2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第五課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案(一) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第五課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案(一) 蘇教版必修5教學(xué)目標(biāo):掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路,會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題;提高學(xué)生的推理能力,增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)、理解及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程:.復(fù)習(xí)回顧經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們知道,在等差數(shù)列中:(1)anan1d(n1),d為常數(shù).(2)若a,A,b為等差數(shù)列,則A.(3)若mnpq,則amanapaq.(其中m,n,p,q均為正整數(shù)).講授新課隨著學(xué)習(xí)數(shù)列的深入,我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題.例:如圖,一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆?這是一堆放鉛筆的V形架,這形同前面所接觸過(guò)的堆放鋼管的示意圖,看到此圖,大家都會(huì)很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系,而且可以用一個(gè)式子來(lái)表示這種關(guān)系,利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么,這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆呢?這個(gè)問(wèn)題又該如何解決呢?經(jīng)過(guò)分析,我們不難看出,這是一個(gè)等差數(shù)求和問(wèn)題?首先,我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題:123100?對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果,你知道他是怎么算的嗎?高斯的算法是:首項(xiàng)與末項(xiàng)的和:1100101,第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和:299101,第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和:398101,第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和:5051101,于是所求的和是1015050.這個(gè)問(wèn)題,它也類(lèi)似于剛才我們所遇到的問(wèn)題,它可以看成是求等差數(shù)列1,2,3,n,的前100項(xiàng)的和.在上面的求解中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來(lái)表示,且任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和,這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項(xiàng)的和.如果我們可歸納出一計(jì)算式,那么上述問(wèn)題便可迎刃而解.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,即Sna1a2an把項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái),Sn又可寫(xiě)成Snanan1a1 2Sn(a1an)(a2an1)(ana1)又a2an1a3an2a4an3ana12Snn(a1an)即:Sn若根據(jù)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式,Sn可寫(xiě)為:Sn=a1+(a1+d)+a1+(n1)d,把項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái),Sn又可寫(xiě)為:Sn=an+(and)+an(n1)d ,把、兩邊分別相加,得2Snn(a1an)即:Sn.由此可得等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式Sn.也就是說(shuō),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半.用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算123100?我們有S1005050.又ana1+(n1)d,Snna1dSn或Snna1d有了此公式,我們就不難解決最開(kāi)始我們遇到的問(wèn)題,下面我們看具體該如何解決?分析題意可知,這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆,且自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列,可記為an,其中a11,a120120,n120.解:設(shè)自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列an,其中n120,a11,a120120.則:S1207260答案:這個(gè)V形架上共放著7260支鉛筆.下面我們?cè)賮?lái)看一例題:等差數(shù)列10,6,2,2,前多少項(xiàng)的和是54?分析:先根據(jù)等差數(shù)列所給出項(xiàng)求出此數(shù)列的首項(xiàng),公差,然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解.解:設(shè)題中的等差數(shù)列為an,前n項(xiàng)為的Sn,由題意可知:a110,d(6)(10)4,Sn54由等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式可得: 10n454解之得:n19,n23(舍去)答案:等差數(shù)列10,6,2,2,前9項(xiàng)的和是54.例1在等差數(shù)列an中,(1)已知a2a5a12a1536,求S16(2)已知a620,求S11.分析:(1)由于本題只給了一個(gè)等式,不能直接利用條件求出a1,a16,d,但由等差數(shù)列的性質(zhì),可以直接利用條件求出a1a16的和,于是問(wèn)題得以解決.(2)要求S11只需知道a1a11即可,而a1與a11的等差中項(xiàng)恰好是a6,從而問(wèn)題獲解.解:(1)a2a15a5a12a1a1618S16818144.(2)a1a112a6S1111a61120220.例2有一項(xiàng)數(shù)為2n1的等差數(shù)列,求它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比.分析一:利用Snna1d解題.解法一:設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,奇數(shù)項(xiàng)為a1,a12d,其和為S1,共n1項(xiàng);偶數(shù)項(xiàng)為a1d,a13d,a15d,其和為S2,共n項(xiàng).分析二:利用Sn解題. 解法二:由解法一知:S1,S2a1a2n+1a2a2n 例3若兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比是(7n1)(4n27),試求它們的第11項(xiàng)之比.分析一:利用性質(zhì)mnpqamanapaq解題.解法一:設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n.則:a11,b11,分析二:利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和SnAn2+Bn解題.解法二:由題設(shè),令Sn(7n1)nk,Tn(4n27)nk由anSnSn1k(14n6),得a11148k,n2bnTnTn1k(8n23),得b11111k,n2,.評(píng)述:對(duì)本例,一般性的結(jié)論有:已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,則:(1);(2) .例4等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為A.30 B.170 C.210 D.260 答案:C分析一:把問(wèn)題特殊化,即命m1來(lái)解. 解法一:取m1,則a1S130,a2S2S170da2a140,a3a2d7040110,S3a1a2a3210分析二:利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d進(jìn)行求解.解法二:由已知,得解得a1,dS2m3ma1d210. 分析三:借助等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn及性質(zhì)mnpqamanapaq求解.解法三:由已知得由及結(jié)合,得S3m210.分析四:根據(jù)性質(zhì):“已知an成等差數(shù)列,則Sn,S2nSn,S3nS2n,SknS(k1)n,(k2)成等差數(shù)列”解題.解法四:根據(jù)上述性質(zhì),知Sm,S2mSm,S3mS2m成等差數(shù)列.故Sm(S3mS2m)2(S2mSm),S3m3(S2mSm)210.分析五:根據(jù)Snan2bn求解.解法五:an為等差數(shù)列,設(shè)Snan2bn,Smam2bm30,S2m4m2a2mb100得a,bS3m9m2a3mb210.分析六:運(yùn)用等差數(shù)列求和公式,Snna1d的變形式解題.解法六:由Snna1d,即a1d由此可知數(shù)列也成等差數(shù)列,也即,成等差數(shù)列.由,Sm30,S2m100S3m210.評(píng)述:一般地,對(duì)于等差數(shù)列am中,有 (pq).例5在a,b之間插入10個(gè)數(shù),使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這10個(gè)數(shù)的和.分析:求解的關(guān)鍵有二:其一是求和公式的選擇;其二是用好等差數(shù)列的性質(zhì).解法一:設(shè)插入的10個(gè)數(shù)依次為x1,x2,x3,x10,則a,x1,x2,x10,b成等差數(shù)列.令Sx1x2x3x10,需求出首項(xiàng)x1和公差d.ba12a111dd,x1aS10x1d105(ab)解法二:設(shè)法同上,但不求d.依x1x10abS5(ab)解法三:設(shè)法同上,正難則反SS12(ab)(ab)5(ab)評(píng)述:求和問(wèn)題靈活多變,要注意理解和運(yùn)用.例6在凸多邊形中,已知它的內(nèi)角度數(shù)組成公差為5的等差數(shù)列,且最小角是120,試問(wèn)它是幾邊形?解:設(shè)這是一個(gè)n邊形,則n9所以這是一個(gè)九邊形.課堂練習(xí)課本P42練習(xí)1,2,3,4.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),要熟練掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Snna1d及其獲取思路. .課后作業(yè)課本P45習(xí)題 1,2,3- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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