2019-2020年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 單調(diào)性與最大(?。┲担?)教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 單調(diào)性與最大(小)值(1)教案 新人教A版教學(xué)分析在研究函數(shù)的性質(zhì)時,單調(diào)性和最值是一個重要內(nèi)容.實際上,在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時,已經(jīng)重點研究了一些函數(shù)的增減性,只是當(dāng)時的研究較為粗略,未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義,對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出,而本小節(jié)內(nèi)容,正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高:給出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義,明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的,還說明判斷函數(shù)的增減性既有從圖象上進(jìn)行觀察的較為粗略的方法,又有根據(jù)定義進(jìn)行證明的較為嚴(yán)格的方法、最好根據(jù)圖象觀察得出猜想,用推理證明猜想的正確性,這樣就將以上兩種方法統(tǒng)一起來了.由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體,因此,在本節(jié)教學(xué)時可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,以利于學(xué)生作函數(shù)圖象,有更多的時間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì).還要特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷這些概念的形成過程,以便加深對單調(diào)性和最值的理解.三維目標(biāo)1.函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象,以圖識數(shù)的過程,在這個過程中,讓學(xué)生通過自主探究活動,體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程的真諦,學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).2.理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義,掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,提高應(yīng)用知識解決問題的能力.3.通過實例,使學(xué)生體會、理解到函數(shù)的最大(?。┲导捌鋷缀我饬x,能夠借助函數(shù)圖象的直觀性得出函數(shù)的最值,培養(yǎng)以形識數(shù)的解題意識.4.能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中的簡單的實際問題,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性,增強學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.重點難點教學(xué)重點:函數(shù)的單調(diào)性和最值.教學(xué)難點:增函數(shù)、減函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)形式化定義的形成.課時安排2課時設(shè)計方案(一)教學(xué)過程第1課時 函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)入新課思路1.德國有一位著名的心理學(xué)家名叫艾賓浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909),他以自己為實驗對象,共做了163次實驗,每次實驗連續(xù)要做兩次無誤的背誦.經(jīng)過一定時間后再重學(xué)一次,達(dá)到與第一次學(xué)會的同樣的標(biāo)準(zhǔn).他經(jīng)過對自己的測試,得到了一些數(shù)據(jù).時間間隔t0分鐘20分鐘60分鐘89小時1天2天6天一個月記憶量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%觀察這些數(shù)據(jù),可以看出:記憶量y是時間間隔t的函數(shù).當(dāng)自變量(時間間隔t)逐漸增大時,你能看出對應(yīng)的函數(shù)值(記憶量y)有什么變化趨勢嗎?描出這個函數(shù)圖象的草圖(這就是著名的艾賓浩斯曲線).從左向右看,圖象是上升的還是下降的?你能用數(shù)學(xué)符號來刻畫嗎?通過這個實驗,你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?(可以借助信息技術(shù)畫圖象)圖1-3-1-1學(xué)生:先思考或討論,回答:記憶量y隨時間間隔t的增大而增大;以時間間隔t為x軸,以記憶量y為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,描點連線得函數(shù)的草圖艾賓浩斯遺忘曲線如圖1-3-1-1所示.遺忘曲線是一條衰減曲線,它表明了遺忘的規(guī)律.隨著時間的推移,記憶保持量在遞減,剛開始遺忘速度最快,我們應(yīng)利用這一規(guī)律,在學(xué)習(xí)新知識時一定要及時復(fù)習(xí)鞏固,加深理解和記憶.教師提示、點撥,并引出本節(jié)課題.思路2.在第23屆奧運會上,中國首次參加就獲15枚金牌;在第24屆奧運會上,中國獲5枚金牌;在第25屆奧運會上,中國獲16枚金牌;在第26屆奧運會上,中國獲16枚金牌;在第27屆奧運會上,中國獲28枚金牌;在第28屆奧運會上,中國獲32枚金牌.按這個變化趨勢,xx年,在北京舉行的第29屆奧運會上,請你預(yù)測一下中國能獲得多少枚金牌?學(xué)生回答(只要大于32就可以算準(zhǔn)確),教師:提示、點撥,并引出本節(jié)課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題如圖1-3-1-2所示為一次函數(shù)y=x,二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規(guī)律?這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律?圖1-3-1-2函數(shù)圖象上任意點P(x,y)的坐標(biāo)有什么意義?如何理解圖象是上升的?對于二次函數(shù)y=x2,列出x,y的對應(yīng)值表(1).完成表(1)并體會圖象在y軸右側(cè)上升.x-4-3-2-101234f(x)=x2表(1)在數(shù)學(xué)上規(guī)定:函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù).誰能給出增函數(shù)的定義?增函數(shù)的定義中,把“當(dāng)x1x2時,都有f(x1)x2時,都有f(x1)f(x2)”,這樣行嗎?增函數(shù)的定義中,“當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2)”反映了函數(shù)值有什么變化趨勢?函數(shù)的圖象有什么特點?增函數(shù)的幾何意義是什么?