2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時(shí)） 大綱人教版必修.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時(shí)） 大綱人教版必修 ●課時(shí)安排 2 課時(shí) ●從容說課 本小節(jié)內(nèi)容包括兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理及其證明，此定理在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的應(yīng)用等.本小節(jié)教學(xué)時(shí)間約需2課時(shí). 1.在公式a2+b2≥2ab以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學(xué)中，要讓學(xué)生注意以下兩點(diǎn)： （1）a2+b2≥2ab和成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).例如(-1)2+(-4)2≥2(-1)(-4)成立，而不成立. （2）這兩個(gè)公式都是帶有等號(hào)的不等式，因此對其中的“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)取‘=’號(hào)”這句話的含義要搞清楚.教學(xué)時(shí)，要提醒學(xué)生從以下兩個(gè)方面來理解這句話的含義： 當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，其含義就是 a=b； 僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，其含義就是 a=b. 綜合起來，其含義就是：a=b是的充要條件. 2.兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理可以進(jìn)一步引申出定理“n個(gè)（n是大于1的整數(shù)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”（見課本P24“小結(jié)與復(fù)習(xí)”前的“閱讀材料”）. 的幾何意義是“半徑不小于半弦”（見課本P9圖6-2中的幾何意義及其說明）. 當(dāng)用公式a2+b2≥2ab，證明不等式時(shí)，應(yīng)該使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學(xué)習(xí)）證出的.因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明. 3.利用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，我們可以求某些非二次函數(shù)的最大值、最小值.例如課本第3頁上的引例，題中的函數(shù)x+不是二次函數(shù)，要求它在定義域（0，+∞）內(nèi)的最小值，僅用學(xué)生過去學(xué)過的二次函數(shù)的知識(shí)是無法解決的，現(xiàn)在從x與的積為常數(shù)（即它們的幾何平均數(shù)為常數(shù)）這一點(diǎn)出發(fā)，問題很容易解決了. 在利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系求某些函數(shù)的最大值、最小值時(shí)，應(yīng)該使學(xué)生注意以下兩點(diǎn)： （1）函數(shù)式中，各項(xiàng)（必要時(shí)，還要考慮常數(shù)項(xiàng)）必須都是正數(shù).例如對于函數(shù)式x+，當(dāng)x<0時(shí)，不能錯(cuò)誤地認(rèn)為關(guān)系式x+≥2成立，并由此得出x+的最小值是2.事實(shí)上，當(dāng)x<0時(shí)，x+的最大值是-2，這是因?yàn)? x<0-x>0，->0 -(x+)=(-x)+(-)≥2， x+≤-2. 可以看出，最大值是-2，它在x=-1時(shí)取得. （2）函數(shù)式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)，并且只有當(dāng)各項(xiàng)相等時(shí)，才能利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系求某些函數(shù)的最大值或最小值. 以上兩點(diǎn)都是學(xué)生容易疏忽的地方，必須予以注意. 4.課本在P10例2之后解決了本章引例中的問題.在應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實(shí)際問題時(shí)，要讓學(xué)生注意： （1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； （2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題； （3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； （4）正確寫出答案. 5.兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)（若a，b是正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），這個(gè)定理可簡稱為均值定理.它具體表現(xiàn)在： （1）均值定理的功能在于“和與積”的互化.若所證不等式可變形成一邊為和，另一邊為積的形式，則可以考慮使用均值定理.構(gòu)造運(yùn)用均值定理解題的常用技巧是拆添項(xiàng)或配湊因式. （2）“和定積最大，積定和最小”，即和為定理，則可求其積的最大值；反過來，若積為定值，則可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論須注意如下三點(diǎn)：①各項(xiàng)或各因式均正；②和或積為定值；③各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.