2019-2020年高中數學 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程教案 新人教B版必修2.doc
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2019-2020年高中數學 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程教案 新人教B版必修2 教學分析 教材利用圓的標準方程推導出了圓的一般方程，并討論了二元二次方程與圓的關系，值得注意的是在教學中引導學生分析圓的兩種方程形式的特點和各自適用的范圍． 三維目標 1．掌握圓的一般方程的特點，培養(yǎng)分類討論的數學思想． 2．會求圓的方程，提高分析問題、解決問題的能力． 重點難點 教學重點：圓的一般方程及其與標準方程的互化． 教學難點：對條件“D2＋E2－4F>0”的理解． 課時安排 1課時 導入新課 設計1.寫出圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 將圓的標準方程展開并整理，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. 如果設D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得到方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標準方程形式． 能不能說方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的曲線一定是圓呢？這就是我們本堂課學習的內容． 設計2.問題：求過三點A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程．利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其他解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式． 推進新課 (1)前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法？,(2)這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢？,(3)給出式子x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子.,(4)把式子(x－a)2＋(y－b)2＝r2與x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后的式子比較，得出x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件.,(5)對圓的標準方程與圓的一般方程作一比較，看各自有什么特點？ 討論結果： (1)以前學習過直線，我們首先學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式，最后學習一般式．大家知道，我們認識一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、……)展開整理而得到的． (2)我們想求圓的一般方程，可仿照直線方程試一試！我們已經學習了圓的標準方程，把標準形式展開，整理得到，也是從特殊到一般． (3)把式子x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得(x＋)2＋(y＋)2＝. (4)(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，r>0時表示圓，r＝0時表示點(a，b)，r<0時不表示任何圖形．因此式子(x＋)2＋(y＋)2＝. ①當D2＋E2－4F>0時，表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓； ②當D2＋E2－4F＝0時，方程僅有一組實數解x＝－，y＝－，即只表示一個點(－，－)； ③當D2＋E2－4F<0時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形． 綜上所述，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線不一定是圓，由此得到圓的方程都能寫成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線不一定是圓，只有當D2＋E2－4F>0時，它表示的曲線才是圓．因此x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是D2＋E2－4F>0. 我們把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的方程稱為圓的一般方程． (5)圓的一般方程形式上的特點 x2和y2的系數相同，不等于0.沒有xy這樣的二次項． 圓的一般方程中有三個待定的系數D、E、F，因此只要求出這三個系數，圓的方程就確定了． 與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯． 思路1 例1將下列圓的方程化為標準方程，并寫出圓的圓心坐標和半徑： (1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0； (2)4x2＋4y2－8y＋4y－15＝0. 