類比增函數(shù)的定義,請給出減函數(shù)的定義及其幾何意義?函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性,說明了函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的圖象有什么變化趨勢?討論結(jié)果:函數(shù)y=x的圖象,從左向右看是上升的;函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的,在y軸右側(cè)是上升的;函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的,在y軸右側(cè)是下降的.函數(shù)圖象上任意點P的坐標(biāo)(x,y)的意義:橫坐標(biāo)x是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為x時對應(yīng)的函數(shù)值的大小.按從左向右的方向看函數(shù)的圖象,意味著圖象上點的橫坐標(biāo)逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大.圖象是上升的意味著圖象上點的縱坐標(biāo)逐漸變大,也就是對應(yīng)的函數(shù)值隨著逐漸增大.也就是說從左向右看圖象上升,反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大.在區(qū)間(0,+)上,任取x1、x2,且x1x2,那么就有y1y2,也就是有f(x1)f(x2).這樣可以體會用數(shù)學(xué)符號來刻畫圖象上升.一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).可以.增函數(shù)的定義:由于當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2),即都是相同的不等號“”,也就是說前面是“”,后面也是“x2時,都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等號“”,也就是說前面是“”,后面也是“”,步調(diào)一致.因此我們可以簡稱為:步調(diào)一致增函數(shù).函數(shù)值隨著自變量的增大而增大;從左向右看,圖象是上升的.從左向右看,圖象是上升的.一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡稱為:步調(diào)不一致減函數(shù).減函數(shù)的幾何意義:從左向右看,圖象是下降的.函數(shù)值變化趨勢:函數(shù)值隨著自變量的增大而減小.總結(jié):如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(或減函數(shù)),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)遞增(或減)區(qū)間.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上,函數(shù)值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大(減小),幾何意義:從左向右看,圖象是上升(下降)的.應(yīng)用示例思路1例1如圖1-3-1-3是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)?圖1-3-1-3活動:教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論后再回答,教師點撥、提示并及時評價學(xué)生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù),圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù).解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是-5,2),-2,1),1,3),3,5.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-5,2),1,3)上是減函數(shù),在區(qū)間-2,1),3,5上是增函數(shù).點評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義,以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象,通常用圖象法判斷單調(diào)性.函數(shù)的圖象類似于人的照片,我們能根據(jù)人的照片來估計其身高,同樣我們根據(jù)函數(shù)的圖象可以分析出函數(shù)值的變化趨勢即單調(diào)性.圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步:畫函數(shù)的圖象;第二步:觀察圖象,利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.變式訓(xùn)練課本P32練習(xí)1、3.例2物理學(xué)中的玻意耳定律p=(k為正常數(shù))告訴我們,對于一定量的氣體,當(dāng)其體積V減少時,壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.活動:學(xué)生先思考或討論,再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時,教師再提示,及時糾正學(xué)生解答過程出現(xiàn)的問題,并標(biāo)出關(guān)鍵的地方,以便學(xué)生總結(jié)定義法的步驟.體積V減少時,壓強p將增大是指函數(shù)p=是減函數(shù);刻畫體積V減少時,壓強p將增大的方法是用不等式表達(dá).已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時,常用單調(diào)性的定義來解決.解:利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p=在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù)即可.點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步:在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2,通常令x1x2;第二步:比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號;第三步:再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為:一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”,因此簡稱為:“去比賽”.變式訓(xùn)練課本P32練習(xí)4.思路2例1(1)畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象;(2)證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù);(3)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,m上是增函數(shù)時,求實數(shù)m的取值范圍.圖1-3-1-4解:(1)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如圖1-3-1-4所示.(2)設(shè)x1、x2(-,1,且x1x2,則有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).x1、x2(-,1,且x1x2,x1-x20,x1+x20.