2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第二課時(shí)） 大綱人教版必修.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第二課時(shí)） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.a2+b2≥2ab(a,b∈R)；(a>0,b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào). 2.若a>0，b>0，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，“=”當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.（即兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值）. 3.若a>0，b>0，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2，“=”當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.（即兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值） (二)能力訓(xùn)練要求 1.學(xué)生對(duì)問題的探索、研究、歸納，能總結(jié)出一般性的解題方法和解題規(guī)律，進(jìn)一步使學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)特征和取“=”條件. 2.強(qiáng)化雙語教學(xué). (三)德育滲透目標(biāo) 本節(jié)是探索、研究性課題，始終以學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)腦、動(dòng)手去探索，應(yīng)用公式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激勵(lì)學(xué)生去取得成功.在分析具體問題特點(diǎn)的過程中，通過尋求運(yùn)用公式的適當(dāng)形式和具體方式，自覺提高學(xué)生思維訓(xùn)練，分析問題和解決問題的能力. ●教學(xué)重點(diǎn) 基本不等式a2＋b2≥2ab和≥（a＞0，b＞0）的應(yīng)用，應(yīng)注意： (1)這兩個(gè)數(shù)(或三個(gè)數(shù))都必須是正數(shù)，例如：當(dāng)xy＝4時(shí)，如果沒有x、y都為正數(shù)的條件，就不能說x＋y有最小值4，因?yàn)槿舳际秦?fù)數(shù)且滿足xy＝4，x＋y也是負(fù)數(shù)，此時(shí)x＋y可以取比4小的值. (2)這兩個(gè)數(shù)必須滿足“和為定值”或“積為定值”，如果找不出“定值”的條件，就不能用這個(gè)定理. (3)要保證“=”確定能成立，如果等號(hào)不能成立，那么求出的值仍不是最值. ●教學(xué)難點(diǎn) 如何湊成兩個(gè)(或三個(gè))數(shù)的和或積是定值. ●教學(xué)方法 激勵(lì)——探索——討論——發(fā)現(xiàn) ●教具準(zhǔn)備 小黑板或多媒體 課件一：記作6.2.2　A 幾個(gè)重要的不等式 1.a2＋b2≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào). 2.（a＞0，b＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào). 3. ≥2（ab＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào). 課件二：記作6.2.2 B 試一試 尋思路 例1 已知x，y都是正數(shù)，求證： （1）若積xy是定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2； （2）若和x+y是定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S2. 課件三：記作6.2.2 C 練一練 求穩(wěn)固 1.已知x≠0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2+的值最??？最小值是多少？ 2.一段長(zhǎng)為L(zhǎng) m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 3.設(shè)00,b>0,x>0,y>0,=1，求證：x+y≥()2. 2.若x,y,z∈R,x+y+z=1，求證x2+y2+z2≥. ●教學(xué)過程 [師]Good morning, everyone. （同學(xué)們上午好） [生]Good morning, teacher. （老師上午好） [師]Sit down, please.（請(qǐng)坐） Today we’ll learn the new lesson. （今天我們開始上新課） Are you ready? （準(zhǔn)備好了嗎？） [生]Yes.（是的） [師]OK! Now let’s begin. （好！現(xiàn)在開始上課） Ⅰ.課題導(dǎo)入 上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了一個(gè)重要定理：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)(以下簡(jiǎn)稱均值不等式).這個(gè)定理有時(shí)可以直接運(yùn)用，有時(shí)用它的變形或推廣形式，它的應(yīng)用非常廣泛，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等等.它們涉及到的題目活、變形多，必須把握好湊形技巧.