2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題10.4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題10.4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題（含解析） 【三年高考】 1. 【xx江蘇高考，18】（本小題滿(mǎn)分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于 點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程. 【答案】（1）（2）或． 【解析】 試題解析：（1）由題意，得且， 解得，，則， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）當(dāng)軸時(shí)，，又，不合題意． 當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，， 將的方程代入橢圓方程，得， 則，的坐標(biāo)為，且 ． 若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意． 從而，故直線的方程為， 則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而． 因?yàn)?，所以，解得? 此時(shí)直線方程為或． 【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系 2．【xx江蘇，理17】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接. （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般要找到關(guān)系的兩個(gè)等量關(guān)系，本題中橢圓過(guò)點(diǎn)，可把點(diǎn)的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得到一個(gè)關(guān)于的方程，另外，這樣兩個(gè)等量關(guān)系找到了；（2）要求離心率，就是要列出關(guān)于的一個(gè)等式，題設(shè)條件是，即，，要求，必須求得的坐標(biāo)，由已知寫(xiě)出方程，與橢圓方程聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)，則，由此可得，代入可得關(guān)于的等式，再由可得的方程，可求得. 試題解析：（1）由題意，，，，又，∴，解得．∴橢圓方程為． （2）直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，又，由得，即，∴，化簡(jiǎn)得． 3. 【xx課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足。 (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) 。 (2)證明略。 【解析】 （2）由題意知。設(shè),則 ， 。 由得，又由（1）知，故 。 所以，即。又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F。 【考點(diǎn)】 軌跡方程的求解；直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題。 【名師點(diǎn)睛】求軌跡方程的常用方法有： (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0。 (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類(lèi)型，求曲線方程。 (3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 (4)代入(相關(guān)點(diǎn))法：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而運(yùn)動(dòng)，常利用代入法求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程。　 4.【xx山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率. 【答案】（I）. （Ⅱ）的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為. （Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程 得，由題意知，且， 所以 . 由題意可知圓的半徑為 由題設(shè)知，所以因此直線的方程為. 聯(lián)立方程得，因此 . 【考點(diǎn)】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類(lèi)題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等. 5. 【xx課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題： （1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由； （2）證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 【答案】（1）不會(huì)；（2）詳見(jiàn)解析 【解析】試題分析：（1）設(shè)，由AC⊥BC得；由韋達(dá)定理得，矛盾，所以不存在（2）可設(shè)圓方程為,因?yàn)檫^(guò)，所以 ，令 得，即弦長(zhǎng)為3. 令得，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，所以 所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值 解法2：設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D， 由可知原點(diǎn)O在圓內(nèi)，由相交弦定理可得， 又，所以， 所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，為定值. 【考點(diǎn)】圓一般方程，圓弦長(zhǎng) 【名師點(diǎn)睛】：直線與圓綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略 (1)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式： (2)圓的切線問(wèn)題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問(wèn)題． 6. 【xx天津，文20】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為. （I）求橢圓的離心率； （II）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為. （i）求直線的斜率； （ii）求橢圓的方程. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（?。?（ⅱ） 【解析】 試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因?yàn)?，解? 所以，橢圓的離心率為. （Ⅱ）（?。┮李}意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為. 由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為. 【考點(diǎn)】1.橢圓方程；2.橢圓的幾何性質(zhì)；3.直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題重點(diǎn)考察了計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此類(lèi)題目，利用的關(guān)系，確定橢圓離心率是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題，但本題需求解交點(diǎn)坐標(biāo)，再求解過(guò)程逐步發(fā)現(xiàn)四邊形的幾何關(guān)系，從而求解面積，計(jì)算結(jié)果，本題計(jì)算量比較大. 7. 【xx北京，文19】已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可知，以及 ，求得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)，則，根據(jù)條件求直線的方程，并且表示直線的方程，并求兩條直線的交點(diǎn)，根據(jù) ，根據(jù)坐標(biāo)表示面積比值. