2019-2020年高一數(shù)學 2.4反函數(shù)(備課資料) 大綱人教版必修.doc
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2019-2020年高一數(shù)學 2.4反函數(shù)(備課資料) 大綱人教版必修 一、反函數(shù)的學習 因反函數(shù)是函數(shù)知識中重要的一部分內(nèi)容,我們?nèi)裟軓暮瘮?shù)的角度去理解反函數(shù)的概念,則一定能從中發(fā)現(xiàn)反函數(shù)的本質(zhì),并能順利地應(yīng)用函數(shù)與其反函數(shù)間的關(guān)系去解決相關(guān)問題. 1.明確“函數(shù)與反函數(shù)”的關(guān)系 (1)一個函數(shù)具有反函數(shù)的充要條件是確定這個函數(shù)的映射是從定義域到值域上的一一映射. (2)對于任一函數(shù)f(x)不一定有反函數(shù),如果有反函數(shù),那么原函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)是互為反函數(shù). (3)原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域,原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域. (4)一般的偶函數(shù)不存在反函數(shù),奇函數(shù)不一定存在反函數(shù). (5)原函數(shù)與其反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是一致的. 2.深入學習對“反函數(shù)”的求法 [例]求下列函數(shù)的反函數(shù) (1)y= (2)y= (1)分析:由于a、B不定,故須分類討論: 當a=0,b≠0時,y=-1,此時不存在反函數(shù) 當a≠0,b=0時,y=1(x≠0),此時不存在反函數(shù). 當a≠0,b≠0時,函數(shù)y=的值域是y∈{y∈R|y≠1} 由y=解得:x= (a≠0,y≠1) ∴當a≠0,b≠0時,函數(shù)y=的反函數(shù)是: y=(x≠1) 評述:熟練掌握求反函數(shù)的基本步驟是準確求出函數(shù)的反函數(shù)的必要條件. (2)分析:求分段函數(shù)的反函數(shù)時,先在各段求出相應(yīng)的反函數(shù),再將其合并. 解:當x≥0時,y=x2+2x=(x+1)2-1 ∴x=-1+ ∵x≥0 ∴y=x2+2x≥0 ∴當x≥0時,此段函數(shù)的反函數(shù)是 y=-1+(x≥0) 當x<0時,y=-x2+2x=-(x-1)2+1 ∴x=1- ∵x<0,∴y=-x2+2x<0 ∴當x<0時,此段函數(shù)的反函數(shù)是 y=1-(x<0) 綜上所述:所給函數(shù)的反函數(shù)為 y= 評述:(1)在求分段函數(shù)的每一段相應(yīng)的反函數(shù)時,仍嚴格按照求反函數(shù)的基本步驟進行. (2)分段函數(shù)的反函數(shù)被求的過程,能讓我們體會到“先分后合”的思想在數(shù)學中的滲透作用. 3.靈活應(yīng)用“反函數(shù)”于解題中 [例1]求函數(shù)y=的值域 分析:此題除用前面介紹的“分離系數(shù)”法求得其值域外,也可通過求其反函數(shù)的定義域得到原函數(shù)的值域這一途徑. 解:由y= 得x≠- ∴有:y(2x+5)=1-x ∴x= ∴反函數(shù)為y=(x∈R且x≠-); 因而此函數(shù)y=的值域為y∈{y∈R|y≠-} 評述:求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求其反函數(shù)的定義域,這種方法往往可以使問題有“出奇制勝”的效果,它的優(yōu)越性將隨著我們對知識的繼續(xù)深入學習體現(xiàn)得越發(fā)明顯. [例2]已知函數(shù)f(x)=求f-1[[f(x)],f[f-1(x)]. 解:由y=(x≠1)可得 y(x-1)=2x+1,∴x= ∴反函數(shù)f-1(x)=(x≠2) ∴f-1[f(x)]=f-1()==x f [f-1(x)]=f()==x 評述:由上題我們發(fā)現(xiàn),互為反函數(shù)的兩個函數(shù)f(x)與f-1(x)之間符號互逆性,即f-1[f(x)]=x,f [f-1(x)]=x 請讀者利用以上結(jié)論試探索:若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=g(x),且f(m)=n(mn≠0)則g(n)等于多少? [例3]已知函數(shù)y=f(x)在定義域(-∞,0]內(nèi)存在反函數(shù),且f(x-1)=x2-2x,求f-1(-). 分析:此題一般思路是:先求出f(x),進而求出f-1(x),將-代入f-1(x)中求得f-1(-). 解:∵f(x-1)=x2-2x=(x-1)2-1 ∴f(x)=x2-1(x≤0) ∵當x≤0時,f(x)=x2-1≥-1 ∴函數(shù)f(x)的值域為[-1,+∞) ∵f(x)=x2-1(x≤0)得:x=-(y=f(x)) ∴得函數(shù)f(x)的反函數(shù)是:y=-(x≥-1) ∴f-1(-)=- 評述:以上解題思路簡單但運算麻煩,若不仔細認真,將會導致結(jié)果錯誤. 