解：(1)對方程左邊配方，方程化為 (x＋2)2＋(y－3)2＝25. 所以圓心的坐標為(－2,3)，半徑為5. (2)方程兩邊除以4，得 x2＋y2－2x＋y－＝0. 方程左邊配方，得 (x－1)2＋(y＋)2＝5. 所以圓心的坐標為(1，－)，半徑為. 變式訓練 1．圓x2＋y2－4x－8y＝0的圓心坐標是________，半徑r＝________. 答案：(2,4) 2 2．圓x2＋y2＋Dx＋4y＋1＝0的半徑r＝4，則D＝________. 答案：2 例2求過三點A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圓的方程． 解：設所求圓的方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 根據題設條件，用待定系數法確定D，E，F.因為點A，B，C的圓上，所以它們的坐標是方程的解，把它們的坐標依次代入上面的方程，整理得到關于D，E，F的三元一次方程組 解這個方程組，得 于是得到所求圓的方程 x2＋y2＋6x－2y－15＝0. 點評：我們也可以設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.同樣，根據已知條件可以列出三個未知數的方程組．通過解方程組，求出a，b，r.那樣做，會有較大的運算量． 變式訓練 求過三點O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求圓的半徑和圓心坐標． 解：設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由O，M1，M2在圓上，則有 解得D＝－8，E＝6，F＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，即(x－4)2＋(y＋3)2＝52. 所以圓心坐標為(4，－3)，半徑為5. 例3已知一曲線是與兩個定點O(0,0)，A(3,0)距離的比為的點的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線． 解：在給定的坐標系中，設M(x，y)是曲線上的任意一點，點M在曲線上的條件是 ＝. 由兩點之間的距離公式，上式用坐標表示為 ＝， 兩邊平方并化簡，得曲線方程 x2＋y2＋2x－3＝0， 將方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4. 所以所求曲線是圓心為C(－1,0)，半徑為2的圓(如下圖)． 點評：到兩定點A(a，b)，B(c，d)距離的比為λ(λ>0)的點的軌跡為C，當λ＝1時，C為直線即線段AB的垂直平分線；當λ>1或0<λ<1時，C為圓．本題中利用含有動點M的等式＝，求得軌跡方程的方法稱為定義法． 變式訓練 求與兩定點A(1,0)，B(5,0)距離的比為的點的軌跡方程，并說明軌跡形狀． 解：設M(x，y)是軌跡上任一點，則有 ＝， ∴有＝， 整理，得x2＋y2－x－2＝0， 即(x－)2＋y2＝， ∴軌跡方程是(x－)2＋y2＝，其形狀是以(，0)為圓心，半徑為的圓． 思路2 例4已知點P(10,0)，Q為圓x2＋y2＝16上一動點．當Q在圓上運動時，求PQ的中點M的軌跡方程． 解法一：如下圖，作MN∥OQ交x軸于N， 則N為OP的中點，即N(5,0)．因為|MN|＝|OQ|＝2(定長)． 所以所求點M的軌跡方程為(x－5)2＋y2＝4. 解法二：設M(x，y)為所求軌跡上任意一點Q(x0，y0)． 因為M是PQ的中點，所以即(*) 又因為Q(x0，y0)在圓x2＋y2＝16上，所以x＋y＝16. 將(*)代入得(2x－10)2＋(2y)2＝16.故所求的軌跡方程為(x－5)2＋y2＝4. 點評：解法一是根據已知條件判斷出軌跡形狀為圓，從而求得軌跡方程．解法二稱為相關點法，其步驟是：①設被動點M(x，y)，主動點Q(x0，y0)． ②求出點M與點Q坐標間的關系(Ⅰ) ③從(Ⅰ)中解出(Ⅱ) ④將(Ⅱ)代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程)，化簡得被動點的軌跡方程． 變式訓練 已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程． 解：設點M的坐標是(x，y)，點A的坐標是(x0，y0)． 由于點B的坐標是(4,3)且M是線段AB的中點，所以x＝，y＝.于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.① 因為點A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運動，所以點A的坐標滿足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y＝4.② 把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理，得(x－)2＋(y－)2＝1. 所以點M的軌跡是以(，)為圓心，半徑長為1的圓． 例5求圓心在直線l：x＋y＝0上，且過兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交點的圓的方程． 分析：由于兩圓的交點可求，圓心在一直線上，所以應先求交點再設圓的標準方程． 解：解方程組得兩圓交點為(0,2)，(－4,0)． 設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因為兩點在所求圓上，且圓心在直線l上，所以得方程組 解得a＝－3，b＝3，r＝.