2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《函數(shù)的基本性質(zhì)》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《函數(shù)的基本性質(zhì)》 函數(shù)的性質(zhì)通常是指函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等等，在解決與函數(shù)有關(guān)的(如方程、不等式等)問題時(shí)，巧妙利用函數(shù)及其圖象的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問題得到簡化，從而達(dá)到解決問題的目的. I．函數(shù)的定義 設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，f是從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則.那么，從A到B的映射f：A→B就叫做從A到B的函數(shù).記做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函數(shù)f(x)的定義域，象的集合C叫做函數(shù)的值域，顯然CB. II．函數(shù)的性質(zhì) （1）奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集.若對(duì)任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),則稱f(x)是偶函數(shù). （2）函數(shù)的增減性 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D′上滿足：對(duì)任意x1, x2∈D′，并且x1f(x2)),則稱f(x)在區(qū)間D′上的增函數(shù)（減函數(shù)），區(qū)間D′稱為f(x)的一個(gè)單調(diào)增（減）區(qū)間. III．函數(shù)的周期性 對(duì)于函數(shù) f(x),如果存在一個(gè)不為零的正數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域中的每個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，那么稱f(x)是周期函數(shù)，T稱做這個(gè)周期函數(shù)的周期.如果函數(shù)f(x)的所有周期中存在最小值T0，稱T0為周期函數(shù)f(x)的最小值正周期. 例題講解 1．已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)( ) A.在區(qū)間(－2，0)上單調(diào)遞增 B.在(0，2)上單調(diào)遞增 C.在(－1，0)上單調(diào)遞增 D.在(0，1)上單調(diào)遞增 2．設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋3)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤時(shí)，f(x)＝x，則f(xx)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.xx 3．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為( ) A.150 B. C.152 D. 4．實(shí)數(shù)x，y滿足x2＝2xsin(xy)－1，則xxx＋6sin5y＝______________. 5．已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c為整數(shù)，則b＋c＝__________. 6．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有實(shí)數(shù)根，且f(x)＝1在(0，1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：a＞4. 7．已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值為M，求證：M≥. 8．⑴解方程:(x＋8)xx＋xxx＋2x＋8＝0 ⑵解方程： 9．設(shè)f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求[f⑷＋f(0)]的值. 10．設(shè)f(x)＝x4－4x3＋x2－5x＋2，當(dāng)x∈R時(shí)，求證：|f(x)|≥ 課后練習(xí) 1. 已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，則f(－1)＝( ) A.3 B.－3 C.5 D.－5 2. 已知(3x＋y)xx＋xxx＋4x＋y＝0，求4x＋y的值. 3. 解方程：ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0 4. 若函數(shù)y＝log3(x2＋ax－a)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________. 5. 函數(shù)y＝的最小值是______________. 6. 已知f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x的兩根為x1，x2，a＞0，x1－x2＞，若0＜t＜x1，試比較f(t)與x1的大小. 7. f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1，0≤y≤1時(shí). 求證：存在實(shí)數(shù)x，y，使得 8. 設(shè)a，b，c∈R，|x|≤1，f(x)＝ax2＋bx＋c，如果|f(x)|≤1，求證：|2ax＋b|≤4. 9．