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為. 由題意得解得. 所以. 所以橢圓的方程為. 由點(diǎn)在橢圓上，得. 所以. 又， ， 所以與的面積之比為. 【考點(diǎn)】1.橢圓方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，重點(diǎn)考察了計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此類(lèi)題目，利用的關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題，但本題需求解交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積的幾何關(guān)系，從而求解面積比值，計(jì)算結(jié)果，本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等. 8. 【xx浙江，21】（本題滿(mǎn)分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q． （Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由兩點(diǎn)求斜率公式可得AP的斜率為，由，得AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)與的長(zhǎng)度，通過(guò)函數(shù)求解的最大值． 解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)閨PA|== |PQ|= ，所以|PA||PQ|= 令，因?yàn)椋?f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值． 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力，通過(guò)表達(dá)與的長(zhǎng)度，通過(guò)函數(shù)求解的最大值． 9．【xx高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. （I）證明為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程； （II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）（）（II） 【解析】 試題分析：根據(jù)可知軌跡為橢圓,利用橢圓定義求方程；（II）分斜率是否存在設(shè)出直線方程,當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)其方程為,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式把面積表示為x斜率k的函數(shù),再求最值. 試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?,故, 所以,故. 又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而,所以. 由題設(shè)得,,,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為： （）. （Ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)的方程為,,. 由得. 則,. 所以. 過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線：,到的距離為,所以 .故四邊形的面積 . 可得當(dāng)與軸不垂直時(shí),四邊形面積的取值范圍為. 當(dāng)與軸垂直時(shí),其方程為,,,四邊形的面積為12. 綜上,四邊形面積的取值范圍為. 考點(diǎn)：圓錐曲線綜合問(wèn)題 【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個(gè)很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成, .其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類(lèi)問(wèn)題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用. 10．【xx高考山東理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分14分） 平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn). （I）求橢圓C的方程； （II）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M. （i）求證：點(diǎn)M在定直線上; （ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）見(jiàn)解析；（ii）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；（Ⅱ）（i）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（ii）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 試題解析： （Ⅰ）由題意知，可得：. 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以， 所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）（i）設(shè)，由可得， 所以直線的斜率為， 因此直線的方程為，即. 設(shè)，聯(lián)立方程 得， 由，得且， 因此, 將其代入得， 因?yàn)?，所以直線方程為. 聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 即點(diǎn)在定直線上. （ii）由（i）知直線方程為， 令得，所以， 又， 所以， ， 所以， 令，則， 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿(mǎn)足， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類(lèi)題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等. 11．【xx高考北京文數(shù)】已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn). （I）求橢圓C的方程及離心率； （Ⅱ）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知a,b的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（Ⅱ）四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，分別求出對(duì)角線的值求乘積為定值即可. 試題解析：（I）由題意得，，． 所以橢圓的方程為． 又， 所以離心率． （II）設(shè)（，），則． 又，，所以， 直線的方程為． 令，得，從而． 直線的方程為． 令，得，從而． 所以四邊形的面積 ． 從而四邊形的面積為定值． 考點(diǎn)：橢圓方程，直線和橢圓的關(guān)系，運(yùn)算求解能力. 【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算. 12.【xx高考江蘇卷】（本小題滿(mǎn)分10分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線，拋物線 （1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程； （2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)P和Q. ①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為； ②求p的取值范圍. 【答案】（1）（2）①詳見(jiàn)解析，② 【解析】 試題分析：（1）先確定拋物線焦點(diǎn)，再將點(diǎn)代入直線方程（2）①利用拋物線點(diǎn)之間關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求證，②利用直線與拋物線位置關(guān)系確定數(shù)量關(guān)系：，解出p的取值范圍. 