2019-2020年高中數(shù)學 2.5.1 平面幾何中的向量方法備課資料 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 2.5.1 平面幾何中的向量方法備課資料 新人教A版必修4 一、利用向量解決幾何問題的進一步探討 用平面向量的幾何運算處理平面幾何問題有其獨到之處,特別是處理線段相等,線線平行,垂直,點共線,線共點等問題,往往簡單明了,少走彎路,同時避免了復雜,煩瑣的運算和推理,可以收到事半功倍的效果.現(xiàn)舉幾例以供教師、學生進一步探究使用. 1.簡化向量運算 圖11 例1 如圖11所示,O為△ABC的外心,H為垂心,求證:. 證明:如圖11,作直徑BD,連接DA,DC,有=, 且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB, 故CH∥DAH∥DC,得四邊形AHCD是平行四邊形. 從而=. 又= 得 即. 2.證明線線平行 例2 如圖12,在梯形ABCD中,E,F分別為腰AB,CD的中點. 求證:EF∥BC,且||=(||+||). 圖12 證明:連接ED,EC,∵AD∥BC,可設=λ(λ>0), 又E,F是中點,∴+=0, 且=(+). 而+=+++ =+=(1+λ), ∴=,EF與BC無公共點, ∴EF∥BC.又λ>0, ∴||=(||+|λ|)=(||+||). 3.證明線線垂直 圖13 例3 如圖13,在△ABC中,由A與B分別向對邊BC與CA作垂線AD與BE,且AD與BE交于H,連接CH,求證:CH⊥AB. 證明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC, 有 又 故有(+)=0, 且=0, 兩式相減,得=0, 即=0,∴⊥. 4.證明線共點或點共線 圖14 例4 求證:三角形三中線共點,且該點到頂點的距離等于各該中線長的. 已知:△ABC的三邊中點分別為D,E,F(如圖14). 求證:AE,BF,CD共點,且. 證明:設AE,BF相交于點G,=λ1, 由定比分點的向量式有 =, 又F是AC的中點,, 設, 則, ∴ ∴ 即=. 又==(CA+2CE) =(+)=, ∴C,G,D共線,且=. 二、備用習題 1.有一邊長為1的正方形ABCD,設=a,=b,=c,則|a-b+c|=_______________. 2.已知|a|=2,|b|=,a與b的夾角為45,則使λb-a與a垂直的λ=____________. 3.在等邊△ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,則ab+bc+ca=____________. 4.已知三個向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三點共線,則k=_________. 圖15 5.如圖15所示,已知矩形ABCD,AC是對角線,E是AC的中點,過點E作MN交AD于點M,交BC于點N,試運用向量知識證明AM=CN. 6.已知四邊形ABCD滿足||2+||2=||2+||2,M為對角線AC的中點.求證:||=||. 7.求證:如果一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊,那么這兩個角相等或互補. 參考答案: 1.2 2.2 3.- 4.-2或11 圖16 5.建立如圖16所示的直角坐標系,設BC=a,BA=b,則C(a,0),A(0,b),E(). 又設M(x2,b),N(x1,0),則 =(x2,0),=(x1-a,0). ∵, ∴(=0. ∴x2=a-x1. ∴||= 而||= ∴||=||, 即AM=CN. 6.設=a,=b,=c,=d, ∵a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d). ∴a2+b2+2ab=c2+d2+2cd. ① ∵||2+||2=||2+||2, ∴a2+b2=(-d)2+(-c)2=c2+d2. ② 由①②得ab=cd. 圖17 ∵M是AC的中點,如圖17所示, 則=(d-c),=(b-a). ∴||2=2=(b2+a2-2ab), ||2=2=(d2+c2-2cd). ∴||2=||2. ∴||=||. 7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′. 求證:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π. 證明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′, ∴=λ(λ∈R,λ≠0),=μ(μ∈R,μ≠0). ∴cos∠AOB=. cos∠A′O′B′=, 當與,與均同向或反向時,取正號, 即cos∠AOB=cos∠A′O′B′. ∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π), ∴∠AOB=∠A′O′B′. 當與,與只有一個反向時,取負號, 即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′). ∵∠AOB,π-∠A′O′B′∈(0,π), ∴∠AOB=π-∠A′O′B′. ∴∠AOB+∠A′O′B′=π. ∴命題成立. (設計者：鄭吉星)