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù).(3)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1,在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù),那么當(dāng)區(qū)間(-,m位于對稱軸的左側(cè)時滿足題意,則有m1,即實數(shù)m的取值范圍是(-,1.點評:本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時,常用數(shù)形結(jié)合的方法,結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點來分析;二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反;二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù),那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi).判斷函數(shù)單調(diào)性時,通常先畫出其圖象,由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間,最后用單調(diào)性的定義證明.判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲:第一步,畫出函數(shù)的圖象,觀察圖象,描述函數(shù)值的變化趨勢;第二步,結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第三步,用數(shù)學(xué)符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能綜合運用單調(diào)性解決一些問題,會判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為密切,是高考命題的熱點題型.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù);(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形.活動:(1)本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù),用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格式書寫;(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象上的任意點關(guān)于點(,0)的對稱點還是在函數(shù)y=F(x)的圖象上即可.解:(1)設(shè)x1、x2R,且x1x2.則F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)-f(a-x2)=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1).又函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),x1x2,a-x2a-x2.f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)0.F(x1)F(x2).F(x)是R上的增函數(shù).(2)設(shè)點M(x0,F(x0)是函數(shù)F(x)圖象上任意一點,則點M(x0,F(x0)關(guān)于點(,0)的對稱點M(a-x0,-F(x0).又F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)f(a-x0)-f(x0)-f(x0)-f(a-x0)=-F(x0),點M(a-x0,-F(x0)也在函數(shù)F(x)圖象上,又點M(x0,F(x0)是函數(shù)F(x)圖象上任意一點,函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形.例2(1)寫出函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?(2)寫出函數(shù)y=|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?圖1-3-1-5(3)定義在-4,8上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖象如圖1-3-1-5所示,請補全函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫出其單調(diào)區(qū)間,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?(4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?試加以證明.活動:學(xué)生先思考,再回答,教師適時點撥和提示:(1)畫出二次函數(shù)y=x2-2x的圖象,借助于圖象解決;(2)類似于(1);(3)根據(jù)軸對稱的含義補全函數(shù)的圖象,也是借助于圖象寫出單調(diào)區(qū)間;(4)歸納函數(shù)對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上的單調(diào)性的異同來發(fā)現(xiàn)結(jié)論,利用軸對稱的定義證明.解:(1)函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+);對稱軸是直線x=1;區(qū)間(-,1)和區(qū)間(1,+)關(guān)于直線x=1對稱,而單調(diào)性相反.(2)函數(shù)y=|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+);對稱軸是y軸即直線x=0;區(qū)間(-,0)和區(qū)間(0,+)關(guān)于直線x=0對稱,而單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x),x-4,8的圖象如圖1-3-1-6.圖1-3-1-6函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4,-1,2,5;單調(diào)遞減區(qū)間是5,8,-1,2;區(qū)間-4,-1和區(qū)間5,8關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反,區(qū)間-1,2和區(qū)間2,5關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反.(4)可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在直線x=m兩側(cè)對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.證明如下:不妨設(shè)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間a,b上是增函數(shù),區(qū)間a,b關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間是2m-b,2m-a.由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,則f(x)=f(2m-x).設(shè)2m-bx12m-x2a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又函數(shù)y=f(x)在a,b上是增函數(shù),f(2m-x1)-f(2m-x2)0.