試題解析：解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為 由點(diǎn)在直線上，得，即 所以?huà)佄锞€C的方程為 （2）設(shè)，線段PQ的中點(diǎn) 因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以直線垂直平分線段PQ, 于是直線PQ的斜率為，則可設(shè)其方程為 ①由消去得 因?yàn)镻 和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以 從而，化簡(jiǎn)得. 方程（*）的兩根為，從而 因?yàn)樵谥本€上，所以 因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ②因?yàn)樵谥本€上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為 考點(diǎn)：直線與拋物線位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮： (1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 13.【xx高考天津理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分14分） 設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化簡(jiǎn)條件：，即M再OA中垂線上，，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍 試題解析：（1）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為. （2）（Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得. 解得，或，由題意得，從而. 由（Ⅰ）知，，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為. 設(shè)，由方程組消去，解得.在中，，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或. 所以，直線的斜率的取值范圍為. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程 【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮： (1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 14.【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)． （I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明； （II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）設(shè)出與軸垂直的兩條直線，然后得出的坐標(biāo)，然后通過(guò)證明直線與直線的斜率相等即可證明結(jié)果了；（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積可求得，設(shè)出的中點(diǎn)，根據(jù)與軸是否垂直分兩種情況結(jié)合求解． 試題解析：由題設(shè).設(shè)，則，且 . 記過(guò)兩點(diǎn)的直線為，則的方程為. .....3分 （Ⅰ）由于在線段上，故. 記的斜率為，的斜率為，則， 所以. ......5分 （Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為， 則. 由題設(shè)可得，所以（舍去），. 設(shè)滿(mǎn)足條件的的中點(diǎn)為. 當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得. 而，所以. 當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，所以，所求軌跡方程為. ....12分 考點(diǎn)：1、拋物線定義與幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線位置關(guān)系；3、軌跡求法． 【方法歸納】（1）解析幾何中平行問(wèn)題的證明主要是通過(guò)證明兩條直線的斜率相等或轉(zhuǎn)化為利用向量證明；（2）求軌跡的方法在高考中最?？嫉氖侵苯臃ㄅc代入法（相關(guān)點(diǎn)法），利用代入法求解時(shí)必須找準(zhǔn)主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)． 15.【xx高考浙江理數(shù)】（本題滿(mǎn)分15分）如圖，設(shè)橢圓（a＞1）. （I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a、k表示）； （II）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值 范圍. 【答案】（I）；（II）． 【解析】 試題分析：（I）先聯(lián)立和，可得，，再利用弦長(zhǎng)公式可得直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)；（II）先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，再利用對(duì)稱(chēng)性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍． 試題解析：（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得 ， 故 ，． 因此 ． （II）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿(mǎn)足 ． 記直線，的斜率分別為，，且，，． 由（I）知， ，， 故 ， 所以． 由于，，得 ， 因此 ， ① 因?yàn)棰偈疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是 ，所以． 因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為 ， 由得，所求離心率的取值范圍為． 考點(diǎn)：1、弦長(zhǎng)；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率． 【思路點(diǎn)睛】（I）先聯(lián)立和，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用弦長(zhǎng)公式可得直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)；（II）利用對(duì)稱(chēng)性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍． 16．【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的面積； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求直線的方程，再求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后求的面積；（Ⅱ）設(shè)，，將直線的方程與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由求. 試題解析：（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時(shí)，的方程為，. 由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為. 將代入得.解得或，所以. 因此的面積. （II）由題意，，. 將直線的方程代入得. 由得，故. 由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得， 由得，即. 當(dāng)時(shí)上式不成立， 因此.等價(jià)于， 即.由此得，或，解得. 因此的取值范圍是. 考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】由直線(系)和圓錐曲線(系)的位置關(guān)系，求直線或圓錐曲線中某個(gè)參數(shù)(系數(shù))的范圍問(wèn)題，常把所求參數(shù)作為函數(shù)，另一個(gè)元作為自變量求解． 17【xx年高考北京理數(shù)】（本小題14分） 已知橢圓C： （）的離心率為 ，，，，的面積為1. （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)M，直線PB與軸交于點(diǎn)N. 求證：為定值. 【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)離心率為，即，的面積為1，即，橢圓中列方程求解；（2）根據(jù)已知條件分別求出，的值，求其乘積為定值. 