2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積課堂探究 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積課堂探究 新人教B版必修2 探究一 棱柱、棱錐、棱臺的面積問題 對于多面體，只有直棱柱，正棱錐和正棱臺可直接用公式求側(cè)面積，其余多面體的側(cè)面積要把每個側(cè)面積求出來再相加，求解時還要注意區(qū)分是求側(cè)面積還是表面積． 【典型例題1】 如圖所示，正四棱錐底面正方形的邊長為4 cm，高與斜高的夾角為30，求該正四棱錐的側(cè)面積和表面積． 思路分析：根據(jù)多面體的側(cè)面積公式，必須求出相應(yīng)多面體的底面邊長和各側(cè)面的斜高，我們可以把問題轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)加以分析求解． 解：正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成一個Rt△POE． 因為OE＝2 cm，∠OPE＝30， 所以PE＝＝4(cm)． 因此S正四棱錐側(cè)＝ch′＝444＝32(cm2)， S正四棱錐表＝S正四棱錐側(cè)＋S正四棱錐底＝32＋44＝48(cm2)． 點評解決此類題目先利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解相應(yīng)的元素，再代入面積公式求解．空間幾何體的表面積運算，一般先轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運算，再充分利用平面幾何圖形的特性通過解三角形完成基本量的運算． 【典型例題2】 已知正六棱臺的兩底面邊長分別為1 cm和2 cm，高是1 cm，求它的側(cè)面積． 解：如圖所示是正六棱臺的一個側(cè)面及其高組成的一部分(其余部分省略)，則側(cè)面ABB1A1為等腰梯形，OO1為高，且OO1＝1 cm，AB＝1 cm，A1B1＝2 cm，取AB和A1B1的中點C，C1，連接OC，CC1，O1C1，則CC1為正六棱臺的斜高，且四邊形OO1C1C為直角梯形． 根據(jù)正六棱臺的性質(zhì)可得， OC＝AB＝ (cm)， O1C1＝A1B1＝(cm)， 所以CC1＝＝ (cm)．又知上、下底面周長分別為c＝6AB＝6(cm)，c′＝6A1B1＝12(cm)，斜高h′＝CC1＝cm．所以正六棱臺的側(cè)面積為S正六棱臺側(cè)＝(c＋c′)h′＝(6＋12)＝(cm2)． 點評求正棱臺的側(cè)面積同正棱錐類似，除了利用相對應(yīng)的側(cè)面積公式，也要利用正棱臺中的核心直角梯形． 探究二 圓柱、圓錐、圓臺的面積問題 1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式：S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓錐側(cè)＝πrl，S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l， 如上圖，當(dāng)r1變化時，相應(yīng)的圖形也隨之變化，當(dāng)r1＝0，r2＝r時，相應(yīng)的圓臺就轉(zhuǎn)化為圓錐，而當(dāng)r1＝r2＝r時，相應(yīng)的圓臺就轉(zhuǎn)化為圓柱，相應(yīng)的側(cè)面積公式也隨之變化． 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的變化關(guān)系為 S圓柱側(cè)＝2πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)lS圓錐側(cè)＝πrl． 2．對于圓錐還要明確如下結(jié)論： (1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形． (2)圓錐的底面周長?扇形的弧長． (3)圓錐的母線長?扇形的半徑． (4)S扇形＝(其中n為扇形圓心角的度數(shù)，r為扇形的半徑)． 【典型例題3】 (1)圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側(cè)面積為(　　) A．12π B．24π C．15π D．30 解析：作圓錐軸截面如圖，高AD＝4，底面半徑CD＝3，則母線AC＝5，得S側(cè)＝π35＝15π． 答案：C (2)矩形的邊長分別為1和2，分別以這兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，所形成幾何體的側(cè)面積之比為(　　) A．1∶2 B．1∶1 C．1∶4 D．1∶3 解析：以邊長1的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S1＝2π21＝4π，以2所在邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S2＝2π12＝4π，故S1∶S2＝1∶1，選B． 答案：B 探究三 球的切接問題 對球的表面積公式的考查，通常與球的性質(zhì)結(jié)合在一起．與其他多面體和旋轉(zhuǎn)體組合也是考查球的表面積的一種常見方式． 常見的有關(guān)球的一些性質(zhì)： (1)長方體的8個頂點在同一個球面上，則長方體的體對角線是球的直徑；球與正方體的六個面均相切，則球的直徑等于正方體的棱長；球與正方體的12條棱均相切，則球的直徑是正方體的面對角線． (2)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑． 【典型例題4】 (1)已知長方體的長、寬、高分別為2,3,6，則其外接球的表面積為(　　) A．196π B．49π C．44π D．36π 解析：長方體的體對角線長為＝7，所以其外接球的直徑為2R＝7，即R＝，所以它的表面積為4πR2＝49π．故選B． 答案：B (2)已知圓臺內(nèi)有一表面積為144π cm2的內(nèi)切球，如果圓臺的下底面與上底面半徑之差為5 cm，求圓臺的表面積． 解：其軸截面如圖所示，設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r1，r2，母線長為l，球半徑為R，則r2－r1＝5，母線l＝r1＋r2． 因為4πR2＝144π，所以R＝6． 又l2＝(2R)2＋(r2－r1)2， 所以(r1＋r2)2＝(2R)2＋(r2－r1)2＝(26)2＋52＝132． 所以r1＋r2＝13． 結(jié)合r2－r1＝5得r1＝4，r2＝9，所以l＝13． 所以S圓臺表＝＋＋π(r1＋r2)l ＝π42＋π92＋π(4＋9)13＝266π(cm2)． 探究四 易錯辨析 易錯點：因考慮不全面而致誤 【典型例題5】 用互相平行且距離為27的兩個平面截球面，兩個截面圓的半徑分別為r1＝15，r2＝24，試求球的表面積． 錯解：設(shè)球的半徑為R，由題意可設(shè)球心到兩平行平面的距離為OO1＝d1，OO2＝d2，如圖所示， 可得d1，d2，R之間的關(guān)系： 所以225＋＝576＋(27－d1)2， 解得d1＝20，d2＝7，R＝25． 所以S球＝4πR2＝2 500π． 錯因分析：錯解中只分析了兩平行平面位于球心異側(cè)的情況，還應(yīng)該討論兩平行平面位于球心同側(cè)的情況． 正解：設(shè)球的半徑為R，球心O到兩平行截面的距離分別為OO1＝d1，OO2＝d2． (1)當(dāng)兩平行截面位于球心O異側(cè)時， 如圖①，則 所以225＋＝576＋(27－d1)2． 解得d1＝20，d2＝7，R＝25． 所以S球＝4πR2＝2 500π． (2)當(dāng)兩平行截面位于球心O同側(cè)時，如圖②，則所以225＋＝576＋(d1－27)2． 解得d1＝20，d2＝－7，不符合題意，即這種情況不存在． 綜上可知，球的表面積為2 500π．