2019-2020年高中數學 1.1 空間幾何體 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺的結構特征課堂探究 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數學 1.1 空間幾何體 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺的結構特征課堂探究 新人教B版必修2 探究一 棱柱的結構特征 判斷一個幾何體是棱柱的依據及關鍵點 (1)依據：判斷是否是棱柱要緊扣棱柱的定義． (2)抓住三個關鍵點． ①底面：兩個多邊形全等且所在平面互相平行． ②側面：都是平行四邊形． ③側棱：互相平行且相等． 以上三點缺一不可． 【典型例題1】 (1)下列幾何體是棱柱的有(　　) A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 解析：棱柱的結構特征有三方面：有兩個面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個面的公共邊都互相平行，當一個幾何體同時滿足這三方面的特征時，這個幾何體才是棱柱． ①上述三方面的特征都符合，是棱柱；②沒有兩個平行平面，所以不是；③符合條件，是棱柱；④雖然有兩個平面平行，但其余各面不是平行四邊形，因此不是；⑤只有三角形的面，沒有符合的一個條件，所以不是；⑥有兩個平行平面，但其余各面中有的不是平行四邊形，所以⑥不是．因此符合條件的只有①③． 答案：D (2)給出下列幾個結論： ①長方體一定是正四棱柱． ②正方體一定是正四棱柱． ③長方體一定是直棱柱． ④有一條側棱與底面兩邊垂直的棱柱是直棱柱． ⑤有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱． 其中錯誤的是__________．(填序號) 解析：側棱垂直于底面的棱柱為直棱柱，而底面為正多邊形的直棱柱為正棱柱．對照各結論知①④⑤錯誤． 答案：①④⑤ 探究二 棱錐、棱臺的結構特征 判斷棱錐、棱臺的常用方法有： (1)舉反例法： 結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確． (2)直接法： 棱錐 棱臺 定底面 只有一個面是多邊形，此面即為底面 兩個互相平行的面，即為底面 看側棱 相交于一點 延長后相交于一點 【典型例題2】 判斷以下說法，正確的是(　　) A．所有面都是三角形的幾何體一定是三棱錐 B．三棱錐的每一個面都可作為底面 C．底面是正多邊形，各側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐 D．正棱錐的所有棱長都相等 解析：如圖(1)的幾何體所有的面為三角形，但不是三棱錐，故A錯．如圖(2)中，棱AD＝1，其余棱長為2， 滿足題意，但不是正三棱錐，故C錯．正棱錐中，所有側棱長都相等，故D錯．而三棱錐又稱四面體，每個面都是三角形，故每個面都可作為底面，故B正確． 答案：B 【典型例題3】 下列關于棱錐、棱臺的說法： (1)用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺． (2)棱臺的側面一定不會是平行四邊形． (3)棱錐的側面只能是三角形． (4)由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐． (5)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐． 其中正確說法的序號是__________． 解析：(1)錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺； (2)正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形； (3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形； (4)正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐； (5)錯誤，如圖所示四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐． 答案：(2)(3)(4) 探究三 有關正棱錐、正棱臺中的計算問題 1．正棱錐、正棱臺中的直角三角形，正棱錐中的幾個重要的直角三角形．如圖所示，正棱錐中，點O為底面中心，M是CD的中點，則△SOM，△SOC均是直角三角形，很明顯，△SMC，△OMC也是直角三角形． 2．正棱臺中的幾個重要的直角梯形：如圖所示，由斜高、側棱構成的直角梯形E1ECC1，由斜高、高構成的直角梯形O1E1EO，由高、側棱構成的直角梯形O1OCC1． 【典型例題4】 (1)若正四棱錐的底面積為4，側棱長為2，則其斜高為__________． 解析：正四棱錐的側面為等腰三角形，如圖，作PE⊥CD于點E，則PE為斜高，E為CD的中點．由底面積為4，知底面邊長為2，在Rt△PCE中，PC＝2，CE＝1，所以PE＝＝． 答案： (2)一個正四棱臺的上、下底面面積分別為4,16，一側面面積為12，求該棱臺的斜高、高、側棱長． 解：如圖，設O′，O分別為上、下底面的中心，即OO′為正四棱臺的高，E，F(xiàn)分別為B′C′，BC的中點， 則EF⊥BC，EF為斜高． 由上底面面積為4，上底面為正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4． 因為四邊形BCC′B′的面積為12， 所以(2＋4)EF＝12， 所以EF＝4． 過B′作B′H⊥BC交BC于點H， 則BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4． 在Rt△B′BH中， BB′＝＝＝． 同理，在直角梯形O′OFE中，計算出O′O＝．綜上，該正四棱臺的側棱長為，斜高為4，高為． 探究四 立體圖形的展開問題 解決空間幾何體表面上兩點間的最短線路問題，一般都是將空間幾何體表面按某一種方式展開，轉化為求平面內兩點間的線段長，這體現(xiàn)了數學中的轉化思想． 【典型例題5】 如圖所示，在四面體PABC中，PA＝PB＝PC＝2．∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30，一只蜜蜂從A點出發(fā)沿四面體的表面繞行一周，再回到A點，求蜜蜂經過的最短路程． 解：將四面體沿PA剪開，并展成如圖所示的平面圖形，則AA′就是所求的最短路程． 因為∠APA′＝90，PA＝PA′＝2，所以最短路程AA′為． 探究五 易錯辨析 易錯點：對棱柱、棱錐、棱臺的結構把握不清而致誤 【典型例題6】 如圖所示，關于幾何體的說法正確的序號有______． (1)這是一個六面體； (2)這是一個四棱臺； (3)這是一個四棱柱； (4)此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到； (5)此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到． 錯解：答案中含有(2)． 錯因分析：未對幾何體側棱延長后是否交于一點驗證，而直接由側面是否為梯形做出誤判． 正解：(1)正確，因為有六個面，屬于六面體的范圍； (2)錯誤，因為側棱的延長線不能交于一點，所以不正確； (3)正確，如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱； (4)(5)都正確，如圖所示． 　　　 答案：(1)(3)(4)(5)