2019年高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第九章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 理.doc
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2019 年高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第九章 計數(shù)原理、概率、隨機 變量及其分布 理 一.選擇題 1 (xx福建高考理)滿足 a, b1,0,1,2,且關于 x 的方程 ax22 x b0 有實數(shù) 解的有序數(shù)對( a, b)的個數(shù)為 ( ) A14 B13 C12 D10 【解析】選 B 本題考查集合、方程的根、計數(shù)原理等基礎知識,意在考查考生的綜合能 力因為 a, b1,0,1,2,可分為兩類:當 a0 時, b 可能為1 或 1 或 0 或 2,即 b 有 4 種不同的選法;當 a0 時,依題意得 44 ab0,所以 ab1.當 a1 時, b 有 4 種不同的選法,當 a1 時, b 可能為1 或 0 或 1,即 b 有 3 種不同的選法,當 a2 時, b 可能為1 或 0,即 b 有 2 種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理,( a, b)的個 數(shù)共有 443213. 2 (xx遼寧高考理)使 n(nN )的展開式中含有常數(shù)項的最小的 n 為 ( )( 3x 1xx) A4 B5 C6 D7 【解析】選 B 本題主要考查二項式定理的應用和簡單的計算問題,求解過程中注意展開 式的通項公式應用的準確性由二項式定理得, Tr1 C (3x)n r rC 3n rxn r,令rn ( 1xx) rn 52 n r0,當 r2 時, n5,此時 n 最小 52 3 (xx新課標高考理)設 m 為正整數(shù),( x y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為 a,( x y)2m1 展開式的二項式系數(shù)的最大值為 b,若 13a7 b,則 m ( ) A5 B6 C.7 D.8 【解析】選 B 本題考查二項式系數(shù)的性質,意在考查考生對二項式系數(shù)的性質的運用和 計算能力根據(jù)二項式系數(shù)的性質知:( x y)2m的二項式系數(shù)最大有一項,C a,( x y)m2 2m1 的二項式系數(shù)最大有兩項,C C b.又 13a7 b,所以 13C 7C ,m2m 1 m 12 m2 m2m 1 將各選項中 m 的取值逐個代入驗證,知 m6 滿足等式,所以選擇 B. 4.(xx新課標 II 高考理)已知(1 x)(1 x)5的展開式中 x2的系數(shù)為 5,則 ( ) A4 B.3 C2 D1 【解析】選 D 本題涉及二項式定理、計數(shù)原理的知識,意在考查考生的分析能力與基本 運算能力展開式中含 x2的系數(shù)為 C aC 5,解得 a1,故選 D. 25 15 5 (xx陜西高考理)設函數(shù) f(x)Error!則當 x0 時, f(f(x)表達式的展開式中常數(shù)項 為 ( ) A20 B20 C15 D15 【解析】選 A 本題考查分段函數(shù)和二項式定理的應用,解題關鍵是對復合函數(shù)的復合過 程的理解依據(jù)分段函數(shù)的解析式,得 f(f(x) f( ) 6, Tr1 C (1)x ( 1x x) r6 rxr3 ,則常數(shù)項為 C (1) 320.3 6 (xx陜西高考理)如圖,在矩形區(qū)域 ABCD 的 A, C 兩點處各有一個通信基站,假設其 信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域 ADE 和扇形區(qū)域 CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站 工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是 ( ) A1 B. 1 C2 D. 4 2 2 4 【解析】選 A 本題考查幾何概型的求解方法,涉及對立事件求解概率以及矩形和扇形面 積的計算由題意知,兩個四分之一圓補成半圓其面積為 1 2 ,矩形面積為 2, 12 2 則所求概率為 1 . 2 2 2 4 7.(xx江西高考理) 5展開式中的常數(shù)項為 ( )(x2 2x3) A80 B80 C40 D40 【解析】選 C 本題考查二項式定理,意在考查考生的運算能力 Tr1 C (x2)5 rr5 rC (2) rx105 r,令 105 r0,得 r2,故常數(shù)項為 C (2) 240.( 2x3) r5 25 8.(xx廣東高考理)已知離散型隨機變量 X 的分布列為 X 1 2 3 P 35 310 110 則 X 的數(shù)學期望 E(X) ( ) A. B2 C. D3 32 52 【解析】選 A 本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望,考查考生的識記能力 E(X) 1 2 3 . 