必要時(shí)須作適當(dāng)?shù)淖冃?，以滿足上述前提. 總之，用均值定理求函數(shù)的最大值或最小值是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，三個(gè)必要條件——即一正（各項(xiàng)的值為正）二定（各項(xiàng)的和或積為定值）三相等（取等號(hào)的條件）更是相關(guān)考題瞄準(zhǔn)的焦點(diǎn).在具體的題目中，“正數(shù)”條件往往從題設(shè)中獲得解決，“相等”條件也易驗(yàn)證確定，而要獲得“定值”條件卻常常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn)，它需要一定的靈活性和變形技巧.因此，“定值”條件決定著均值不等式應(yīng)用的可行性，這是解決問題成敗的關(guān)鍵. 均值定理是不等式的一個(gè)重要的變形依據(jù)，是每年高考中不可缺少的解題工具，常應(yīng)用于證明不等式、判斷不等式是否成立、求函數(shù)的值域或最值、求字母的取值范圍、求解實(shí)際問題等，它所能解決的題型遍布高考試卷的選擇、填空及解答題. ●課 題 6.2.1 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（一） ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)). 2.算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)及它們的關(guān)系. (二)能力訓(xùn)練要求 1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理. 2.理解這個(gè)定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等. 3.強(qiáng)化訓(xùn)練探究性學(xué)習(xí). (三)德育滲透目標(biāo) 通過掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用公式的適當(dāng)變形，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力.滲透數(shù)學(xué)思想方法，激勵(lì)學(xué)生去取得成功. ●教學(xué)重點(diǎn) 1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)). 2.如果a、b是正數(shù)，則為a、b的算術(shù)平均數(shù)，是a、b的幾何平均數(shù)，且有“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”.即定理：如果a、b是正數(shù)，那么≥ (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)). 3.上面兩個(gè)公式都帶有等號(hào)的不等式，其中的“當(dāng)且僅當(dāng)”…時(shí)取“＝”號(hào)的含義是：當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，即a＝b＝；僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，即＝a＝b.綜合起來，就是a＝b是＝的充要條件. ●教學(xué)難點(diǎn) 1.a2＋b2≥2ab和≥成立的條件不相同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù). 2.這兩個(gè)公式還可以變形用來解決有關(guān)問題. ab≤，ab≤（）2 ●教學(xué)方法 1.啟發(fā)式教學(xué)法 2.激勵(lì)——探索——討論——發(fā)現(xiàn). ●教具準(zhǔn)備 幻燈片兩張 第一張：記作6.2.1 A 1.差值比較法： (1) 依據(jù)：a＞ba－b＞0；a＝ba－b＝0；a＜ba－b＜0. (2) 步驟：作差→變形→判斷差值符號(hào)→得出結(jié)論. (3) 用途： ①比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??； ②證明不等式的性質(zhì)； ③證明不等式和解不等式. 第二張：記作6.2.1 B 1.不等式的基本性質(zhì)： (1)反對稱性： a＞bb＜a； (2)傳遞性： a＞b，b＞ca＞c； (3)可加性： a＞ba＋c＞b＋c； (4)可積性： a＞b，c＞0ac＞bc， a＞b，c＜0ac＜bc； (5)加法法則： a＞b，c＞da＋c＞b＋d； (6)乘法法則： a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd； (7)乘方法則： a＞b＞0an＞bn（n∈N）； (8)開方法則： a＞b＞0（n∈N） 2.應(yīng)用：已知a、b為正實(shí)數(shù)，m、n∈N*且m＞n，求證：am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 不等式在生產(chǎn)實(shí)踐和相關(guān)的學(xué)科中應(yīng)用非常廣泛，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要工具，所以不等式是高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn).我們有必要重新回顧“差值”比較法，不等式的基本性質(zhì)，以便在今后學(xué)習(xí)中得到鞏固和靈活運(yùn)用. (一)打出幻燈片6.2.1 A，請同學(xué)們回答： ［師］“差值”比較法解決問題的一般步驟是什么?主要解決哪些問題? 