高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 4.1 曲線與方程(二)課件 北師大版選修2-1.ppt

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第三章 4 曲線與方程,4.1 曲線與方程(二),1.掌握求軌跡方程建立坐標(biāo)系的一般方法，熟悉求曲線方程的五個(gè)步驟. 2.掌握求軌跡方程的幾種常用方法.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 坐標(biāo)法和解析幾何 借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)所滿足的方程f(x，y)＝0表示曲線，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì)，這一研究幾何問(wèn)題的方法就叫坐標(biāo)法.用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的學(xué)科叫做解析幾何. 知識(shí)點(diǎn)二 解析幾何研究的主要問(wèn)題 (1)根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程； (2)通過(guò)曲線的方程，研究曲線的性質(zhì).,知識(shí)點(diǎn)三 求曲線的方程的一般步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用 表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝ ； (3)用 表示條件p(M)，列出方程 ； (4)化方程f(x，y)＝0為最簡(jiǎn)形式； (5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn) .,,答案,都在曲線上,有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),{M|p(M)},坐標(biāo),f(x，y)＝0,,答案,返回,思考 (1)求曲線的方程的步驟是否可以省略？ 答案 可以省略.如果化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，可以省略步驟說(shuō)明，如有特殊情況，可以適當(dāng)說(shuō)明.另外，也可以根據(jù)情況省略步驟“寫(xiě)集合”，直接列出曲線方程. (2)求曲線的方程和求軌跡一樣嗎？ 答案 不一樣.若是求軌跡則要先求出方程，再說(shuō)明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置、大小都需說(shuō)明、討論清楚.,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 直接法求曲線方程,,解析答案,解 如圖，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－a,0)，B(a,0).,化簡(jiǎn)得：x2＋2y2＝a2(x≠a). ∴點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋2y2＝a2(x≠a).,反思與感悟,,直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)為f(x，y)＝0.要注意軌跡上的點(diǎn)不能含有雜點(diǎn)，也不能少點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上的點(diǎn)一個(gè)也不能多，一個(gè)也不能少.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 已知在直角三角形ABC中，角C為直角，點(diǎn)A(－1,0)，點(diǎn)B(1,0)，求滿足條件的點(diǎn)C的軌跡方程. 解 如圖，設(shè)C(x，y)，,∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化簡(jiǎn)得x2＋y2＝1. ∵A、B、C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形， ∴A、B、C三點(diǎn)不共線，∴y≠0. ∴點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2＝1(y≠0).,,解析答案,反思與感悟,題型二 定義法求曲線方程 例2 已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，過(guò)原點(diǎn)O作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程. 解 如圖，設(shè)OQ為過(guò)O點(diǎn)的一條弦，P(x，y)為其中點(diǎn)，則CP⊥OQ，,∵∠OPC＝90，,反思與感悟,,如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依據(jù)定義結(jié)合條件寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 已知定長(zhǎng)為6的線段，其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程.,所以M的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的圓， 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝9.,,解析答案,反思與感悟,題型三 代入法求曲線方程 例3 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上移動(dòng)，點(diǎn)M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡方程. 解 設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，,又∵M(jìn)在曲線x2＋y2＝1上， ∴(2x－3)2＋4y2＝1. ∴P點(diǎn)的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.,反思與感悟,,代入法求軌跡方程就是利用所求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與相關(guān)動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)坐標(biāo)間的關(guān)系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可用所求動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)表示相關(guān)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲線方程即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 已知△ABC的兩頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(6,0)，頂點(diǎn)C在曲線y＝x2＋3上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心的軌跡方程.,因?yàn)轫旤c(diǎn)C(x′，y′)在曲線y＝x2＋3上， 所以3y＝(3x－6)2＋3， 整理，得y＝3(x－2)2＋1. 故點(diǎn)M的軌跡方程為y＝3(x－2)2＋1.,,求曲線方程忽略限制條件致錯(cuò),易錯(cuò)點(diǎn),,解析答案,返回,例4 直線l：y＝k(x－5)(k≠0)與圓O：x2＋y2＝16相交于A，B兩點(diǎn)，O為圓心，當(dāng)k變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.,易錯(cuò)警示,,解析答案,易錯(cuò)警示,錯(cuò)解 設(shè)M(x，y)，易知直線恒過(guò)定點(diǎn)P(5,0)， 再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2， ∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，,,易錯(cuò)警示,正解 設(shè)M(x，y)，易知直線恒過(guò)定點(diǎn)P(5,0)， 再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2， ∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，,∵點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，∴所求的軌跡為圓內(nèi)的部分.,,返回,易錯(cuò)警示,,求曲線方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，能挖掘出題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免考慮不全面而致錯(cuò).,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,解析答案,A.一條直線 B.一條直線去掉一點(diǎn) C.一個(gè)點(diǎn) D.兩個(gè)點(diǎn) 解析 注意當(dāng)點(diǎn)C與A、B共線時(shí)，不符合題意，應(yīng)去掉.,B,1,2,3,4,5,,解析答案,2.到點(diǎn)(－1,0)與直線x＝3的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為( ) A.x2＝－4y＋4 B.y2＝－4x＋4 C.x2＝－8y＋8 D.y2＝－8x＋8,D,變形為：y2＝－8x＋8，故選D.,1,2,3,4,5,,3.下列各點(diǎn)中，在曲線x2－xy＋2y＋1＝0上的點(diǎn)是( ) A.(2，－2) B.(4，－3) C.(3，10) D.(－2，5) 解析 依次把四個(gè)選項(xiàng)代入x2－xy＋2y＋1，當(dāng)x＝3，y＝10時(shí)，x2－xy＋2y＋1＝0.故選C.,解析答案,C,1,2,3,4,5,,解析答案,4.在第四象限內(nèi)，到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)M的軌跡方程是( ) A.x2＋y2＝4 B.x2＋y2＝4(x0),D,解析 設(shè)M(x，y)，由|MO|＝2得，x2＋y2＝4，,1,2,3,4,5,,解析答案,5.設(shè)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_______________. 解析 圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為B(1,0)，半徑r＝1， 則|PB|2＝|PA|2＋r2. ∴|PB|2＝2. ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：(x－1)2＋y2＝2.,(x－1)2＋y2＝2,,課堂小結(jié),,返回,1.坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線的方程也不相同. 2.一般地，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，而不要設(shè)成(x1，y1)或(x′，y′)等. 3.方程化簡(jiǎn)到什么程度，課本上沒(méi)有給出明確的規(guī)定，一般指將方程f(x，y)＝0化成x，y的整式.如果化簡(jiǎn)過(guò)程破壞了同解性，就需要剔除不屬于軌跡上的點(diǎn)，找回屬于軌跡而遺漏的點(diǎn). 4.“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念：求軌跡方程只要求出方程即可；而求軌跡則應(yīng)先求出軌跡方程，再說(shuō)明軌跡的形狀.,