今天，我們共同來探索研究均值不等式的應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 想一想 公式通 （讓同學(xué)們默讀、聯(lián)想、記憶上一節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并加以口頭回答，教師打出課件一6.2.2 A對(duì)照檢查其正確性） [師]誰來回答我們上一節(jié)課學(xué)的定理呢？ [生1]a2＋b2≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)； （a＞0，b＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)； [師]它有哪些推廣呢？ [生2] ≥2（ab＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)； [生3] （a＞0，b＞0，c＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào)； a3＋b3＋c3≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào).（注：教師可板書公式） [師]請(qǐng)生3回答，你是如何想到的呢？ [生3]我是通過課本目錄，看到P24閱讀材料與我們本節(jié)內(nèi)容有關(guān)系，通過預(yù)習(xí)知道的. [師]非常好！請(qǐng)同學(xué)們?yōu)樯鲜鐾瑢W(xué)能主動(dòng)積極回答問題加油鼓掌. 試一試 尋思路 [教師打出課件二6.2.2 B，讓同學(xué)們根據(jù)公式試著做如下題目，并通過討論（同學(xué)間討論、師生間交流），歸納出解決問題的基本思想] ［例1］已知x、y都是正數(shù)，求證： (1)若積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2； (2)若和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值S2. ［生4］（1）∵x，y都是正數(shù) ∴ 當(dāng)積xy＝P為定值時(shí)，有， 即x＋y≥2. 上式中，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取“＝”號(hào)，故當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2. [生5](2) ∵x>0,y>0, ∴x+y≥2，∴≤ 當(dāng)和x＋y＝S為定值時(shí)，有， 即xy≤S2. 上式中，當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào)，故當(dāng)x=y時(shí)積xy有最大值S2. (生推導(dǎo)，師欣賞，鼓勵(lì)學(xué)生，生板演，得出) （生積極主動(dòng)，推導(dǎo)板演，師欣賞，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索） [生6]（方法一）∵a>0,b>0,∴a2+b2≥2ab，∴a2≥2ab-b2， ∴a3+b3=aa2+bb2≥a(2ab-b2)+b(2ab-a2)=a2b+ab2. [生7]（方法二）∵a>0,b>0,c>0, ∴a3+b3+c3≥3abc， 又∵a>0,b>0， ∴a2b+ab2=aab+abb≤=a3+b3， 即a3+b3≥a2b+ab2. （師：做完一道題目，如果能夠廣開思維方向，積極進(jìn)行多途徑探索，將會(huì)促使你的解題能力快速提高） （讓同學(xué)們進(jìn)行交流、歸納，總結(jié)出上述同學(xué)們完成題目的基本思想） ［生8］對(duì)例1的證明告知我們，運(yùn)用均值不等式解決函數(shù)的最值問題時(shí)，有下面的方法：若兩個(gè)正數(shù)之和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的積有最大值；若兩個(gè)正數(shù)之積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值. [生9]在利用均值不等式求函數(shù)的最值問題時(shí)，我們應(yīng)把握好以下兩點(diǎn)：(1)函數(shù)式中，各項(xiàng)(必要時(shí)，還要考慮常數(shù)項(xiàng))必須都是正數(shù).例如，對(duì)于函數(shù)式x＋，當(dāng)x＜0時(shí)，絕不能錯(cuò)誤地認(rèn)為關(guān)系式x＋≥2成立，并由此得出x＋的最小值是2.事實(shí)上，當(dāng)x＜0時(shí)，x＋的最大值是－2，這是因?yàn)閤＜0－x＞0，－＞0－（x＋）＝（－x）＋（－）≥2＝2x＋≤－2.同時(shí)還可以看出，最大值是－2，它在x＝－1時(shí)取得.(2)函數(shù)式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)，并且只有當(dāng)各項(xiàng)相等時(shí)，才能利用均值不等式求函數(shù)的最值. [生10]在運(yùn)用均值不等式時(shí)應(yīng)注意：“算術(shù)平均數(shù)”是以“和”為其本質(zhì)特征，而“幾何平均數(shù)”是以“積”為其本質(zhì)特征. [師]上述題目的解決啟發(fā)我們：觀察所求式，聯(lián)想所學(xué)公式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出符合公式結(jié)構(gòu)的形式，轉(zhuǎn)化為利用公式求解（數(shù)學(xué)思想方法的提煉） 練一練 求穩(wěn)固 （打出課件三6.2.2 C，讓同學(xué)們通過課堂練習(xí)進(jìn)一步鞏固本節(jié)的重要不等式——均值不等式，以達(dá)到熟練運(yùn)用均值不等式解決問題的能力） Ⅲ.課堂練習(xí) 1.已知x≠0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2＋的值最小?最小值是多少? [生11]x≠0x2＞0，＞0. ∴x2＋≥2＝1８， 當(dāng)且僅當(dāng)x2＝，即x＝3時(shí)取“＝”號(hào). 故x=3時(shí)，x2+的值最小，其最小值是18. 