2019-2020年高中數(shù)學 第五課時 任意角的三角函數(shù)教案(1) 蘇教版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第五課時 任意角的三角函數(shù)教案(1) 蘇教版必修4教學目標:理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義,理解并掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù),掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域;使學生通過任意角三角函數(shù)的定義,認識銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例,加深特殊與一般關(guān)系的理解.教學重點:任意角三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.教學難點:正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.教學過程:.課題導(dǎo)入在初中我們學習了銳角三角函數(shù),它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),前面我們對角的概念進行了擴充,并學習了弧度制,知道角的集合與實數(shù)集是一一對應(yīng)的,在這個基礎(chǔ)上,今天我們來研究任意角的三角函數(shù).講授新課對于銳角三角函數(shù),我們是在直角三角形中定義的,今天,對于任意角的三角函數(shù),我們利用平面直角坐標系來進行研究.設(shè)是一個頂點在原點,始邊在x軸正半軸上的任意角,的終邊上任意一點P的坐標是(x,y)(非頂點).它與原點的距離是r(r0)注意:(1)以后我們在平面直角坐標系內(nèi)研究角的問題,其頂點都在原點,始邊都與x軸的正半軸重合.(2)OP是角的終邊,至于是轉(zhuǎn)了幾圈,按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚,也只有這樣,才能說明角是任意的.(3)角的終邊只要不落在坐標軸上,就只能是象限角.(4)角的終邊不是不能落在坐標軸上,而是說落在坐標軸上的情況屬于特殊情形,我們將在研究問題的過程中對其進行討論.那么,(1)比值 叫做的正弦,記作sin,即sin .(2)比值 叫做的余弦,記作cos,即cos. (3)比值 叫做的正切,記作tan,即tan .以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).確定的角,它的終邊上任意一點P的坐標都是變量,它與原點的距離r也是變量,這三個變量的三個比值究竟是確定的還是變化的?根據(jù)相似三角形的知識,對于終邊不在坐標軸上確定的角,上述三個比值都不會隨P點在的終邊上的位置的改變而改變.當角的終邊在縱軸上時,即k(kZ)時,終邊上任意一點P的橫坐標x都為0,所以tan無意義,除此之外,對于確定的角,上面的三個比值都是唯一確定的實數(shù),這就是說,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).注意:(1)sin是個整體符號,不能認為是“sin”與“”的積.其余兩個符號也是這樣.(2)定義中只說怎樣的比值叫做的什么函數(shù),并沒有說的終邊在什么位置(終邊在坐標軸上的除外),即函數(shù)的定義與的終邊位置無關(guān).(3)比值只與角的大小有關(guān).我們已經(jīng)給出了任意角三角函數(shù)的定義,請同學們考慮并比較一下,我們給出的任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義,有什么聯(lián)系與區(qū)別?正弦函數(shù)值是縱坐標比距離,余弦函數(shù)值是橫坐標比距離,正切函數(shù)值是縱坐標比橫坐標.由于角的集合與實數(shù)集R之間是一一對應(yīng)的,所以三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù).我們知道,函數(shù)有三個要素,即定義域、值域、對應(yīng)法則,下面我們就來研究正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,值域問題待后再作研究.對于正弦函數(shù)sin,因為r0,所以 恒有意義,即取任意實數(shù),恒有意義,也就是說sin恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對于正切函數(shù)tan,因為x0時,無意義,即tan無意義,又當且僅當角的終邊落在縱軸上時,才有x0,所以當?shù)慕K邊不在縱軸上時,恒有意義,即tan恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是k(kZ).為了幾何表示的需要,我們先來看單位圓的概念:以原點為圓心,單位長為半徑的圓稱為單位圓.單位長如1 cm、1 dm、1m、1 km等等,都是1個單位長,它們的單位雖不同,但長度都是1個單位長.即單位圓的半徑是1(個單位長).在平面直角坐標系內(nèi),作單位圓,設(shè)任意角的頂點在原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊與單位圓相交于點P(x,y),x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0),過P作x軸的垂線,垂足為M;過A作單位圓的切線,這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行),設(shè)它與角的終邊或其反向延長線交于點T.