通過師生積極對話，簡要作一下概括，打出幻燈片6.2.1 A，使學(xué)生明確：“差值”比較法的三個(gè)重要方面.即①依據(jù)是：a＞ba－b＞0；a＝ba－b＝0；a＜ba－b＜0；②一般步驟是：作差→變形→判斷差值符號(hào)→得出結(jié)論；③主要用途：兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較；不等式性質(zhì)的證明；證明不等式及解不等式. (二)不等式性質(zhì)的鞏固及應(yīng)用(投影片6.2.1 B) 課堂上，充分發(fā)揮師生的雙邊活動(dòng)，共同復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)，共同歸納，打出投影片6.2.1 B，使學(xué)生掌握下列不等式的基本性質(zhì)：(1)反對稱性a＞bb＜a；(2)傳遞性a＞b，b＞ca＞c；（3）可加性a＞ba＋c＞b＋c；(4)可積性a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；(5)加法法則a＞b，c＞da＋c＞b＋d；(6)乘法法則a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd；（７）乘方法則a＞b＞0an＞bn（n∈N）；(8)開方法則a＞b＞0（n∈N). 為更好地鞏固不等式的性質(zhì)，在教師引導(dǎo)下讓學(xué)生做如下練習(xí)： 已知a、b為正實(shí)數(shù)，m、n∈N*且m＞n，求證： am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. ［師］本題考查同學(xué)們正確地理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì).在運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)，多觀察，多思考，考慮問題一定要全面細(xì)致.請同學(xué)們自己完成本題證明過程. ［生］（am＋bm）－（am－nbn＋anbm－n） ＝（am－am－nbn）＋（bm－anbm－n） ＝am－n（an－bn）＋bm－n（bn－an） ＝（am－n－bm－n）（an－bn） ∵m＞n＞1，a＞0，b＞0 ∴當(dāng)a＞b＞0時(shí)，則am－n＞bm－n，an＞bn ∴（am－n－bm－n）（an－bn）＞0 當(dāng)a＝b＞0時(shí)，則（am－n－bm－n）（an－bn）＝0 當(dāng)b＞a＞0時(shí)，則bm－n＞am－n，bn＞an ∴（am－n－bm－n）（an－bn）＞0 綜上所述，當(dāng)a、b為正實(shí)數(shù)，m、n∈N*且m＞n時(shí)，(am-n-bm-n)(an-bn)≥0 即am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. 下面，我們利用不等式的性質(zhì)，研究推導(dǎo)下列重要的不等式. Ⅱ.講授新課 重要不等式： 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)). ［師］請同學(xué)們利用我們已學(xué)過不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，來證明這個(gè)重要不等式. ［生］a2＋b2－2ab＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ∵a，b∈R ∴當(dāng)a＝b時(shí)，a－b＝0 即a2＋b2＝2ab 當(dāng)a≠b時(shí)，a－b≠0 ∴（a－b）2＞0 即a2＋b2＞2ab 綜上所述：若a，b∈R，則a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)). ［師生共析］很明顯，在此不等式中：a＝ba2＋b2＝2ab. 即當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，其含義是a＝ba2＋b2＝2ab；僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，其含義是a2＋b2＝2aba＝b. 定理 如果a，b是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)). ［師］本定理既可運(yùn)用不等式性質(zhì)完成證明，又可運(yùn)用上述重要不等式：“若a，b∈R，則a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào))”為依據(jù)完成證明.(把同學(xué)們分成兩組，分別從兩種思路中完成證題過程). ［生甲］∵a，b為正數(shù) ∴a＞0，b＞0 ∴a＝（）2，b＝（）2 ∴ 當(dāng)a＝b即＝時(shí)，＝0，有. 當(dāng)a≠b即≠時(shí)，＞0，有 綜上所述，當(dāng)a、b為正數(shù)時(shí)，有 (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)). ［生乙］∵a，b是正數(shù) ∴（）2＋（）2≥2 ∴a＋b≥2 顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)， 即. 評(píng)述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng). 2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 下面，我們給出定理：“如果a、b是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)）”的一種幾何解釋(如圖所示) 以a＋b長的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使AC＝a，ＣB＝b.