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2m-b,2m-a上是減函數(shù).當(dāng)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間a,b上是增函數(shù)時,其在a,b關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間2m-b,2m-a上是減函數(shù),即單調(diào)性相反.因此有結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在對稱軸兩側(cè)的對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.點評:本題通過歸納猜想證明得到了正確的結(jié)論,這是我們認(rèn)識世界發(fā)現(xiàn)問題的主要方法,這種方法的難點是猜想,突破路徑是尋找共同的特征.本題作為結(jié)論記住,可以提高解題速度.圖象類似于人的照片,看見人的照片就能估計這個人的身高、五官等特點,同樣根據(jù)函數(shù)的圖象也能觀察出函數(shù)的性質(zhì)特征.這需要有細(xì)致的觀察能力.變式訓(xùn)練函數(shù)y=f(x)滿足以下條件:定義域是R;圖象關(guān)于直線x=1對稱;在區(qū)間2,+)上是增函數(shù).試寫出函數(shù)y=f(x)的一個解析式f(x)=(只需寫出一個即可,不必考慮所有情況).活動:根據(jù)這三個條件,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象簡圖(只要能體現(xiàn)這三個條件即可),再根據(jù)圖象簡圖,聯(lián)系猜想基本初等函數(shù)及其圖象和已有的解題經(jīng)驗寫出.解:定義域是R的函數(shù)解析式通常不含分式或根式,常是整式;圖象關(guān)于直線x=1對稱的函數(shù)解析式滿足:f(x)=f(2-x),基本初等函數(shù)中有對稱軸的僅有二次函數(shù),則由想到了二次函數(shù);結(jié)合二次函數(shù)的圖象,在區(qū)間2,+)上是增函數(shù)說明開口必定向上,且正好滿足二次函數(shù)的對稱軸直線x=1不在區(qū)間2,+)內(nèi),故函數(shù)的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a0).結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可知這三條都可滿足開口向上的拋物線,故有:形如y=a(x-1)2+b(a0),或為y=a|x-1|+b(a0)等都可以,答案不唯一.知能訓(xùn)練課本P32練習(xí)2.【補充練習(xí)】1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性.解:正比例函數(shù):y=kx(k0)當(dāng)k0時,函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù);當(dāng)k0時,函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),(0,+),不存在單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)k0時,函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù);當(dāng)k0時,函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,,單調(diào)遞增區(qū)間是,+);當(dāng)a0時,函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是,+),單調(diào)遞增區(qū)間是(-,.點評:以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住,可以提高解題速度.2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.答案:k(0,+).3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-,2)上是減函數(shù),在(2,+)上是增函數(shù),求實數(shù)a的值.答案:a=2.4.xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷,8已知f(x)是定義在(0,+)上的減函數(shù),若f(2a2+a+1)f(3a2-4a+1)成立,則a的取值范圍是_.分析:f(x)的定義域是(0,+),解得a1.f(x)在(0,+)上是減函數(shù),2a2+a+13a2-4a+1.a2-5a0.0a5.0a或1a5,即a的取值范圍是(0,)(1,5).答案:(0,)(1,5)點評:本題實質(zhì)是解不等式,但是這是一個不具體的不等式,是抽象不等式.解與函數(shù)有關(guān)的抽象不等式時,常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”,轉(zhuǎn)化為整式不等式.拓展提升問題:1.畫出函數(shù)y=的圖象,結(jié)合圖象探討下列說法是否正確?(1)函數(shù)y=是減函數(shù);(2)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)(0,+).2.對函數(shù)y=,取x1=-1x2=2,則f(x1)=-1f(x2)=,滿足當(dāng)x1x2時f(x1)0)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?圖1-3-1-10設(shè)計意圖:使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.問題:如何從解析式的角度說明f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù)?設(shè)計意圖:把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識.事實上也給出了證明單調(diào)性的方法,為第三階段的學(xué)習(xí)作好鋪墊.問題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?設(shè)計意圖:讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學(xué)生對定義的理解,完成對概念的第三次認(rèn)識.活動:先讓學(xué)生思考或討論后再回答,經(jīng)教師提示、點撥,對回答正確的學(xué)生及時表揚,對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.引導(dǎo)方法與過程:問題:引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述圖象是上升的、下降的(增函數(shù)、減函數(shù)),同時明確函數(shù)的圖象變化(單調(diào)性)是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì).問題:這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的,是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認(rèn)識.學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置.