已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋c定義在[0，1]上，x1，x2∈[0，1]且x1≠x2. ⑴求證：|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|； ⑵求證：|f(x1)－f(x2)|＜1. 課后練習(xí)答案 1.解：∵ f⑴＝a＋bsin51＋1＝5 設(shè)f(－1)＝－a＋bsin5(－1)＋1＝k 相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k ∴ f(－1)＝k＝2－5＝－3 選B 2.解：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xxx＋x，則f(3x＋y)＋f(x)＝0 逐一到f(x)的奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)， 所以3x＋y＝－x 4x＋y＝0 3.解：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ln(＋x)＋x 則由已知得：f(x)＋f(2x)＝0 不難知，f(x)為奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)(證明略) 所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x) 由函數(shù)的單調(diào)性，得x＝－2x 所以原方程的解為x＝0 4.解：函數(shù)值域?yàn)镽，表示函數(shù)值能取遍所有實(shí)數(shù)， 則其真數(shù)函數(shù)g(x)＝x2＋ax－a的函數(shù)值應(yīng)該能夠取遍所有正數(shù) 所以函數(shù)y＝g(x)的圖象應(yīng)該與x軸相交 即△≥0 ∴ a2＋4a≥0 a≤－4或a≥0 解法二：將原函數(shù)變形為x2＋ax－a－3y＝0 △＝a2＋4a＋43y≥0對(duì)一切y∈R恒成立 則必須a2＋4a≥0成立 ∴ a≤－4或a≥0 5.提示：利用兩點(diǎn)間距離公式處理 y＝ 表示動(dòng)點(diǎn)P(x，0)到兩定點(diǎn)A(－2，－1)和B(2，2)的距離之和 當(dāng)且僅當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)取的最小值，為|AB|＝5 6.解法一：設(shè)F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c， ＝a(x－x1)(x－x2) ∴ f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x 作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1 ＝(t－x1)[a(t－x2)＋1] ＝a(t－x1)(t－x2＋) 又t－x2＋＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0 ∴ f(t)－x1＞0 ∴ f(t)＞x1 解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x 令g(x)＝a(x－x2) ∵ a＞0，g(x)是增函數(shù)，且t＜x1 g(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1 另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t ∴ ＝a(t－x2)＝g(t)＜－1 ∴ f(t)－t＞x1－t ∴ f(t)＞x1 7.|xy－f(x)－g(y)|≥ 證明：(正面下手不容易，可用反證法) 若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，都有|xy－f(x)－g(y)|＜ 記|S(x，y)|＝|xy－f(x)－g(y)| 則|S(0，0)|＜，|S(0，1)|＜，|S(1，0)|＜，|S(1，1)|＜ 而S(0，0)＝－f(0)－g(0) S(0，1)＝－f(0)－g(1) S(1，0)＝－f(1)－g(0) S(1，1)＝1－f(1)－g(1) ∴ |S(0，0)|＋|S(0，1)|＋|S(1，0)|＋|S(1，1)| ≥|S(0，0)－S(0，1)－S(1，0)＋S(1，1)| ＝1 矛盾！ 故原命題得證！ 8.解：(本題為1914年匈牙利競(jìng)賽試題) f⑴＝a＋b＋c f(－1)＝a－b＋c f(0)＝c ∴ a＝[f⑴＋f(－1)－2f(0)] b＝[f⑴－f(－1)] c＝f(0) |2ax＋b|＝|[f⑴＋f(－1)－2f(0)]x＋[f⑴－f(－1)]| ＝|(x＋)f⑴＋(x－)f(－1)－2xf(0)| ≤|x＋||f⑴|＋|x－||f(－1)|＋2|x||f(0)| ≤|x＋|＋|x－|＋2|x| 接下來按x分別在區(qū)間[－1，－]，(－，0)，[0，)，[，1]討論即可 9. 證明：⑴|f(x1)－f(x2)|＝|x13－x1＋x23－x2| ＝|x1－x2||x12＋x1x2＋x22－1| 需證明|x12＋x1x2＋x22－1|＜2 ………………① x12＋x1x2＋x22＝(x1＋≥0 ∴ －1＜x12＋x1x2＋x22－1＜1＋1＋1－1＝2 ∴ ①式成立 于是原不等式成立 ⑵不妨設(shè)x2＞x1 由⑴ |f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2| ①若 x2－x1∈(0，] 則立即有|f(x1)－f(x2)|＜1成立. ②若1＞x2－x1＞，則－1＜－(x2－x1)＜－ ∴ 0＜1－(x2－x1)＜ (右邊變?yōu)檎龜?shù)) 下面我們證明|f(x1)－f(x2)|＜2(1－x2＋x1) 注意到：f(0)＝f⑴＝f(－1)＝c |f(x1)－f(x2)|＝|f(x1)－f⑴＋f(0)－f(x2)| ≤|f(x1)－f⑴|＋|f(0)－f(x2)| ＜2(1－x2)＋2(x2－0) (由⑴) ＝2(1－x2＋x1) ＜1 綜合⑴⑵，原命題得證. 