35 310 110 1510 32 9 (xx山東高考理)用 0,1,9 十個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù) 為 ( ) A243 B252 C261 D279 【解析】選 B 本題考查分步乘法計數(shù)原理的基礎知識,考查轉化與化歸思想,考查運算 求解能力,考查分析問題和解決問題的能力能夠組成三位數(shù)的個數(shù)是 91010900, 能夠組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是 998648,故能夠組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的 個數(shù)是 900648252. 10 (xx大綱卷高考理)(1 x)8(1 y)4的展開式中 x2y2的系數(shù)是 ( ) A56 B84 C112 D168 【解析】選 D 本題考查二項式定理及通項公式在(1 x)8展開式中含 x2的項為 C x228 x2,(1 y)4展開式中含 y2的項為 C y26 y2,所以 x2y2的系數(shù)為 286168,故28 24 選 D. 11 (xx湖北高考理)如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為 125 個同樣大小的 小正方體經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為 X,則 X 的均值 E(X) ( ) A. B. C. D. 126125 65 168125 75 【解析】選 B 本題考查正方體中的概率和期望問題,意在考查考生的空間想象能力 P(X0) , P(X1) , P(X2) , 27125 54125 36125 P(X3) , E(X)0 P(X0)1 P(X1)2 P(X2)3 P(X3)0 1 8125 27125 2 3 ,故選 B. 54125 36125 8125 150125 65 12 (xx四川高考理)從 1,3,5,7,9 這五個數(shù)中,每次取出兩個不同的數(shù)分別記為 a, b,共可得到 lg alg b 的不同值的個數(shù)是 ( ) A9 B10 C18 D20 【解析】選 C 本題考查對數(shù)運算、排列組合等基本知識和基本技能,意在考查考生分析 問題和解決問題的數(shù)學應用能力lg alg blg ,lg 有多少個不同值,只要看 不同 ab ab ab 值的個數(shù),所以共有 A 220218 個不同值25 13 (xx四川高考理)節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一 次閃亮相互獨立,若都在通電后的 4 秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以 4 秒為間 隔閃亮那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過 2 秒的概率是( ) A. B. C. D. 14 12 34 78 【解析】選 C 本題考查不等式表示的平面區(qū)域、幾何概型等知識,意在考查數(shù)形結合思 想、轉化與化歸思想,同時考查考生導數(shù)與單調性的運算能力設第一串彩燈亮的時刻為 x,第二串彩燈亮的時刻為 y,則Error!要使兩串彩燈亮的時刻相差不超過 2 秒,則Error! 如圖,不等式組Error!所表示的圖形面積為 16,不等式組Error!所表示的六邊形 OABCDE 的 面積為 16412,由幾何概型的公式可得 P . 1216 34 14 (xx安徽高考文)若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,這五 人被錄用的機會均等,則甲或乙被錄用的概率為 ( ) A. B. C. D. 23 25 35 910 【解析】選 D 本題主要考查古典概型的概率計算,意在考查考生的運算能力和對基本概 念的理解 事件“甲或乙被錄用”的對立事件是“甲和乙都未被錄用” ,從五位學生中選三人的基本事 件個數(shù)為 10, “甲和乙都未被錄用”只有 1 種情況,根據(jù)古典概型和對立事件的概率公式 可得,甲或乙被錄用的概率 P1 . 110 910 15 (xx大綱卷高考文)( x2) 8的展開式中 x6的系數(shù)是 ( ) A28 B56 C112 D224 【解析】選 C 本題主要考查二項式定理由二項式展開式的通項公式 Tr1 C an rbr,得rn 含 x6的項是 T21 C x82 22,所以含 x6的項的系數(shù)為 22C 112. 28 28 16 (xx湖南高考文)已知事件“在矩形 ABCD 的邊 CD 上隨機取一點 P,使 APB 的最大 邊是 AB”發(fā)生的概率為 ,則 ( ) 12 ADAB A. B. C. D. 12 14 32 74 【解析】選 D 本題主要考查幾何概型與三角形的最大角的性質,結合數(shù)形結合思想和轉 化思想,意在考查考生的轉化能力和運算能力由已知,點 P 的分界點恰好是邊 CD 的四等 分點,由勾股定理可得 AB2 2 AD2,解得 2 ,即 .( 34AB) (ADAB) 716 ADAB 74 17 (xx新課標高考文)從 1,2,3,4 中任取 2 個不同的數(shù),則取出的 2 個數(shù)之差的絕對 值為 2 的概率是 ( ) A. B. C. D. 12 13 14 16 【解析】選 B 本題主要考查列舉法解古典概型問題的基本能力,難度較小從 1,2,3,4 中任取 2 個不同的數(shù)有以下六種情況:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),滿 足取出的 2 個數(shù)之差的絕對值為 2 的有(1,3),(2,4),故所求概率是 . 