試題解析：（1）由題意得解得. 所以橢圓的方程為. （2）由（Ⅰ）知，， 設(shè)，則. 當(dāng)時(shí)，直線的方程為. 令，得.從而. 直線的方程為. 令，得.從而. 所以 . 當(dāng)時(shí)，， 所以. 綜上，為定值. 考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算. 18．【xx年高考四川理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分13分） 已知橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T. （Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l’平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值. 【答案】（Ⅰ），點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：（I）由已知，，即，所以，則橢圓E的方程為. 由方程組 得.① 方程①的判別式為，由，得， 此方程①的解為， 所以橢圓E的方程為. 點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）. （II）由已知可設(shè)直線 的方程為， 有方程組 可得 所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ），. 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為 . 由方程組 可得.② 方程②的判別式為，由，解得. 由②得. 所以 ， 同理， 所以 . 故存在常數(shù)，使得. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時(shí)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來(lái)，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求”法．可減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題過(guò)程． 19．【xx高考上海理數(shù)】（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn)。 （1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）．（2）. 【解析】 試題分析：（1）設(shè)．根據(jù)是等邊三角形，得到，解得． （2）（2）設(shè)，，直線與雙曲線方程聯(lián)立，得到一元二次方程，根據(jù)與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得，且． 設(shè)的中點(diǎn)為．由，計(jì)算，從而． 得出的方程求解． 試題解析：（1）設(shè)． 由題意，，，， 因?yàn)槭堑冗吶切?，所以? 即，解得． 故雙曲線的漸近線方程為． （2）由已知，，． 設(shè)，，直線．顯然． 由，得． 因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且． 設(shè)的中點(diǎn)為． 由即，知，故． 而，，， 所以，得，故的斜率為． 考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線與雙曲線的位置關(guān)系；3.平面向量的數(shù)量積. 【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類(lèi)題目，利用的關(guān)系，確定雙曲線（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與雙曲線（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等. 20. 【xx高考陜西，文20】如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為. (I)求橢圓的方程； (II)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），證明：直線與的斜率之和為2. 【解析】 (I)由題意知，綜合，解得，所以，橢圓的方程為. 【xx年高考命題預(yù)測(cè)】 縱觀xx各地高考試題，由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題，主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、定點(diǎn)定值的探索問(wèn)題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識(shí)點(diǎn)多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問(wèn)題與解決綜合問(wèn)題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目.xx年求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、定點(diǎn)定值的探索問(wèn)題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系仍是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識(shí)點(diǎn)仍然較多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問(wèn)題與解決綜合問(wèn)題的能力，仍是高考中區(qū)分度較大的題目，在備考時(shí)，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐曲線問(wèn)題的常見(jiàn)題型與解法，加大練習(xí)力度，提高運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題能力，要特別關(guān)注與向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的結(jié)合，關(guān)注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類(lèi)討論思想等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用． 【xx年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)圓錐曲線綜合問(wèn)題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線間的知識(shí)運(yùn)用；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，這是高考中考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要涉及的題型為中點(diǎn)弦問(wèn)題、最值與取值范圍問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、探索性問(wèn)題，從涉及的知識(shí)上講，常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系，考查知識(shí)點(diǎn)多，運(yùn)算量大，能力要求高，難度大是這種題型的一大特征. 【考點(diǎn)1】求軌跡方程 【備考知識(shí)梳理】 1．曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個(gè)方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個(gè)方程的曲線. 2．直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系． (2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)． (3)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿(mǎn)足的關(guān)系式． (4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程． 