如下解法將會體現(xiàn)一種技能技巧,使解題過程大大簡化: 解:∵f(x-1)=x2-2x=(x-1)2-1 ∴f(x)=x2-1(x≤0) 當x2-1=-(x≤0)時 有:x=- ∴f-1(-)=- 評述:比較以上兩種解法,請讀者自行歸納總結(jié)它們解題過程繁簡差別的原因,并試用簡捷明快的思路解決以下問題: 問題:已知函數(shù)f(x)=的反函數(shù)是f-1(x)=,求常數(shù)a,b,c值是多少? 提示:選取由f-1(x)去求f(x)這一優(yōu)秀途徑解決此問題. 二、參考練習題 1.求下列函數(shù)的反函數(shù) (1)y=1- (x≥1) 答案:y=x2-2x+2(x∈(-∞,1]) (2)y=|x-1| (x≤1) 答案:y=1-x (x∈[0,+∞) (3)y=x2-2x+3 (x∈(1,+∞)) 答案:y=1-(x∈(2,+∞)) (4)y=x|x|+2x 答案:y= (5)f(x)= 答案:f-1(x)= 2.解答題 (1)已知f(x)=f-1(x)=(x≠-m),求實數(shù)m? 答案:m=-2 提示:利用相同函數(shù)的定義域、值域完全相同這一性質(zhì),巧妙地結(jié)合互為反函數(shù)的性質(zhì)去解. (2)已知f-1[f-1(x)]=25x+30,則一次函數(shù)的解析式是什么? 答案:f(x)=-1或f(x)=-x- (3)已知f(x)=10x-2-2,求f-1(8)的值 答案:f-1(8)=3 (4)已知函數(shù)f(x)的圖象過點(0,1),則f(4-x)的反函數(shù)的圖象一定過哪個點? 答案:(1,4) (5)已知函數(shù)f(x)=,它的反函數(shù)是f-1(x)=,求m的值? 答案:m=2 (6)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1(x≥-1)的圖象為C1,它的反函數(shù)圖象為C2,請畫出C1,C2并觀察它們之間的位置關(guān)系有何特點?若又有一個函數(shù)的圖象C3與C2關(guān)于y軸對稱,求這個函數(shù)的解析式? 參考答案:(圖略),C1,C2關(guān)于直線y=x對稱,所求函數(shù)的解析式為y=(x≤0) 說明:本題旨在讓學生提前思考練習,為下節(jié)課“互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”做準備. ●備課資料 “互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”的應(yīng)用 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象間的關(guān)系是在反函數(shù)定義上進行的,而“將圖象的對稱轉(zhuǎn)化為圖象上任意一點的對稱”的這種方法在我們解決有關(guān)函數(shù)的問題中大大顯示了它的簡捷性與技巧性. [例1]已知函數(shù)f(x)=(x≥-)的圖象過點(1,2),它的反函數(shù)圖象也過此點,求函數(shù)f(x)的解析式. 解法一:由y=得x= ∴當x≥-時,y≥0 ∴函數(shù)f(x)=(x≥-)的反函數(shù)是f-1(x)=(x≥0) 又∵點(1,2)既在函數(shù)f(x)上,也在函數(shù)f-1(x)上 ∴有 解得:a=-3,b=7 ∴函數(shù)f(x)=(x≥-) 解法二:由互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系以及點(1,2)關(guān)于直線y=x的對點為(2,1),可以得到函數(shù)f(x)的圖象還過點(2,1) ∴得到 解得:a=-3 b=7 ∴函數(shù)f(x)=(x≥-) 評述:比較上述兩種不同解法的區(qū)別:我們發(fā)現(xiàn)解法一思路自然,但過程較繁,解法二思路敏捷避免了求反函數(shù)這一步,從而減少了運算量,但它的掌握需要我們特別熟悉互為反函數(shù)的兩個函數(shù)間的關(guān)系. [例2]已知函數(shù)f(x)=,函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f-1(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,求g(5)的值. 分析:此題需要找到g(x)才能求出g(5)的值. 解:∵y=f(x)= ∴x=1+又∵y≠2 ∴f-1(x)=1+(x≠0) ∴f-1(x+1)=1+ 又∵y=f-1(x+1)=1+ ∴x=1+ ∴y≠1 ∴f-1(x+1)的反函數(shù)g(x)=1+(x≠1) ∴g(5)=1+= 評述:(1)以上解法是一種通用方法,思路簡單自然,不失為一種能體現(xiàn)我們扎實的基本功和腳踏實地的學習精神的好方法,故應(yīng)引起足夠重視. (2)對于以上例2,也可以有如下巧解: ∵g(x)是f-1(x+1)的反函數(shù) ∴g(5)其實等于f-1(x+1)=5時的x值, ∵f[f-1(x+1)]=f(5) ∴x=f(5)-1=-1= 顯然,這種解法給我們以一種恰到好處的感覺.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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