26 13 18 (xx江西高考文)集合 A2,3, B1,2,3,從 A, B 中各任意取一個數(shù),則這兩 數(shù)之和等于 4 的概率是 ( ) A. B. C. D. 23 12 13 16 【解析】選 C 本題主要考查隨機事件、列舉法、古典概型的概率計算,考查分析、解決 實際問題的能力從 A, B 中各任意取一個數(shù)記為( x, y),則有(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3),共 6 個基本事件而這兩數(shù)之和為 4 的有(2,2),(3,1),共 2 個基 本事件又從 A, B 中各任意取一個數(shù)的可能性相同,故所求的概率為 . 26 13 19 (xx重慶高考理)( )8的展開式中常數(shù)項為 ( )x 12x A. B. C. D105 3516 358 354 【解析】選 B 二項展開式的通項 Tr1 C ( )8 r( )rC ( )rx4 r,當 4 r0 時,r8 x 12x r812 r4,所以展開式中的常數(shù)項為 C ( )4 .48 12 358 20 (xx廣東高考理)從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個,其個位數(shù)為 0 的概率是 ( ) A. B. C. D. 49 13 29 19 【解析】選 D 由個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù),則個位數(shù)與十位數(shù)分別為一奇一偶若個 位數(shù)為奇數(shù)時,這樣的兩位數(shù)共有 C C 20 個;若個位數(shù)為偶數(shù)時,這樣的兩位數(shù)共有 C1514 C 25 個;于是,個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)共有 202545 個其中,個位1515 數(shù)是 0 的有 C 15 個于是,所求概率為 .15 545 19 21 (xx山東高考理)現(xiàn)有 16 張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各 4 張從中任取 3 張,要求這 3 張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多 1 張,不同取法 的種數(shù)為 ( ) A232 B252 C472 D484 【解析】選 C 若沒有紅色卡片,則需從黃、藍、綠三色卡片中選 3 張,若都不同色則有 C C C 64 種,若 2 張同色,則有 C C C C 144 種;若紅色卡片有 1 張,剩14 14 14 23 12 24 14 余 2 張不同色,則有 C C C C 192 種,剩余 2 張同色,則有 C C C 72 種,14 23 14 14 14 13 24 所以共有 6414419272472 種不同的取法 22 (xx四川高考理)(1 x)7的展開式中 x2的系數(shù)是 ( ) A42 B35 C28 D21 【解析】選 D 依題意可知,二項式(1 x)7的展開式中 x2的系數(shù)等于 C 1521.27 23 (xx四川高考理)方程 ay b2x2 c 中的 a, b, c3,2,0,1,2,3,且 a, b, c 互不相同在所有這些方程所表示的曲線中,不同的拋物線共有 ( ) A60 條 B62 條 C71 條 D80 條 【解析】選 B 顯然方程 ay b2x2 c 表示拋物線時,有 ab0,故該方程等價于 y x2 . b2a ca (1)當 c0 時,從3,2,1,2,3中任取 2 個數(shù)作為 a, b 的值,有 A 20 種不同的方25 法, 當 a 一定, b 的取值互為相反數(shù)時,對應的拋物線相同,這樣的拋物線共有 4312 條, 所以此時不同的拋物線共有 A 614 條;25 (2)當 c0 時,從3,2,1,2,3中任取 3 個數(shù)作為 a, b, c 的值有 A 60 種不同的方35 法, 當 a, c 的值一定,而 b 的值互為相反數(shù)時,對應的拋物線相同,這樣的拋物線共有 4A 24 條,所以此時不同的拋物線有 A 1248 條23 35 綜上所述,滿足題意的不同的拋物線有 144862 條 24.(xx遼寧高考理)一排 9 個座位坐了 3 個三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐 法種數(shù)為 ( ) A33! B3(3!) 3 C(3!) 4 D9! 【解析】選 C 利用“捆綁法”求解滿足題意的坐法種數(shù)為 A (A )3(3!) 4. 3 3 25.(xx遼寧高考理)在長為 12 cm 的線段 AB 上任取一點 C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等 于線段 AC, CB 的長,則該矩形面積小于 32 cm2的概率為 ( ) A. B. C. D. 16 13 23 45 【解析】選 C 設 AC x cm, CB(12 x)cm,0x12,所以矩形面積小于 32 cm2即為 x(12 x)320x4 或 8x12,故所求概率為 . 