【規(guī)律方法技巧】 1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是已知所求曲線的類(lèi)型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法；另一類(lèi)是不知曲線類(lèi)型常用的方法有： (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0； (2)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； (3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (4)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 2. 求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說(shuō)明軌跡的形狀、位置、大小等 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.A和B是拋物線上除去原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)且滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)______________. 【答案】 【解析】設(shè)，，，則，①，，②，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意可知斜率k不會(huì)為0，設(shè)， 聯(lián)立，得，∴，，，∵，∴，即，③， ∵，即，④，又∵點(diǎn)M滿(mǎn)足，⑤，由③④⑤得：， 而滿(mǎn)足上式，∴點(diǎn)M的軌跡方程為：． 2.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足:直線與直線的斜率之積為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn)，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在x軸上），連[交的軌跡于點(diǎn)，連并延長(zhǎng)交的軌跡于點(diǎn)，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若成立，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】（1）已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以直線的斜率，直線的斜率（），又，所以，即． （2）設(shè)，又，則，故直線的方程為：，代入橢圓方程并整理得：.由韋達(dá)定理：即，，同理可解得： 故直線的方程為，即，故直線恒過(guò)定點(diǎn)． 【考點(diǎn)2】圓錐曲線間的綜合 【備考知識(shí)梳理】 1.要熟記橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 2.要熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 3.要熟練掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【規(guī)律方法技巧】 1. 解圓錐曲線間的綜合問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化. 2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.已知橢圓（）與雙曲線（，）有相同的焦點(diǎn)和，若是、的等比中項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是_______________. 【答案】 【解析】根據(jù)題意，橢圓（）與雙曲線（，）有相同的焦點(diǎn)和，所以有又是、的等比中項(xiàng)，所以 是與的等差中項(xiàng)，所以由（1），（3）得代入（1）得代入（2）得：則橢圓的離心率是 2.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則 ． 【答案】4 【解析】設(shè)，，則，又，所以，，即，，因此 【考點(diǎn)3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問(wèn)題 【備考知識(shí)梳理】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程. (1) 若≠0，當(dāng)△＞0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)△=0時(shí)，直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線相切. 當(dāng)△＜0時(shí)，直線與圓錐曲線無(wú)公共點(diǎn). （2）當(dāng)=0時(shí)，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行；若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行. （3）設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)A（，），B（，），則，. 2. 直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 【規(guī)律方法技巧】 1.在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，常用設(shè)而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立，消去（或）化為關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，則交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)即為上述一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關(guān)系，將，表示出來(lái)，注意判別式大于零不能丟，然后根據(jù)問(wèn)題，再通過(guò)配湊將其化為關(guān)于與的式子，將，代入再用有關(guān)方法取處理，注意用向量法處理共線問(wèn)題、垂直問(wèn)題及平行問(wèn)題. 2.再處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設(shè)為，避免分類(lèi)討論. 3.定點(diǎn)與定值問(wèn)題處理方法有兩種： （1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（定值），再證明這個(gè)定點(diǎn)（定值）與變量無(wú)關(guān). (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）. 4.最值問(wèn)題常見(jiàn)解法有兩種： （1）幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來(lái)解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等. (2)代數(shù)法：利用相關(guān)知識(shí)和方法結(jié)合題中的條件，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式或?qū)?shù)知識(shí)求出這個(gè)函數(shù)的最值. 5.參數(shù)范圍問(wèn)題常見(jiàn)解法有兩種： （1）不等式法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)滿(mǎn)足的不等式（組），通過(guò)解不等式（組）解出參數(shù)的范圍，注意判別式大于0不能遺漏. (2)函數(shù)最值法：利用題中條件和相關(guān)知識(shí)，將所討論參數(shù)表示為某個(gè)變量的函數(shù)，通過(guò)討論這個(gè)函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍. 6.對(duì)探索性問(wèn)題，先假設(shè)存在，依此為基礎(chǔ)推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在. 7. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的中點(diǎn)弦問(wèn)題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.直線l：x－y＝0與橢圓＋y2＝1相交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為_(kāi)____． 【答案】 2.