高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教版選修2-2.ppt
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2.3 數(shù)學(xué)歸納法,第二章 推理與證明,1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理. 2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟,會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.,學(xué)習(xí)目標(biāo),欄目索引,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 歸納法及分類,答案,由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法,通常叫歸納法,歸納法可以分為 歸納法和 歸納法, 完全歸納法所得出的結(jié)論是完全可靠的,因?yàn)樗疾炝藛栴}涉及的所有對(duì)象; 不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠,因?yàn)樗豢疾炝四臣虑榈牟糠謱?duì)象,但它是一種重要的思考問題的方法,是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙,是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再用完全歸納法證明,是解決問題的一種重要途徑.,完全,不完全,完全歸納法是一種在研究了解事物的所有(有限種)特殊情況后,得出一般結(jié)論的推理方法,又叫枚舉法. 與不完全歸納法不同,用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的. 通常在事物包括的特殊情況不多時(shí),采用完全歸納法.,思考 下面的各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列,請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù). (1)1,5,9,13,17,( );,答案,21,8,21,知識(shí)點(diǎn)二 數(shù)學(xué)歸納法,答案,1.數(shù)學(xué)歸納法 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立; (歸納遞推)假設(shè)nk(kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立. 2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)注意幾點(diǎn): (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與 有關(guān)的命題. (2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中,兩個(gè)基本步驟缺一不可. (3)步驟的證明必須以“假設(shè)nk(kn0,kN*)時(shí)命題成立”為條件.,正整數(shù)n,答案,不能保證猜想一定正確,需要嚴(yán)密的證明.,(2)多米諾骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件?,答案 第一塊骨牌倒下; 任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下. 條件事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系, 換言之就是假設(shè)第K塊倒下, 則相鄰的第K1塊也倒下.,返回,答案,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒成立,解析答案,反思與感悟,例1 求證:(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*).,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n1時(shí),左邊112,右邊2112,左邊右邊,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立, 即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1),那么,當(dāng)nk1時(shí), 左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2),2k13(2k1)(2k1)2 2k113(2k1)2(k1)1右邊. 當(dāng)nk1時(shí),等式也成立. 由(1)(2)可知,對(duì)一切nN*,原等式均成立.,反思與感悟,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式問題,關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項(xiàng),項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān),由nk到nk1時(shí),等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng),增加怎樣的項(xiàng).,解析答案,解析答案,題型二 證明不等式問題,解析答案,反思與感悟,解析答案,證明 由已知條件可得bn2n(nN*),,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí),不等式成立.,則當(dāng)nk1時(shí),,反思與感悟,要證當(dāng)nk1時(shí),不等式成立,,反思與感悟,當(dāng)nk1時(shí),不等式成立. 由(1)(2)可知,對(duì)一切nN*,原不等式均成立.,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)要注意兩湊:一湊歸納假設(shè);二湊證明目標(biāo),在湊證明目標(biāo)時(shí),比較法、綜合法、分析法都適用.,反思與感悟,解析答案,解析答案,(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí),不等式成立,,則當(dāng)nk1時(shí),,解析答案,所以當(dāng)nk1時(shí)不等式成立. 由(1)(2)知,不等式對(duì)一切nN*都成立.,題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,解析答案,反思與感悟,例3 求證nN*時(shí),an1(a1)2n1能被a2a1整除.,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n1時(shí),a11(a1)211a2a1,命題顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*,k1)時(shí),ak1(a1)2k1能被a2a1整除, 則當(dāng)nk1時(shí), ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由歸納假設(shè),上式中的兩項(xiàng)均能被a2a1整除, 故當(dāng)nk1時(shí)命題成立. 