812 23 26 (xx天津高考理)在(2 x2 )5的二項展開式中, x 的系數(shù)為 ( ) 1x A10 B10 C40 D40 【解析】選 D 二項式(2 x2 )5展開式的第 r1 項為 Tr1 C (2x2)5 r( ) 1x r5 1x rC 25 r(1) rr5 x103 r,當 r3 時,含有 x,其系數(shù)為 C 22(1) 340.35 27 (xx陜西高考理)兩人進行乒乓球比賽,先贏 3 局者獲勝,決出勝負為止,則所有可 能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有 ( ) A10 種 B15 種 C20 種 D30 種 【解析】選 C 分三種情況:恰好打 3 局,有 2 種情形;恰好打 4 局(一人前 3 局中贏 2 局, 輸 1 局,第 4 局贏),共有 2C 6 種情形;恰好打 5 局(一人前 4 局中贏 2 局,輸 2 局,第23 5 局贏),共有 2C 12 種情形所有可能出現(xiàn)的情形共有 261220 種24 28 (xx上海高考理)設 10 x1x2D 2. 120 29.(xx大綱卷高考理)將字母 a, a, b, b, c, c 排成三行兩列,要求每行的字母互不 相同,每列的字母也互不相同,則不同的排列方法共有 ( ) A12 種 B18 種 C24 種 D36 種 【解析】選 A 由分步乘法計數(shù)原理,先排第一列,有 A 種方法,再排第二列,有 2 種方3 法,故共有 A 212 種排列方法3 30 (xx北京高考理)設不等式組Error!表示的平面區(qū)域為 D.在區(qū)域 D 內(nèi)隨機取一個點, 則此點到坐標原點的距離大于 2 的概率是 ( ) A. B. C. D. 4 22 6 4 4 【解析】選 D 不等式組Error!表示坐標平面內(nèi)的一個正方形區(qū)域,設區(qū)域內(nèi)點的坐標為 (x, y),則隨機事件:在區(qū)域 D 內(nèi)取點,此點到坐標原點的距離大于 2 表示的區(qū)域就是圓 x2 y24 的外部,即圖中的陰影部分,故所求的概率為 . 4 4 31 (xx北京高考理)從 0,2 中選一個數(shù)字,從 1,3,5 中選兩個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的 三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為 ( ) A24 B18 C12 D6 【解析】選 B 若選 0,則 0 只能在十位,此時組成的奇數(shù)的個數(shù)是 A ;若選 2,則 2 只能23 在十位或百位,此時組成的奇數(shù)的個數(shù)是 2A 12,根據(jù)分類加法計數(shù)原理得總個數(shù)為23 61218. 32 (xx湖北高考理)設 aZ,且 0 a13,若 512 012 a 能被 13 整除,則 a ( ) A0 B1 C11 D12 【解析】選 D 512 012 a (1341) 2 012 a,被 13 整除余 1 a,結合選項可得 a12 時,51 2 012 a 能被 13 整除 33 (xx湖北高考理)如圖,在圓心角為直角的扇形 OAB 中,分別以 OA, OB 為直徑作兩 個半圓在扇形 OAB 內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是 ( ) A1 B. C. D. 2 12 1 2 1 【解析】選 A 設扇形的半徑為 2,其面積為 ,其中空白區(qū)域面積為 224 4( )2,因此此點取自陰影部分的概率為 1 . 4 12 2 2 34 (xx浙江高考理)若從 1,2,3,9 這 9 個整數(shù)中同時取 4 個不同的數(shù),其和為偶 數(shù),則不同的取法共有 ( ) A60 種 B63 種 C65 種 D66 種 【解析】選 D 對于 4 個數(shù)之和為偶數(shù),可分三類,即 4 個數(shù)均為偶數(shù),2 個數(shù)為偶數(shù) 2 個 數(shù)為奇數(shù),4 個數(shù)均為奇數(shù),因此共有 C C C C 66 種4 2425 45 35 (xx福建高考理)如圖所示,在邊長為 1 的正方形 OABC 中任取一點 P,則點 P 恰好 取自陰影部分的概率為 ( ) A. B. C. D. 14 15 16 17 【解析】選 C 陰影部分的面積為 ( x)dx( x x2) ,故所求的概率 P 10 x 2332 12 |10 16 . 陰 影 部 分 的 面 積正 方 形 OABC的 面 積 16 36 (xx安徽高考理)( x22)( 1) 5的展開式的常數(shù)項是 ( ) 1x2 A3 B2 C2 D3 【解析】選 D ( 1) 5的展開式的通項為 Tr1 C ( )5 r(1) r, r0,1,2,3,4,5. 1x2 r51x2 當因式( x22)中提供 x2時,則取 r4;當因式( x22)中提供 2 時,則取 r5,所以 (x22)( 1) 5的展開式的常數(shù)項是 523. 1x2 37 (xx安徽高考理)6 位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換,任意兩位同學之間 最多交換一次,進行交換的兩位同學互贈一份紀念品已知 6 位同學之間共進行了 13 次交 換,則收到 4 份紀念品的同學人數(shù)為 ( ) A1 或 3 B1 或 4 C2 或 3 D2 或 4 【解析】選 D 不妨設 6 位同學分別為 A, B, C, D, E, F,列舉交換紀念品的所有情況為 AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF,共有 15 種因為 6 位 同學之間共進行了 13 次交換,即缺少以上交換中的 2 種第一類,某人少交換 2 次,如 DF, EF 沒有交換,則 A, B, C 交換 5 次, D, E 交換 4 次, F 交換 3 次;第二類,4 人少交 換 1 次,如 CD, EF 沒有交換,則 A, B 交換 5 