10. 已知f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1) ⑴若|a|≤1，求證：|f(x)|≤ ⑵若f(x)max＝，求a的值. 解：分析：首先設(shè)法去掉字母a，于是將a集中 ⑴若a＝0，則f(x)＝x， 當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，|f(x)|≤1＜成立 若a≠0，f(x)＝a(x2－1)＋x ∴ |f(x)|＝|a(x2－1)＋x| ≤|a||x2－1|＋|x| ≤|x2－1|＋|x| (∵ |a|≤1) ≤1－|x2|＋|x| ＝－(|x|－)2 ≤ ⑵a＝0時(shí)，f(x)＝x≤1≠ ∴ a≠0 ∵ f(x)max＝max{f⑴，f(－1)，f(－)} 又f(1)＝1≠ ∴ f(x)max＝f(－)＝ a(－)2＋(－)－a＝ a＝－2或a＝－ 但此時(shí)要求頂點(diǎn)在區(qū)間[－1，1]內(nèi)，應(yīng)舍去－ 答案為－2 例題答案： 1．提示：可用圖像，但是用特殊值較好一些.選C 2．解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期為6 f(xx)＝f(6335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 選A 3．提示：由已知，函數(shù)f(x)的圖象有對(duì)稱軸x＝ 于是這101個(gè)根的分布也關(guān)于該對(duì)稱軸對(duì)稱. 即有一個(gè)根就是，其余100個(gè)根可分為50對(duì)，每一對(duì)的兩根關(guān)于x＝對(duì)稱 利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，這100個(gè)根的和等于100＝150 所有101個(gè)根的和為101＝.選B 4．解：如果x、y不是某些特殊值，則本題無法(快速)求解 注意到其形式類似于一元二次方程，可以采用配方法 (x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5．解：(逆向思考：什么樣的方程有這樣的根？) 由已知變形得x－ ∴ x2－2x＋19＝99 即 x2－80＝2x 再平方得x4－160x2＋6400＝76x2 即 x4－236x2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c＝6400 b＋c＝6164 6．證法一：由已知條件可得 △＝b2－4ac≥0 ① f⑴＝a＋b＋c＞1 ② f(0)＝c＞1 ③ 0＜－＜1 ④ b2≥4ac b＞1－a－c c＞1 b＜0(∵ a＞0) 于是－b≥2 所以a＋c－1＞－b≥2 ∴ ()2＞1 ∴ ＞1 于是＋1＞2 ∴ a＞4 證法二：設(shè)f(x)的兩個(gè)根為x1，x2， 則f(x)＝a(x－x1)(x－x2) f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1 f(0)＝ax1x2＞1 由基本不等式 x1(1－x1)x2(1－x2)≤[(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝()2 ∴ ≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1 ∴ a2＞16 ∴ a＞4 7．解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ⑴若|－|≥1 (對(duì)稱軸不在定義域內(nèi)部) 則M＝max{|f⑴|，|f(－1)|} 而f⑴＝1＋a＋b f(－1)＝1－a＋b |f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 則|f⑴|和|f(－1)|中至少有一個(gè)不小于2 ∴ M≥2＞ ⑵|－|＜1 M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|} ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|，|－＋b|} ≥(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|) ≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)] ＝ ≥ 綜上所述，原命題正確. 8．⑴解：原方程化為(x＋8)xx＋(x＋8)＋xxx＋x＝0 即(x＋8)xx＋(x＋8)＝(－x)xx＋(－x) 構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xxx＋x 原方程等價(jià)于f(x＋8)＝f(－x) 而由函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù) 于是有x＋8＝－x x＝－4為原方程的解 ⑵兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得 于是f(2x)＝f(x2＋1) 易證：f(x)世紀(jì)函數(shù)，且是R上的增函數(shù)， 所以：2x＝x2＋1 解得：x＝1 9．解：由已知，方程f(x)＝x已知有三個(gè)解，設(shè)第四個(gè)解為m， 記 F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m) ∴ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋x f⑷＝6(4－m)＋4 f(0)＝6m ∴ [f⑷＋f(0)]＝7 10．證明：配方得： f(x)＝x2(x－2)2＋(x－1)2－ ＝x2(x－2)2＋(x－1)2－1＋ ＝(x2－2x)2＋(x－1)2－1＋ ＝[(x－1)2－1]2＋(x－1)2－1＋ ＝(x－1)4－2(x－1)2＋1＋(x－1)2－1＋ ＝(x－1)4＋(x－1)2＋ ≥