2.一段長(zhǎng)為Ｌ m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少? [生12]（方法一）設(shè)矩形菜園的寬為x　m，則長(zhǎng)為（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜，其面積 S＝x（Ｌ－2x）＝2x（Ｌ－2x）≤， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝Ｌ－2x，即x＝時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)m，寬為 m時(shí)菜園面積最大為 m2. [生13]（方法二）設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，則寬為m，面積 S＝ ≤（m2）. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝Ｌ－x，即x＝（m）時(shí)，矩形的面積最大.也就是菜園的長(zhǎng)為m，寬為m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為m2. 3.設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)f（x）＝的最大值，并求出相應(yīng)的x值. [生14]∵0＜x＜2 ∴3x＞0，8－3x＞0 ∴f（x）＝≤＝4 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝8－3x時(shí)，即x＝時(shí)取“＝”號(hào). 故函數(shù)f（x）的最大值為4，此時(shí)x＝. 4.利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理(均值不等式)，可以很容易地解決本章開始的引言中提出的問題： 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800 m3，深為3 m，如果池底每1 m2的造價(jià)為150元，池壁每1 m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元? ［生15］設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為x　m，則另一邊的長(zhǎng)度為m，又設(shè)水池總造價(jià)為ｌ元.根據(jù)題意，得 ｌ＝150＋120（23x＋23） ＝240000＋720（x＋）. ≥240000＋7202 ＝240000＋720240＝297600. 當(dāng)x＝，即x＝40時(shí)，ｌ有最小值297600. 故當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40 m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元. [師]（巡視，欣賞，幫助個(gè)別學(xué)生解決） ［生16］用均值不等式解決應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行： （留給學(xué)生時(shí)間進(jìn)行討論交流，讓學(xué)生歸納出運(yùn)用均值不等式解決應(yīng)用題的一般步驟） (1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題； (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. [師]同學(xué)們完成得很好！我們繼續(xù)看下面的問題： 議一議 謀發(fā)展 [打出課件四6.2.2 D通過學(xué)生探索、討論，進(jìn)一步加深對(duì)均值不等式的理解，而且激勵(lì)學(xué)生參與或自主發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，感受到知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程，并認(rèn)識(shí)到“合情推理”是發(fā)明、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)（學(xué)生變式思維和創(chuàng)新意識(shí)得到發(fā)展）的重要法寶] [探究性學(xué)習(xí)——點(diǎn)擊高考] 1.已知a>0，b>0，x>0，y>0，=1，求證：x+y≥()2. [學(xué)生探索、討論]巧用條件“1=”的整體代入，變形后應(yīng)用二元均值不等式. [生17]（常見的錯(cuò)誤解法） 由二元均值不等式，得 1=≥2， 即， 所以x+y≥2≥22=4，故x+y≥4. 顯然上述證法中未出現(xiàn)（）2，證法錯(cuò)了. [師]誰勇敢地再來嘗試一下呢？ [生18]（方法一）∵1=， ∴x+y=(x+y)1=(x+y)( )（巧用條件） =a+b+a+b≥a+b+2=()2. 即x+y≥()2. [生19]（方法二）∵=1， ∴設(shè)=sin2θ，=cos2θ(0<θ<)， 則有x=acsc2θ，y=bsec2θ， ∴x+y=acsc2θ+bsec2θ（巧換元） =a(1+cot2θ)+b(1+tan2θ) =a+b+(cotθ)2+(tanθ)2 ≥a+b+2cotθtanθ =()2， 故x+y≥()2. [生20]（方法三）∵=1， ∴y==b+(x>a)， ∴x+y=x+b+（解代消元） =(x-a)++a+b（巧配湊） ≥2+a+b =()2， 即x+y≥()2. [生21]（方法四）若令m=x+y，與=1聯(lián)立消去y，就得關(guān)于x的一元方程.可用判別式法證之.具體步驟：略. [師]（證法的靈活關(guān)鍵在于條件的巧用） 2.