次, C, D, E, F 交換 4 次 38 (xx新課標高考理)將 2 名教師,4 名學生分成 2 個小組,分別安排到甲、乙兩地參 加社會實踐活動,每個小組由 1 名教師和 2 名學生組成,不同的安排方案共有 ( ) A12 種 B10 種 C9 種 D8 種 【解析】選 A 先安排 1 名教師和 2 名學生到甲地,再將剩下的 1 名教師和 2 名學生安排 到乙地,共有 C C 12 種安排方案1224 39 (xx湖北高考文)如圖,在圓心角為直角的扇形 OAB 中,分別以 OA, OB 為直徑作兩 個半圓,在扇形 OAB 內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是 ( ) A. B. C1 D. 12 1 1 2 2 【解析】選 C 設 OA OB r,則兩個以 為半徑的半圓的公共部分面積為 2 ( )2 r2 14 r2 ( )2 ,兩個半圓外部的陰影部分面積為 r2 ( )22 12 r2 2 r28 14 12 r2 ,所以所求概率為 1 . 2 r28 2 r28 2 2 r28 14 r2 2 40 (xx四川高考文)(1 x)7的展開式中 x2的系數(shù)是 ( ) A21 B28 C35 D42 【解析】選 A 依題意得知,二項式(1 x)7的展開式中 x2的系數(shù)等于 C 121.27 41 (xx四川高考文)方程 ay b2x2 c 中的 a, b, c2,0,1,2,3,且 a, b, c 互不 相同,在所有這些方程所表示的曲線中,不同的拋物線共有 ( ) A28 條 B32 條 C36 條 D48 條 【解析】選 B 依題意得,當方程 ay b2x2 c 表示拋物線時,有 y x2 , ab0,又 b2a ca a, b, c2,0,1,2,3且 a, b, c 互不相同,因此相應的數(shù)組 a, b, c共有 A C 36 組,其中當 b2 與 b2 時,相應的( a, b, c)對應相同的拋物線的條數(shù)有 C24 13 C 4,因此滿足題意的不同的拋物線共同有 36432 條12 12 42 (xx遼寧高考文)在長為 12 cm 的線段 AB 上任取一點 C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等 于線段 AC, CB 的長,則該矩形面積大于 20 cm2的概率為 ( ) A. B. C. D. 16 13 23 45 【解析】選 C 設| AC| x cm,0x20,則 x212 x200,20 得 0”發(fā)生的概率為 13 . 1 13 1 23 【答案】 23 73 (xx安徽高考理)若 8的展開式中 x4的系數(shù)為 7,則實數(shù) a_.( x a3x) 【解析】本題考查二項展開式的通項二項式 8展開式的通項為( x a3x) Tr1 C arx8 r,令 8 r4,可得 r3,故 C a37,易得 a .r8 43 43 38 12 【答案】 12 74 (xx浙江高考理)設二項式 5的展開式中常數(shù)項為 A,則 A_.( x 13x) 【解析】本題考查二項式定理及相關概念,考查利用二項式定理解決相關問題的能力以及 考生的運算求解能力 Tr1 (1) rC x ,令 155 r0,得 r3,故常數(shù)項r5 15 5r6 A(1) 3C 10.35 【答案】10 75 (xx浙江高考理)將 A, B, C, D, E, F 六個字母排成一排,且 A, B 均在 C 的同側, 則不同的排法共有_種(用數(shù)字作答) 【解析】本題考查對排列、組合概念的理解,排列數(shù)、組合數(shù)公式的運用,考查運算求解 能力以及利用所學知識解決問題的能力 “小集團”處理,特殊元素優(yōu)先,C C A A 480.361223 【答案】480 76 (xx重慶高考理)從 3 名骨科、4 名腦外科和 5 名內(nèi)科醫(yī)生中選派 5 人組成一個抗震 救災醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有 1 人的選派方法種數(shù)是_(用數(shù) 字作答) 【解析】本題考查排列組合問題,意在考查考生的思維能力直接法分類,3 名骨科,內(nèi) 科、腦外科各 1 名;3 名腦外科,骨科、內(nèi)科各 1 名;3 名內(nèi)科,骨科、腦外科各 1 名;內(nèi) 科、腦外科各 2 名,骨科 1 名;骨科、內(nèi)科各 2 名,腦外科 1 名;骨科、腦外科各 2 名, 內(nèi)科 1 名所以選派種數(shù)為 C C C C C C C C C C C C C C C C C C 590.3 14 15 34 13 15 35 13 14 24 25 13 23 25 14 23 24 15 【答案】590 77.(xx新課標 II 高考理)從 n 個正整數(shù) 1,2, n 中任意取出兩個不同的數(shù),若取出 的兩數(shù)之和等于 5 的概率為 ,則 n_. 114 【解析】本題考查排列組合、古典概型等基本知識,意在考查考生的基本運算能力與邏輯 分析能力 試驗基本事件總個數(shù)為 C ,而和為 5 的取法有 1,4 與 2,3 兩種取法,由古典概型概率計算2n 公式得 P ,解得 n8. 