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）點(diǎn)在拋物線C上，是否存在直線與C交于點(diǎn)，使得△ 是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在說(shuō)明理由． 【解析】（Ⅰ）設(shè)，代入，得．由題設(shè)得，解得（舍去）或，∴C的方程為． （Ⅱ）由知，點(diǎn)，假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線，設(shè)，聯(lián)立方程組得， 由題意得，，代入得，解得（舍）或，． 【兩年模擬詳解析】 1.【xx學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦距為，離心率為 ，橢圓的右頂點(diǎn)為. （1）求該橢圓的方程； （2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)，求證：直線的斜 率之積為定值. 解：（1）由題所以，. ……2分 所以橢圓C的方程為 ……4分 （2）當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，不合題意； ……5分 當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為，……6分 代入 得， ……8分 設(shè)，，則： ，，， ……9分 所以，， ……11分 又 =1. 所以直線AP，AQ的斜率之和為定值1. ……16分 2.【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷01（江蘇卷）】（本小題滿(mǎn)分16分）已知過(guò)點(diǎn)且離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)點(diǎn)是橢圓的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，記橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為.當(dāng)線段的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線斜率的取值范圍． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）依題意，設(shè)橢圓的方程為（）,焦距為， 由題設(shè)條件知，，即，所以，由橢圓過(guò)點(diǎn)，則有，解得，，故橢圓的方程為．7分 （2）橢圓的左準(zhǔn)線方程為,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,0）， 顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為． 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的 中點(diǎn)為， 由 得 ， ① 9分 由， 解得 ， ② 11分 因?yàn)槭欠匠挞俚膬筛?，所以? 于是， 12分 ∵，所以點(diǎn)不可能在軸的右邊． 又直線方程分別為， 所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 ，即 14分 解得，此時(shí)②也成立．故直線斜率的取值范圍是． 16分 3.【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷02（江蘇卷）】（本小題滿(mǎn)分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為. （Ⅰ）求圓的方程； （Ⅱ）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，當(dāng)長(zhǎng)最小時(shí)，求直線的方程； （Ⅲ）設(shè)是圓上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若直線分別交軸于點(diǎn)和，問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】（Ⅰ）圓心到直線的距離，----------（2分） 又半弦長(zhǎng)為，則該圓的半徑，所以圓的方程為；------（4分） （Ⅱ）設(shè)直線，即，--------------（5分） 則，由題設(shè)可得，即，---------（6分） 又因，故，即，------------（7分） 故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），此時(shí)所求直線的方程為.------（8分） （Ⅱ）設(shè)，由題意，則，直線，----------------（10分） 令，解之得，∴；------（12分） 又因?yàn)閯t，直線，--------------（13分） 令可得，∴------（14分） ，--------------（15分） 由于，故，∴為定值2.-----（16分） 4.【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷03（江蘇卷）】（本小題滿(mǎn)分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若橢圓的離心率． （Ⅰ）設(shè)，直線的斜率為，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)（用表示）； （Ⅱ）設(shè)，記的面積，求的解析表達(dá)式及其最大值，并求取得最大值時(shí)橢圓的方程． 【解析】（Ⅰ）設(shè)（），則，故橢圓方程，將直線代入并整理可得，------------（2分） 則由根與系數(shù)的關(guān)系可得；-------------------（3分） 設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，則，故由題設(shè)可得，即，代入可得，代入可得，-----------（6分）則，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)；---------（8分） (Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，由(Ⅰ)知，則弦，---（11分） 將代入可得，又坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，-------------------（13分） 則． 因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，-------（15分） 將代入可得，即，此時(shí)橢圓方程為．------------------------------（16分） 5.【南京市、鹽城市xx屆高三年級(jí)第二次模擬】（本小題滿(mǎn)分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：＋＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(b，2e)，其中e為橢圓C的離心率．過(guò)點(diǎn)T(1，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)(A在x軸下方)． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過(guò)點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓C于點(diǎn)M，N，求 的值； （3）記直線l與y軸的交點(diǎn)為P．若＝，求直線l的斜率k． 解：（1）因?yàn)闄E圓 ＋＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(b，2e)，所以＋＝1． 因?yàn)閑2＝＝，所以＋＝1． 因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以 ＋＝1． …………………… 2分 整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ． 所以橢圓C的方程為＋＝1． …………………… 4分 （2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)門(mén)(1，0)，則直線l的方程為y＝k(x－1)． 聯(lián)立直線l與橢圓方程 消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0， 所以 ……………… 6分 因?yàn)镸N∥l，所以直線MN方程為y＝kx， 聯(lián)立直線MN與橢圓方程 消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝． 