若x，y，z∈R，x+y+z=1，求證x2+y2+z2≥. [學(xué)生探索1]從所證不等式是二次式，而已知等式是一次式出發(fā)，易想到先對(duì)條件平方，再設(shè)法用二元均值不等式證之. [生22]（方法一）∵x+y+z=1， ∴1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx ≤x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)=3(x2+y2+z2)， ∴x2+y2+z2≥. [生23]（方法二）3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2) ≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)2=1， 即x2+y2+z2≥. [學(xué)生探索2]活用二元均值不等式的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)條件，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆植鸹蚺錅?易知本例所證不等式取等號(hào)的條件是x=y=z=，此時(shí)x2=y2=z2=，則有如下證法. [生24]（方法三）∵=++, ∴x2+y2+z2=(x2+)(y2+)+(z2+)- ≥2x+2y+2z- =(x+y+z)- =-=， 故x2+y2+z2≥. [生25]（常見的錯(cuò)誤證法） ∵x+y+z=1， ∴令x=-t，y=-2t，z=+3t（t為參數(shù)） 則有x2+y2+z2 =(-t)2+(-2t)2+(+3t)2 =+14t2≥， 即x2+y2+z2≥. [師生交流]上述證法，一方面，在條件x+y+z=1中，只要確定了x,y,z中的兩個(gè)字母的值，其第三個(gè)字母的值也就自然確定了.而另一方面，令x=-t，y=-2t,z=+3t后，只要確定了參數(shù)t的值即可確定出x,y,z的值.這就是上述證法犯了以特殊代替一般的錯(cuò)誤. [學(xué)生探索3]采用增量換元法. [生26]∵x+y+z=1， ∴可設(shè)x=+t1，y=+t2，z=+t3，則有t1+t2+t3=0， ∴x2+y2+z2 =(+t1)2+(+t2)2+(+t3)2 =+(t1+t2+t3)+(t12+t22+t32) =+(t12+t22+t32)≥， 即x2+y2+z2≥. [師]同學(xué)們能從多角度深化題目：“若x,y,z∈R，且x+y+z=1，求證：x2+y2+z2≥”嗎？ （讓同學(xué)們探索、思考、討論、解決，問題激勵(lì)、語言激勵(lì)） [生（齊）]能！ [師]需要老師給你們舉一些例子嗎？ [生]NO！我們自己解決！ [師]好！我相信同學(xué)們一定會(huì)做得很出色！ （問題再次激勵(lì)同學(xué)們?nèi)ヌ剿?、?chuàng)新） （同學(xué)們積極探索、討論，教師巡視、欣賞，指導(dǎo)并幫助個(gè)別學(xué)生舉一些恰當(dāng)?shù)睦樱? [生27]從指數(shù)方向推廣，有如下例子： （1）若x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，求證：x3+y3+z3≥. （2）若x，y，z∈R，x+y+z=1，求證：x4+y4+z4≥. [生28]從項(xiàng)數(shù)方向推廣，有如下例子： （1）若a，b，c，d∈R，a+b+c+d=1，求證：a2+b2+c2+d2≥. （2）若ai∈R(i=1,2,…,n)，a1+a2+…+an=1，求證：a12+a22+…+an2≥. [生29]從指數(shù)和項(xiàng)數(shù)兩方面進(jìn)行推廣，有如下例子： 若a>0，b>0，c>0，d>0，a+b+c+d=1，求證：a3+b3+c3+d3≥. [師]棒極了！更深層次的推廣，還請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中不斷探索創(chuàng)新. [師點(diǎn)]培養(yǎng)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，重在點(diǎn)擊悟性、打開思路、啟迪智慧、授之以法.讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)溝通、學(xué)會(huì)運(yùn)用.注重發(fā)散思維和聚斂思維訓(xùn)練，脫離題海，給高考“善事”以“利器”之技巧. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) [師]我們一起回憶，小結(jié)這節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容. [生]（總結(jié)）本節(jié)課我們用均值不等式順利解決了函數(shù)的一些最值問題.在解決問題時(shí)，我們重點(diǎn)從以下三個(gè)方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項(xiàng)都取正值)；二是合理尋求各因式的和或項(xiàng)的積為定值；三是確定等號(hào)能夠成立.同時(shí)，我們用探究性的學(xué)習(xí)方法，在分析具體問題特點(diǎn)的過程當(dāng)中合理運(yùn)用公式的適當(dāng)形和具體方式，解決某些實(shí)際問題，實(shí)實(shí)在在地提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新能力，能順利面對(duì)新的挑戰(zhàn). Ⅴ.課后作業(yè) (一)1.預(yù)習(xí)：課本P12　6.3.1 不等式的證明. 2.預(yù)習(xí)提綱： (1)用比較法證明不等式. (2)用比較法證明不等式的一般步驟： 作差(或商)→變形→判斷差（或商）的符號(hào)(差與零或商與1的大小)→得證. （二）做一做 肯定行 課本P11習(xí)題6.2 4、5、7 ●板書設(shè)計(jì) 6.2.2 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(二) 想一想 公式通 （公式 性質(zhì)） 試一試 尋思路 （例題 探索） 練一練 求穩(wěn)固 （內(nèi)容 鞏固） 議一議 謀發(fā)展 （點(diǎn)擊高考 知識(shí)創(chuàng)新） 做一做 肯定行 （探究學(xué)習(xí) 掌握策略）