2C2n 114 【答案】8 78 (xx北京高考理)將序號分別為 1,2,3,4,5 的 5 張參觀券全部分給 4 人,每人至少 1 張,如果分給同一人的 2 張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是_ 【解析】本題考查排列組合中的分組安排問題,意在考查考生分析問題、解決問題的能 力按照要求要把序號分別為 1,2,3,4,5 的 5 張參觀券分成 4 組,然后再分配給 4 人,連 號的情況是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,故其方法數(shù)是 4A 96.4 【答案】96 79 (xx山東高考理)在區(qū)間3,3上隨機取一個數(shù) x,使得| x1| x2|1 成立的 概率為_ 【解析】本題考查絕對值不等式的解法、幾何概型等基礎知識,考查分類與整合思想,考 查運算求解能力當 x1 時,不等式| x1| x2|1,即( x1)( x2) 31,此時無解;當12 時,不等式| x1| x2|1,即 x1 x231,解得 x2.在 區(qū)間3,3上不等式| x1| x2|1 的解集為 1 x3,故所求的概率為 . 3 13 3 13 【答案】 13 80 (xx大綱卷高考理)6 個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有 _種(用數(shù)字作答) 【解析】本題考查排列組合知識 法一:(間接法)A A A 480.6 25 法二:(直接法)A A 480.425 【答案】480 81 (xx四川高考理)二項式( x y)5的展開式中,含 x2y3的項的系數(shù)是_(用 數(shù)字作答) 【解析】本題考查二項式的通項,意在考查考生的運算能力因為 C 10,故含 x2的項的35 系數(shù)是 10. 【答案】10 82.(xx天津高考理) 6的二項展開式中的常數(shù)項為_( x 1x) 【解析】本題考查二項式定理的應用,意在考查考生的運算求解能力二項式 6展( x 1x) 開式的第 r1 項為 Tr1 C x6 r( )rC (1) rx6 r,當 6 r0,即 r4 時是常r6 1x r6 32 32 數(shù)項,所以常數(shù)項是 C (1) 415.46 【答案】15 83 (xx重慶高考文)若甲、乙、丙三人隨機地站成一排,則甲、乙兩人相鄰而站的概率 為_ 【解析】本題主要考查古典概型,考查考生的邏輯思維能力三人站成一排有:甲乙丙、 甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共 6 種排法,其中甲、乙相鄰有 4 種排法, 所以甲、乙兩人相鄰而站的概率為 . 46 23 【答案】 23 84 (xx江蘇高考文)現(xiàn)有某類病毒記作 XmYn,其中正整數(shù) m, n(m7, n9)可以任意 選取,則 m, n 都取到奇數(shù)的概率為_ 【解析】本題考查古典概型的相關知識,意在考查用枚舉法求概率 基本事件總數(shù)為 N7963,其中 m, n 都為奇數(shù)的事件個數(shù)為 M4520,所以所求 概率 P . MN 2063 【答案】 2063 85 (xx大綱卷高考文)從進入決賽的 6 名選手中決出 1 名一等獎,2 名二等獎,3 名三 等獎,則可能的決賽結果共有_種(用數(shù)字作答) 【解析】本題主要考查組合、分步計數(shù)乘法原理的應用第一步?jīng)Q出一等獎 1 名有 C 種情16 況,第二步?jīng)Q出二等獎 2 名有 C 種情況,第三步?jīng)Q出三等獎 3 名有 C 種情況,故可能的25 3 決賽結果共有 C C C 60 種情況16253 【答案】60 86 (xx福建高考文)利用計算機產(chǎn)生 01 之間的均勻隨機數(shù) a,則事件“3 a10”發(fā) 生的概率為_ 【解析】本題主要考查幾何概型與隨機模擬等基礎知識,意在考查或然與必然思想,考查 考生的數(shù)形結合能力、轉化和化歸能力、運算求解能力由題意,得 0aE(X2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學期望較大 130 (xx遼寧高考理)現(xiàn)有 10 道題,其中 6 道甲類題,4 道乙類題,張同學從中任取 3 道題解答 (1)求張同學至少取到 1 道乙類題的概率; (2)已知所取的 3 道題中有 2 道甲類題,1 道乙類題設張同學答對每道甲類題的概率都是 ,答對每道乙類題的概率都是 ,且各題答對與否相互獨立用 X 表示張同學答對題的個 35 45 數(shù),求 X 的分布列和數(shù)學期望 解:本題主要考查概率的綜合應用,離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望同時也考查考 生分析問題以及應用知識解決實際問題的能力 (1)設事件 A“張同學所取的 3 道題至少有 1 道乙類題” ,則有 “張同學所取的 3 道題A 都是甲類題” 因為 P( ) ,所以 P(A)1 P( ) .A C36C310 16 A 56 (2)X 所有的可能取值為 0,1,2,3. P(X0)C 0 2 ;02 ( 35) (25) 15 4125 P(X1)C 1 1 C 0 2 ;12 ( 35) (25) 15 02(35) (25) 45 28125 P(X2)C 2 0 C 1 1 ;2 ( 35) (25) 15 12(35) (25) 45 57125 P(X3)C 2 0 ;2 ( 35) (25) 45 36125 所以 X 的分布列為: X 0 1 2 3 P 4125 28125 57125 36125 所以 E(X)0 1 2 3 2. 