故所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝10. 點評：由已知條件容易求圓心坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設圓的標準方程． 變式訓練 已知圓在x軸上的截距分別為1和3，在y軸上的截距為－1，求該圓的方程． 解法一：利用圓的一般方程． 設所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知，該圓經過點(1,0)，(3,0)和(0，－1)，則有 解得D＝－4，E＝4，F＝3. 故所求圓的方程為x2＋y2－4x＋4y＋3＝0. 解法二：利用圓的標準方程．由題意該圓經過P(1,0)，Q(3,0)，R(0，－1)， 設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心C(a，b)在PQ的垂直平分線上，故a＝2. 因為|PC|＝|RC|，所以＝. 將a＝2代入，得b＝－2，所以C(2，－2)． 而r＝|PC|＝，故所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝5. 1．已知點P(2,1)在圓C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，點P關于直線x－y＝0的對稱點P′也在圓C上，則a＋b＝________. 解析：由題意得直線x－y＝0過圓心C(－，1)，則－－1＝0，所以a＝－2.又P′(1,2)，則12＋22－2－4＋b＝0，則b＝1，所以a＋b＝－1. 答案：－1 2．求下列各圓的半徑和圓的坐標： (1)x2＋y2－6y＝0； (2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)； (3)x2＋y2－2ax－2ay＋3a2＝0(a≠0)． 答案：(1)(x－3)2＋y2＝9，圓心為(3,0)，半徑為3. (2)x2＋(y＋b)2＝b2，圓心為(0，－b)，半徑為|b|. (3)(x－a)2＋(y－a)2＝a2，圓心為(a，a)，半徑為|a|. 3．下列方程各表示什么圖形？ (1)x2＋y2＝0； (2)x2＋y2－2x＋4y－6＝0； (3)x2＋y2＋2ax－b2＝0. 解：(1)此方程表示一個點O(0,0)． (2)可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝11， ∴此方程表示以點(1，－2)為圓心，為半徑的圓． (3)可化為(x＋a)2＋y2＝a2＋b2(a≠0)， ∴此方程表示以(－a,0)為圓心，為半徑的圓． 4．如下圖，等腰梯形ABCD的底邊長分別為6和4，高為3，求這個等腰梯形的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑長． 解：顯然，等腰梯形ABCD的外接圓的圓心在y軸上． 由題設，可得點B的坐標是(3,0)，點C的坐標是(2,3)． 線段BC的中點坐標是F(，)，直線BC的斜率是kBC＝－3. 線段BC的垂直平分線的方程是y－＝(x－)． 與y軸的方程x＝0聯立，解得y＝. 所以，梯形外接圓的圓心E的坐標是(0，)． 半徑長|EB|＝＝. 所以，梯形外接圓的方程是x2＋(y－)2＝ . 半徑長是，圓心坐標是(0，)． 問題：已知圓x2＋y2－x－8y＋m＝0與直線x＋2y－6＝0相交于P、Q兩點，定點R(1,1)，若PR⊥QR，求實數m的值． 解：設P(x1，y1)、Q(x2，y2)， 由消去y，得5x2＋4m－60＝0.① 由題意，方程①有兩個不等的實數根，所以60－4m>0，即m<15. 由韋達定理因為PR⊥QR，所以kPRkQR＝－1. 所以＝－1，即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，即x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0.② 因為y1＝3－，y2＝3－， 所以y1y2＝(3－)(3－)＝9－(x1＋x2)＋＝9＋，y1＋y2＝6. 代入②，得x1x2＋5＝0，即(m－12)＋5＝0. 所以m＝10，適合m<15.所以實數m的值為10. 本節(jié)課學習了：圓的一般方程，軌跡方程的求法． 本節(jié)練習B 1,2題． 這是一節(jié)介紹新知識的課，而且這節(jié)課還非常有利于展現知識的形成過程．因此，在設計這節(jié)課時，力求“過程、結論并重，知識、能力、思想方法并重”． 在展現知識的形成過程中，盡量避免學生被動接受，引導學生探索，重視探索過程．一方面，把直線一般方程探求過程進行回顧、類比，學生從中領會探求方法；另一方面，“把標準方程展開→認識一般方程”這一過程充分運用了“通過特殊認識一般”的科學思想方法．同時，通過類比進行條件的探求——“D2＋E2－4F”與“Δ”(判別式)類比．在整個探求過程中充分利用了“舊知識”及“舊知識的形成過程”，并用它探求新知識．這樣的過程，既是學生獲得新知識的過程，更是培養(yǎng)學生能力的過程． 備選習題 1．若方程x2＋y2＋x＋y＋a＝0表示圓，則a的取值范圍是( ) A．a<－2或a> B．a> C．R D．a< 分析：由二元二次方程表示圓的條件，有D2＋E2－4F＝a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0. 解之，可得－2
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