顯然,線段OM的長度為x,線段MP的長度為y,它們都只能取非負值.當角的終邊不在坐標軸上時,我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段。如果x0,OM與x軸同向,規(guī)定此時OM具有正值x;如果x0,OM與x軸正向相反(即反向),規(guī)定此時OM具有負值x,所以不論哪一種情況,都有OMx.如果y0,把MP看作與y軸同向,規(guī)定此時MP具有正值y;如果y0,把MP看作與y軸反向,規(guī)定此時MP具有負值y,所以不論哪一種情況,都有MPy,由上面所述,OM、MP都是帶有方向的線段,這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段(即規(guī)定了起點和終點),把它們的長度添上正號或負號,這樣所得的數(shù),叫做有向線段的數(shù)量,記為AB于是,根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義,就有sin yMPcos xOM這兩條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM分別叫做角的正弦線、余弦線.類似地,我們把OA、AT也看作有向線段,那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識,就有tan AT這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT,叫做角的正切線.注意:(1)當角的終邊在y軸上時,余弦線變成一個點,正切線不存在.(2)當角的終邊在x軸上時,正弦線、正切線都變成點.(3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段,所以作某角的三角函數(shù)線時,一定要先作單位圓.(4)線段有兩個端點,在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時,要先寫起點字母,再寫終點字母,不能顛倒;或者說,含原點的線段,以原點為起點,不含原點的線段,以此線段與x軸的公共點為起點.(5)三種有向線段的正負與坐標軸正反方向一致,三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同.正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.例題分析例1已知角的終邊經(jīng)過點P(2,3)(如圖),求的三個三角函數(shù)值.解:x2,y3r于是sin costan 例2求下列各角的三個三角函數(shù)值.(1)0 (2) (3) 解:(1)因為當0時,xr,y0,所以sin00 cos01 tan00 (2)因為當時,xr,y0,所以sin0 cos1 tan0 (3)因為當時,x0,yr,所以sin1 cos0 tan不存在 .課堂練習課本P16練習 1、2、3.課時小結(jié)任意角三角函數(shù)的定義,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域,單位圓的概念,有向線段的定義,正弦線、余弦線、正切線的定義,這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段,其之所以特殊,一是其與坐標軸平行(或重合),二是其與單位圓有關(guān),這些線段分別都可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的值,所以說它們是三角函數(shù)的一種幾何表示.課后作業(yè)課本P23習題 1、2、3.任意角的三角函數(shù)(一)1sin1、cos1、tan1的大小關(guān)系是 ( )A.tan1cos1sin1 B.sin1cos1tan1C.sin1tan1cos1 D.cos1sin1tan12已知角的正弦線和余弦線是方向一正一反、長度相等的有向線段,則的終邊在( )A.第一象限角平分線上 B.第二象限角平分線上C.第二或第四象限角平分線上 D.第一或第三象限角平分線上3如果,那么下列各式中正確的是 ( )A.costansin B.sincostanC.tansincos D.cossintan4若點P(3,y)是角終邊上一點,且sin,則y的值是_. 5已知角終邊上一點P的坐標是(4a,3a)(a0),則sin_,cos_,tan_. 6如果角的頂點在坐標原點,始邊與x軸的正半軸重合.終邊在函數(shù)y3x(x0)的圖象上,則sin_,cos_,tan_. 7已知角的終邊上一點P的坐標是(x,2)(x0),且cos,求sin和tan的值.8已知角終邊上有一點P(x,1)(x0),且cosx,求sin的值.9已知是第一象限角,試利用三角函數(shù)線證明:sin+cos1.任意角的三角函數(shù)(一)答案1D 2C 3D 4 5 6 37已知角的終邊上一點P的坐標是(x,2)(x0),且cos,求sin和tan的值.分析:r,又cos,即rx3x由于x0,r3 x249 x25,x.當x時,P點的坐標是(,2).sin ,tan .當x時,P點的坐標是(,2)sin ,tan .答案:當x時,sin,tan當x時,sin,tan8已知角終邊上有一點P(x,1)(x0),且cosx,求sin的值.分析:由任意角的三角函數(shù)的定義cosx,r2 sin.另:用x、1表示出r,即r再由cosx,求出x.進一步求得sin也可.9已知是第一象限角,試利用三角函數(shù)線證明:sin+cos1.提示:作出單位圓以及正弦線、余弦線,利用三角形兩邊和大于第三邊可證得.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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