4125 28125 57125 36125 131 (xx安徽高考理)某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試 活動,分別由李老師和張老師負責已知該系共有 n 位學生,每次活動均需該系 k 位學生 參加( n 和 k 都是固定的正整數(shù))假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、 隨機地發(fā)給該系 k 位學生,且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通 知信息的學生人數(shù)為 X. (1)求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率; (2)求使 P(X m)取得最大值的整數(shù) m. 解:本題主要考查古典概型,計數(shù)原理,分類討論思想等基礎知識和基本技能,考查抽象 的思想,邏輯推理能力,運算求解能力,以及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力 (1)因為事件 A:“學生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件 B:“學生甲收到張老師所發(fā)信息” 是相互獨立的事件,所以 與 相互獨立由于 P(A) P(B) ,故 P( ) P( )A B Ck 1nCkn kn A B 1 ,因此學生甲收到活動通知信息的概率 P1 2 . kn (1 kn) 2kn k2n2 (2)當 k n 時, m 只能取 n,有 P(X m) P(X n)1. 當 kn 時,整數(shù) m 滿足 k m t,其中 t 是 2k 和 n 中的較小者由于“李老師和張老師各 自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給 k 位同學”所包含的基本事件總數(shù)為(C )2.當 X m 時,kn 同時收到李老師和張老師轉發(fā)信息的學生人數(shù)恰為 2k m,僅收到李老師或僅收到張老師 轉發(fā)信息的學生人數(shù)均為 m k.由乘法計數(shù)原理知: 事件 X m所含基本事件數(shù)為 C C C C C C .此時kn2k mk m kn knm kk m kn P(X m) . CknC2k mk Cm kn Ckn 2 Cm kkCm knCkn 當 k mt 時, P(X m) P(X m1)C C C C (m k1)m kk m kn m 1 kk m 1 kn k 2( n m)(2k m)m2 k . k 1 2n 2 假如 k2 k t 成立,則當( k1) 2能被 n2 整除時, k 1 2n 2 k2 k 2k1 t.故 P(X m)在 m2 k 和 m2 k1 k 1 2n 2 k 1 2n 2 k 1 2n 2 處達最大值;當( k1) 2不能被 n2 整除時, k 1 2n 2 P(X m)在 m2 k 處達最大值(注: x表示不超過 x 的最大整數(shù)) k 1 2n 2 下面證明 k2 k t. k 1 2n 2 因為 1 kn,所以 2k k 0. k 1 2n 2 kn k2 1n 2 k k 1 k2 1n 2 k 1n 2 而 2k n 0,故 2k n,顯然 2k 2k. k 1 2n 2 n k 1 2n 2 k 1 2n 2 k 1 2n 2 因此 k2 k t. k 1 2n 2 132 (xx浙江高考理)設袋子中裝有 a 個紅球, b 個黃球, c 個藍球,且規(guī)定:取出一個 紅球得 1 分,取出一個黃球得 2 分,取出一個藍球得 3 分 (1)當 a3, b2, c1 時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2 個球, 記隨機變量 為取出此 2 球所得分數(shù)之和,求 的分布列; (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1 個球,記隨機變量 為取出此球所得分 數(shù)若 E( ) , D( ) ,求 a b c. 53 59 解:本題主要考查相互獨立事件、隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差等概念及相關計算, 考查抽象概括以及運用所學知識分析問題解決問題的能力 (1)由題意得 2,3,4,5,6. 故 P( 2) , 3366 14 P( 3) , 23266 13 P( 4) , 231 2266 518 P( 5) , 22166 19 P( 6) . 1166 136 所以 的分布列為 2 3 4 5 6 P 14 13 518 19 136 (2)由題意知 的分布列為 1 2 3 P aa b c ba b c ca b c 所以 E( ) , aa b c 2ba b c 3ca b c 53 D( ) 2 2 2 .(1 53) aa b c (2 53) ba b c (3 53) ca b c 59 化簡得Error! 解得 a3 c, b2 c, 故 a b c321. 