由(1)(2)知,對(duì)任意nN*,命題成立.,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性問題時(shí),關(guān)鍵是從當(dāng)nk1時(shí)的式子中拼湊出當(dāng)nk時(shí)能被某數(shù)整除的式子,并將剩余式子轉(zhuǎn)化為能被該數(shù)整除的式子.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n,An11n2122n1能被133整除.,證明 (1)當(dāng)n0時(shí),A011212133,能被133整除. (2)假設(shè)當(dāng)nk(k0)時(shí),Ak11k2122k1能被133整除, 那么當(dāng)nk1時(shí), Ak111k3122k31111k2122122k1 1111k211122k1(12211)122k1 11(11k2122k1)133122k1, 能被133整除. 由(1)(2)可知,對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n,An都能被133整除.,題型四 用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問題,解析答案,反思與感悟,例4 已知n個(gè)平面都過同一點(diǎn),但其中任何三個(gè)平面都不經(jīng)過同一直線,求證:這n個(gè)平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n1時(shí),1個(gè)平面把空間分成2部分, 而f(1)1(11)22(部分),所以命題正確. (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí),命題成立, 即k個(gè)符合條件的平面把空間分為f(k)k(k1)2(部分), 當(dāng)nk1時(shí),第k1個(gè)平面和其他每一個(gè)平面相交,使其所分成的空間都增加2部分,所以共增加2k部分, 故f(k1)f(k)2kk(k1)22k k(k12)2(k1)(k1)12(部分), 即當(dāng)nk1時(shí),命題也成立. 根據(jù)(1)(2),知n個(gè)符合條件的平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”,即幾何元素從k增加到k1時(shí),所證的幾何量增加多少,同時(shí)要善于利用幾何圖形的直觀性,建立k與k1之間的遞推關(guān)系.,反思與感悟,解析答案,解析答案,證明 (1)當(dāng)n2時(shí),兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè),,當(dāng)n2時(shí),命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*,k2)時(shí)命題成立,,那么,當(dāng)nk1時(shí),,l與其他k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k, 從而k1條直線共有f(k)k個(gè)交點(diǎn),,當(dāng)nk1時(shí),命題成立. 由(1)(2)可知,對(duì)任意nN*(n2)命題都成立.,解析答案,因弄錯(cuò)從nk到nk1的增加項(xiàng)致誤,防范措施,返回,易錯(cuò)易混,錯(cuò)解 當(dāng)n1時(shí),,解析答案,防范措施,即n1時(shí)不等式成立. 假設(shè)nk(k1,且kN*)時(shí)不等式成立,,那么,當(dāng)nk1時(shí),,即nk1時(shí),不等式成立.,正解 當(dāng)n1時(shí),,即n1時(shí)不等式成立.,解析答案,防范措施,防范措施,假設(shè)nk(k1,kN*)時(shí)不等式成立,,那么,當(dāng)nk1時(shí),,所以nk1時(shí),不等式成立.,防范措施,當(dāng)nk1時(shí),可以寫出相應(yīng)增加的項(xiàng),然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明.,返回,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a4,B,解析答案,解析 當(dāng)n1時(shí),左邊的最高次數(shù)為1,即最后一項(xiàng)為a,左邊是1a,故選B.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,答案 C,比較可知C正確.,1,2,3,4,5,解析答案,2k,解析 觀察f(n)的表達(dá)式可知,右端分母是連續(xù)的正整數(shù),,因此f(2k1)比f(2k)多了2k項(xiàng).,1,2,3,4,5,解析答案,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3,nN*)第一步應(yīng)驗(yàn)證_.,n3時(shí)是否成立,解析 n的最小值為3,所以第一步驗(yàn)證n3時(shí)是否成立.,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a11,Snn2an(nN*).依次計(jì)算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表達(dá)式為_.,課堂小結(jié),1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存,缺一不可. 有一無二,是不完全歸納法,結(jié)論不一定可靠;有二無一,第二步就失去了遞推的基礎(chǔ). 2.歸納假設(shè)的作用. 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),對(duì)于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn): (1)歸納假設(shè)就是已知條件; (2)在推證nk1時(shí),必須用上歸納假設(shè).,返回,3.利用歸納假設(shè)的技巧. 在推證nk1時(shí),可以通過湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè). 此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo),又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系. 在推證時(shí),分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用. 4.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍. 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法,應(yīng)用十分廣泛,主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題、探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題中.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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