因?yàn)镸N∥l，所以 ＝． …………………… 8分 因?yàn)?(1－x1)(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝ ， (xM－xN)2＝4x2＝， 所以 ＝＝＝． ………………… 10分 （3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，則y＝－k，所以P(0，－k)， 從而 ＝(－x1,－k－y1)， ＝(x2－1，y2)． 因?yàn)?＝，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝．…………………… 12分 由(2)知， 由解得 x1＝，x2＝． ……………… 14分 因?yàn)閤1x2＝， 所以 ＝， 整理得 50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－ (舍) ． 又因?yàn)閗＞0，所以k＝． …………………… 16分 6.【xx南通揚(yáng)州泰州蘇北四市高三二模】（本小題滿(mǎn)分14分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)． （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求a，b的值； （2）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，B為橢圓上一點(diǎn)，且，求直線AB的斜率． 解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為， 所以，即．① 又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上， 所以． ② …… 3分 由①②解得． 因?yàn)椋裕? …… 5分 （2）法一：由①知，，所以橢圓方程為，即． 設(shè)直線OC的方程為，，． 由得， 所以．因?yàn)?，所以? …… 8分 因?yàn)?，所以．可設(shè)直線的方程為． 由得， 所以或，得． …… 11分 因?yàn)?，所以，于是? 即，所以． 所以直線AB的斜率為． …… 14分 7.【xx南通揚(yáng)州泰州蘇北四市高三二模】（本小題滿(mǎn)分16分） 一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊．已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔截 成功；（參考數(shù)據(jù)：，） （2）問(wèn)：無(wú)論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說(shuō)明理由． 解：（1）設(shè)緝私艇在處與走私船相遇（如圖甲）， 依題意，． …… 2分 在△中，由正弦定理得， ． 因?yàn)椋裕? 從而緝私艇應(yīng)向北偏東方向追擊． …… 5分 A B C 圖甲 在△中，由余弦定理得， ， 解得． 又B到邊界線l的距離為． 因?yàn)?，所以能在領(lǐng)海上成功攔截走私船． …… 8分 （2）如圖乙，以為原點(diǎn)，正北方向所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系． y 公海 領(lǐng)海 A B 圖乙 60 l x 則，設(shè)緝私艇在處（緝私艇恰好截住走私船的位置）與走私 船相遇，則，即． 整理得，， …… 12分 所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓． 因?yàn)閳A心到領(lǐng)海邊界線：的距離為1.55，大于圓半徑， 所以緝私艇能在領(lǐng)海內(nèi)截住走私船． …… 14分 答：（1）緝私艇應(yīng)向北偏東方向追擊； （2）緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截走私船． …… 16分 8.【蘇北四市xx學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末調(diào)研】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交軸于點(diǎn)． （ⅰ）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求的外接圓的方程； （ⅱ）設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積的最大值． 【解析】（1）由題意，得 解得 則， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ………………………………………4分 （2）由題可設(shè)直線的方程為，，則， 所以直線的方程為，則． (i)當(dāng)直線的斜率為，即時(shí)，，，， 因?yàn)椋詧A心為，半徑為， 所以的外接圓的方程為．……………………………8分 (ii)聯(lián)立 消去并整理得，， 解得或，所以，……………………10分 直線的方程為，同理可得，， 所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即過(guò)原點(diǎn)． 所以的面積，……14分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”． 所以的面積的最大值為．…………………………………………16分 9.【揚(yáng)州市xx學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)】（本小題滿(mǎn)分16分） 如圖，橢圓，圓，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)的直線:分別交圓、橢圓于不同的兩點(diǎn)、，設(shè)． （1）若點(diǎn)點(diǎn)求橢圓的方程； （2）若，求橢圓的離心率的取值范圍． 【解析】（1）由在圓上得 又點(diǎn)在橢圓上得 解得 橢圓的方程是 --------------------------------------5分 （2）由得或 --------------------------------------7分 由得或 --------------------------------------9分 ，，， 即 ，即，又 --------------------------------------16分 10.【南通市、泰州市xx屆高三第一次調(diào)研測(cè)試】（本題滿(mǎn)分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若P為橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OP的垂線交直線 于點(diǎn)Q，求的值； 【解析】解：（1）由題意得：，………………2分 解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；……4分 （2）由題意知OP的斜率存在， 當(dāng)OP的斜率為0時(shí)，，所以=1，……6分 當(dāng)OP的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線OP的方程為， 由得：，解得：，所以， 所以，…………………………………………………………9分 因?yàn)?，所以直線OQ的方程為， 由得：，所以，……………………12分 所以=， 綜上，可知=1.………………………………………………14分 11. 【淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市xx屆高三第二次調(diào)研】拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為 ． 【答案】 【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線漸近線為，所求距離為． 12. 【江蘇省清江中學(xué)xx屆數(shù)學(xué)模擬試卷】已知雙曲線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則 . 【答案】 【解析】雙曲線中，，其準(zhǔn)線為，所以，． 13.【江蘇省如東高級(jí)中學(xué)xx屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】若直線與橢圓交于點(diǎn)C,D,點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為，且，則________ 【答案】 14．【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)xx屆高三4月質(zhì)量監(jiān)測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上，則的值是