133 (xx重慶高考理)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸 獎者先從裝有 3 個紅球與 4 個白球的袋中任意摸出 3 個球,再從裝有 1 個藍球與 2 個白球 的袋中任意摸出 1 個球根據(jù)摸出 4 個球中紅球與藍球的個數(shù),設一、二、三等獎如下: 獎級 摸出紅、藍球個數(shù) 獲獎金額 一等獎 3 紅 1 藍 200 元 二等獎 3 紅 0 藍 50 元 三等獎 2 紅 1 藍 10 元 其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級 (1)求一次摸獎恰好摸到 1 個紅球的概率; (2)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額 X 的分布列與期望 E(X) 解:本題主要考查隨機變量的概率、分布列和數(shù)學期望,意在考查考生的閱讀理解能力以 及轉化與化歸能力設 Ai表示摸到 i 個紅球, Bj表示摸到 j 個藍球,則 Ai(i0,1,2,3) 與 Bj(j0,1)獨立 (1)恰好摸到 1 個紅球的概率為 P(A1) . C13C24C37 1835 (2)X 的所有可能值為:0,10,50,200,且 P(X200) P(A3B1) P(A3)P(B1) , C3C37 13 1105 P(X50) P(A3B0) P(A3)P(B0) , C3C37 23 2105 P(X10) P(A2B1) P(A2)P(B1) , C23C14C37 13 12105 435 P(X0)1 . 1105 2105 435 67 綜上知 X 的分布列為 X 0 10 50 200 P 67 435 2105 1105 從而有 E(X)0 10 50 200 4(元) 67 435 2105 1105 134 (xx新課標高考理)一批產(chǎn)品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中 任取 4 件作檢驗,這 4 件產(chǎn)品中優(yōu)質品的件數(shù)記為 n.如果 n3,再從這批產(chǎn)品中任取 4 件 作檢驗,若都為優(yōu)質品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果 n4,再從這批產(chǎn)品中任取 1 件作檢 驗,若為優(yōu)質品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗 假設這批產(chǎn)品的優(yōu)質品率為 50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質品的概率都為 ,且各件產(chǎn)品是 12 否為優(yōu)質品相互獨立 (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率; (2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為 100 元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質量 檢驗所需的費用記為 X(單位:元),求 X 的分布列及數(shù)學期望 解:本題主要考查獨立重復試驗和互斥事件的概率、條件概率、離散型隨機變量的分布列 和數(shù)學期望等,意在考查考生的閱讀理解能力及運用所學概率知識解決實際問題的能力 (1)設第一次取出的 4 件產(chǎn)品中恰有 3 件優(yōu)質品為事件 A1,第一次取出的 4 件產(chǎn)品全是優(yōu) 質品為事件 A2,第二次取出的 4 件產(chǎn)品都是優(yōu)質品為事件 B1,第二次取出的 1 件產(chǎn)品是優(yōu) 質品為事件 B2,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件 A,依題意有 A( A1B1)( A2B2),且 A1B1與 A2B2 互斥,所以 P(A) P(A1B1) P(A2B2) P(A1)P(B1|A1) P(A2)P(B2|A2) 416 116 116 12 . 364 (2)X 可能的取值為 400,500,800,并且 P(X400)1 , P(X500) , 416 116 1116 116 P(X800) . 14 所以 X 的分布列為 X 400 500 800 P 1116 116 14 EX400 500 800 506.25. 1116 116 14 135 (xx新課標 II 高考理)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出 1t 該 產(chǎn)品獲利潤 500 元,未售出的產(chǎn)品,每 1t 虧損 300 元根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市 場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了 130 t 該農(nóng)產(chǎn) 品以 X(單位:t,100 X150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量, T(單位:元)表示 下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤 (1)將 T 表示為 X 的函數(shù); (2)根據(jù)直方圖估計利潤 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,并以需求量落入該 區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如:若需求量 X100,110)則取 X105,且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的頻率),求 T 的數(shù)學期望 解:本題考查概率、統(tǒng)計的知識,考查頻率分布直方圖以及隨機變量的分布列及其期望的 基本求解方法,意在考查考生的理解能力以及基本運算能力 (1)當 X100,130)時, T500 X300(130 X)8- 配套講稿:
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