a3,an,(a10)是等差數(shù)列,同時(shí)還能不能是等比數(shù)列呢?(2)寫出兩個(gè)首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前5項(xiàng),比較這兩個(gè)數(shù)列是否相同?寫出兩個(gè)公比為2的等比數(shù)列的前5項(xiàng),比較這兩個(gè)數(shù)列是否相同?(3)任一項(xiàng)an及公比q相同,則這兩個(gè)數(shù)列相同嗎?(4)任意兩項(xiàng)am、an相同,這兩個(gè)數(shù)列相同嗎?(5)若兩個(gè)等比數(shù)列相同,需要什么條件?師 引導(dǎo)學(xué)生探究,并給出(1)的答案,(2)(3)(4)可留給學(xué)生回答.生 探究并分組討論上述問題的解答辦法,并交流(1)的解答.教師精講概括總結(jié)對上述問題的探究,得出:(1)中,既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是存在的,每一個(gè)非零常數(shù)列都是公差為0,公比為1的既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列.概括學(xué)生對(2)(3)(4)的解答.(2)中,首項(xiàng)為1,而公比不同的等比數(shù)列是不會(huì)相同的;公比為2,而首項(xiàng)不同的等比數(shù)列也是不會(huì)相同的.(3)中,是指兩個(gè)數(shù)列中的任一對應(yīng)項(xiàng)與公比都相同,可得出這兩個(gè)數(shù)列相同;(4)中,是指兩個(gè)數(shù)列中的任意兩個(gè)對應(yīng)項(xiàng)都相同,可以得出這兩個(gè)數(shù)列相同;(5)中,結(jié)論是:若兩個(gè)數(shù)列相同,需要“首項(xiàng)和公比都相同”.(探究的目的是為了說明首項(xiàng)和公比是決定一個(gè)等比數(shù)列的必要條件;為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)做準(zhǔn)備)合作探究師 回顧等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程,你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?生 推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.方法引導(dǎo)師 讓學(xué)生與等差數(shù)列的推導(dǎo)過程類比,并引導(dǎo)學(xué)生采用不完全歸納法得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.具體的,設(shè)等比數(shù)列an首項(xiàng)為a1,公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的定義,我們有:a2=a1q,a3=a2q=a1q2,an=a n-1q=a1q n-1,即an=a1qn-1.師 根據(jù)等比數(shù)列的定義,我們還可以寫出,進(jìn)而有an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=a1q n-1.亦得an=a1qn-1.師 觀察一下上式,每一道式子里,項(xiàng)的下標(biāo)與q的指數(shù),你能發(fā)現(xiàn)有什么共同的特征嗎? 生 把a(bǔ)n看成anq0,那么,每一道式子里,項(xiàng)的下標(biāo)與q的指數(shù)的和都是n.師 非常正確,這里不僅給出了一個(gè)由an倒推到an與a1,q的關(guān)系,從而得出通項(xiàng)公式的過程,而且其中還蘊(yùn)含了等比數(shù)列的基本性質(zhì),在后面我們研究等比數(shù)列的基本性質(zhì)時(shí)將會(huì)再提到這組關(guān)系式.師 請同學(xué)們圍繞根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出的式子,再思考.如果我們把上面的式子改寫成.那么我們就有了n-1個(gè)等式,將這n-1個(gè)等式兩邊分別乘到一起(疊乘),得到的結(jié)果是,于是,得an=a1q n-1.師 這不又是一個(gè)推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法嗎?師 在上述方法中,前兩種方法采用的是不完全歸納法,嚴(yán)格的,還需給出證明.第三種方法沒有涉及不完全歸納法,是一個(gè)完美的推導(dǎo)過程,不再需要證明.師 讓學(xué)生說出公式中首項(xiàng)a1和公比q的限制條件.生 a1,q都不能為0.知識拓展師 前面實(shí)例中也有“細(xì)胞分裂”“計(jì)算機(jī)病毒傳播”“復(fù)利計(jì)算”的練習(xí)和習(xí)題,那里是用什么方法解決問題的呢?教師出示多媒體課件三:前面實(shí)例中關(guān)于“細(xì)胞分裂”“計(jì)算機(jī)病毒傳播”“復(fù)利計(jì)算”的練習(xí)或習(xí)題.某種儲蓄按復(fù)利計(jì)算成本利息,若本金為a元,每期利率為r,設(shè)存期是x,本利和為y元. (1)寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果存入本金1 000元,每期利率為2.25%,試計(jì)算5期后的本利和.師 前面實(shí)例中關(guān)于“細(xì)胞分裂”“計(jì)算機(jī)病毒傳播”“復(fù)利計(jì)算”的問題是用函數(shù)的知識和方法解決問題的.生 比較兩種方法,思考它們的異同.教師精講通過用不同的數(shù)學(xué)知識解決類似的數(shù)學(xué)問題,從中發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)可以聯(lián)系起來. (1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出通項(xiàng)公式為an=2 n-1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y=2x-1的圖象,你發(fā)現(xiàn)了什么?(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象和函數(shù)y=()x-1的圖象,你又發(fā)現(xiàn)了什么?生 借助信息技術(shù)或用描點(diǎn)作圖畫出上述兩組圖象,然后交流、討論、歸納出二者之間的關(guān)系.師 出示多媒體課件四:借助信息技術(shù)作出的上述兩組圖象.觀察它們之間的關(guān)系,得出結(jié)論:等比數(shù)列是特殊的指數(shù)函數(shù),等比數(shù)列的圖象是一些孤立的點(diǎn).師 請同學(xué)們從定義、通項(xiàng)公式、與函數(shù)的聯(lián)系3個(gè)角度類比等差數(shù)列與等比數(shù)列,并填充下列表格:等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)首項(xiàng)、公差(公比)取值有無限制沒有任何限制首項(xiàng)、公比都不能為0通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)dan=a1q n-1相應(yīng)圖象的特點(diǎn)直線y=a1+(x-1)d上孤立的點(diǎn)函數(shù)y=a1qx-1圖象上孤立的點(diǎn)例題剖析【例1】 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年,剩留的這種物質(zhì)是原來的84,這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年)?師 從中能抽象出一個(gè)數(shù)列的模型,并且該數(shù)列具有等比關(guān)系.【例2】 根據(jù)右圖中的框圖,寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng),并建立數(shù)列的遞推公式,這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎?師 將打印出來的數(shù)依次記為a1(即A),a2,a3,.可知a1=1;a2=a1;a3=a2.于是,可得遞推公式.由于,因此,這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列.生 算出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng),求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(三)、練習(xí):1.一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18,求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng).師 啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生列方程求未知量.生 探究、交流、列式、求解.2.課本練習(xí)1第1、2題。(四)、課堂小結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容:1.等比數(shù)列的定義;2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;3.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系。(五)、布置作業(yè):課本習(xí)題1-3 A組第1、2、3、4五、教學(xué)反思:- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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