問題:通過討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究.問題:對于學(xué)生錯誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量x1、x2.問題:師生共同探究:利用不等式表示變大或變小,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.歸納總結(jié):1.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù),那么在區(qū)間D上的圖象是上升的(下降的).2.函數(shù)單調(diào)性的定義:略.可以簡稱為步調(diào)一致增函數(shù),步調(diào)相反減函數(shù).討論結(jié)果:(1)函數(shù)y=x+2,在整個定義域內(nèi)y隨x的增大而增大;函數(shù)y=-x+2,在整個定義域內(nèi)y隨x的增大而減小.(2)函數(shù)y=x2,在0,+)上y隨x的增大而增大,在(-,0)上y隨x的增大而減小.(3)函數(shù)y=,在(0,+)上y隨x的增大而減小,在(-,0)上y隨x的增大而減小.如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù).不能.(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如2和3,因為2232,所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).(2)仿(1),取多組數(shù)值驗證均滿足,所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).(3)任取x1、x20,+),且x1x2,因為x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)0,即x12x22.所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).略應(yīng)用示例思路1例1課本P29頁例1.思路分析:利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論,再回答.點評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:畫函數(shù)的圖象;觀察圖象,利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.圖象法的難點是畫函數(shù)的圖象,常見畫法有描點法和變換法.答案:略.變式訓(xùn)練課本P32練習(xí)4.例2課本P32頁例2.思路分析:按題意,只要證明函數(shù)p=在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù)即可,用定義證明.點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性.利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟:(定義法)任取x1、x2D,且x1x2;作差f(x1)f(x2);變形(通常是因式分解和配方);定號(即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù));下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).易錯分析:錯取兩個特殊值x1、x2來證明.答案:略.變式訓(xùn)練判斷下列說法是否正確:已知f(x)=,因為f(-1)f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).若函數(shù)f(x)滿足f(2)0,能斷定函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)嗎?活動:引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性.讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)f(x)=x在0,+)上是增函數(shù).討論結(jié)果:能.例2用計算機畫出函數(shù)y=的圖象,根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間,并用定義法證明.思路分析:在圖象上觀察在哪個區(qū)間函數(shù)圖象是上升的,在哪個區(qū)間函數(shù)圖象是下降的,借助于單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間,再用定義證明.教師畫出圖象,學(xué)生回答,如果遇到障礙,就提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.點評:討論函數(shù)單調(diào)性的三部曲:第一步,畫函數(shù)的圖象;第二步,借助單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間;第三步,利用定義加以證明.答案:略.變式訓(xùn)練畫出函數(shù)y=的圖象,根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用變換法(也可以用計算機)畫出圖象,根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間,再利用定義法證明.答案:略.知能訓(xùn)練課本P32練習(xí)2.拓展提升試分析函數(shù)y=x+的單調(diào)性.活動:先用計算機畫出圖象,找出單調(diào)區(qū)間,再用定義法證明.答案:略.課堂小結(jié)學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲,交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受,師生合作共同完成小結(jié).(1)概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)證明方法和步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.(3)數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)形結(jié)合.(4)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義是:函數(shù)值的變化趨勢,即圖象是上升的或下降的.設(shè)計感想本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,采用教師啟發(fā)引導(dǎo),學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法,通過創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學(xué),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識.考慮到部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點,對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?,加深對定義的理解,同時也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.作業(yè):課本P39習(xí)題1.3A組2、3、4.- 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