過點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD′，連接AD、DB，易證Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，那么ＣD2＝ＣAＣB 即CD＝. 這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立. ［例題］已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求證：. ［師］本題結(jié)論中，注意互為倒數(shù)，它們的積為1，可利用公式a＋b≥2，但要注意條件a、b為正數(shù).故此題應(yīng)從已知條件出發(fā)，經(jīng)過變形，說明為正數(shù)開始證題. (在教師引導(dǎo)，學(xué)生積極參與下完成證題過程) ［生］∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx） ∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx ∴ax－ay＋by－bx＞0 ∴（ax－bx）－（ay－by）＞0 ∴（a－b）（x－y）＞0 即a－b與x－y同號(hào) ∴均為正數(shù) ∴＝2(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)) ∴≥2. ［師生共析］我們在運(yùn)用重要不等式a2＋b2≥2ab時(shí)，只要求a、b為實(shí)數(shù)就可以了.而運(yùn)用定理：“”時(shí)，必須使a、b滿足同為正數(shù).本題通過對已知條件變形(恰當(dāng)?shù)匾蚴椒纸?，從討論因式乘積的符號(hào)來判斷是正還是負(fù)，是我們今后解題中常用的方法. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證“ （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc 分析：對于此類題目，選擇定理：（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結(jié)果. 答案：∵a，b，c都是正數(shù) ∴a＋b≥2＞0 b＋c≥2＞0 c＋a≥2＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥222＝8abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 2.已知x、y都是正數(shù)，求證： (1)≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3. 分析：在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形. 答案：∵x，y都是正數(shù) ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1)＝2即≥2. (2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3） ≥222＝8x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3. 3.求證：（）2≤. 分析：利用完全平方公式，結(jié)合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰當(dāng)變形，是證明本題的關(guān)鍵. 答案：∵a2＋b2≥2ab ∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2 ∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2 不等式兩邊同除以4，得 ≥（）2 即（）2≤. (探究性學(xué)習(xí)——點(diǎn)擊高考) 本部分的設(shè)計(jì)堅(jiān)持從“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”這一聚焦性的問題出發(fā)，通過對給定題目題設(shè)條件的不斷變化，創(chuàng)設(shè)新的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、自主探究、自主創(chuàng)新，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，充分激發(fā)學(xué)生探究問題的動(dòng)機(jī)和興趣，在探究過程中系統(tǒng)地掌握知識(shí)、開發(fā)智力、培養(yǎng)能力和挖掘潛能.以便適應(yīng)將來高考中以數(shù)學(xué)思想方法考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、聰明程度、素質(zhì)和潛能. （注：為節(jié)省時(shí)間，本部分可借助多媒體課件完成） 題目：某校辦工廠有毀壞的房屋一幢，留有一面14 m的舊墻，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面墻的一段為面墻，建造平面圖形為矩形且面積為126 m2的廠房（不管墻高），工程造價(jià)是： （1）修1 m舊墻費(fèi)用是造1 m新墻費(fèi)用的25%； （2）拆去1 m舊墻用所得材料來建1 m新墻的費(fèi)用是建1 m新墻費(fèi)用的50%； 問如何利用舊墻才能使建墻費(fèi)用最低？ [師]看上面的問題，同學(xué)們?nèi)绾谓鉀Q？ （學(xué)生探索——討論——分析——?dú)w納） [生]從題設(shè)條件中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立解題的目標(biāo)函數(shù)（即建立數(shù)學(xué)模型），然后用二元均值不等式求得最小值. [師]同學(xué)們分析得很好！哪位同學(xué)能勇敢地在黑板上寫出解答過程呢？ （問題激勵(lì)，語言激勵(lì)，生解答，師欣賞） [生甲]設(shè)保留舊墻x(m)，即拆去舊墻14-x(m)修新墻.若設(shè)建1 m新墻費(fèi)用為a元，則修舊墻的費(fèi)用為y1=25%ax=ax；拆舊墻建新墻的費(fèi)用為y2=(14-x)50%a=a(14-x)；建新墻的費(fèi)用為： y3=(+2x-14)a. 于是，所需要的總費(fèi)用為 y=y1+y2+y3 =[(x+)-7]a ≥[2-7]a =35a， 當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=12時(shí)上式中“=”成立. 故保留12 m舊墻時(shí)總費(fèi)用為最低. [師]很好！我們學(xué)習(xí)公式的目的是應(yīng)用它能解決問題.本題中我們巧用了“a+b≥2(a>0，b>0)”達(dá)到解題目的.請同學(xué)們想一想：“a+b≥2(a>0，b>0)”還有些什么變形形式呢？ [生乙]針對二元均值不等式，還有如下變形值得我們學(xué)習(xí)： a+b≥2(a>0，b>0)； ≤(a>0，b>0)； ab≤()2(a>0，b>0)； a2+b2≥2ab(a,b∈R)； ab≤(a,b∈R). （以上公式變形對比記憶，區(qū)別異同）. ≥2(a>0，b>0). [師]棒極了！上述不等式及其變形，在解答最值型實(shí)際應(yīng)用題中有著十分廣泛的應(yīng)用.同學(xué)們能編幾道運(yùn)用上述不等式及其變形求解實(shí)際應(yīng)用題的例子嗎？ [生（齊）]能，我們自己編！ [師]好！我相信同學(xué)們一定會(huì)做得很出色！ [問題再次激勵(lì)同學(xué)們?nèi)シe極探索、發(fā)現(xiàn)、討論、歸納，師巡視、欣賞，在啟發(fā)、激勵(lì)下幫助個(gè)別學(xué)生解決問題.經(jīng)同學(xué)們積極探索、討論后，把具有代表性的問題（學(xué)生的創(chuàng)新思維進(jìn)一步得到升華）摘錄下來供大家在交流中得到解決] [生丙]我編的題目如下：某種商品分兩次提價(jià)，有三種提價(jià)方案.方案甲：第一次提價(jià)p%，第二次提價(jià)q%（其中p>0,q>0）；方案乙：第一次提價(jià)q%，第二次提價(jià)p%；方案丙：第一次提價(jià)%，第二次提價(jià)%，試比較三種提價(jià)方案中，哪一種提價(jià)多，哪一種提價(jià)少，并請A小組同學(xué)說明理由. （經(jīng)全班同學(xué)積極探究，A小組同學(xué)信心百倍，做出解答）. [生（A小組）]設(shè)某種商品提價(jià)前的價(jià)格為a，則兩次提價(jià)后的價(jià)格分別為： 方案甲：a(1+p%)(1+q%)； 方案乙：a(1+q%)(1+p%)； 方案丙：a(1+%)2. 當(dāng)p=q時(shí)，三種方案提價(jià)一樣多； 當(dāng)p≠q時(shí)，由二元均值不等式，得 (1+p%)(1+q%)<(1+%)2. 所以，方案丙提價(jià)多，甲、乙提價(jià)一樣多，都比丙小. [生（B小組）]我們組編的題目是：某單位投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，第m長造價(jià)為40元，兩側(cè)墻砌磚，每m長造價(jià)為45元，頂部每m2造價(jià)為20元，試求： （1）倉庫底面積S的最大允許值是多少？ （2）為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？ 我們B組同學(xué)邀請E同學(xué)回答. [生E]設(shè)鐵柵長為x m，一堵磚墻長為y m，則有S=xy. 由題意可知： 40x+245y+20xy=3200， ∴3200=40x+90y+20xy. 應(yīng)用二元均值不等式，得 3200≥2+20xy=120+20xy =120+20S， ∴S+6≤160. 即(+16)(-10)≤0， ∵+16>0， ∴-10≤0，從而S≤100. 因而S的最大允許值是100 m2，取得此最大值的條件是40x=90y，而xy=100，由此解得x=15，即鐵柵的長應(yīng)是15 m. [師]同學(xué)們回答得非常好！從你們舉的例子來看，注重了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性與時(shí)代性（積極培養(yǎng)同學(xué)們學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思想意識(shí)），關(guān)注社會(huì)，從平時(shí)生活做起，加強(qiáng)實(shí)踐能力培養(yǎng)，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決實(shí)際生活問題（這種數(shù)學(xué)思想方法的探究，正是近年來高考中的熱點(diǎn)話題）. （同學(xué)們創(chuàng)設(shè)的其他問題，可作為課后作業(yè)再次激勵(lì)學(xué)生去探索） Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（≥）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來解決問題：ab≤，ab≤（）2. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P11習(xí)題6.2 2、3. (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P10～11例1，例2. 2.預(yù)習(xí)提綱： 通過預(yù)習(xí)例1、例2，使學(xué)生明確基本不等式：a2＋b2≥2ab；≥（a＞0，b＞0）的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面： 其一，是用于證明不等式. 其二，是用于求一些函數(shù)的最值： 設(shè)x、y都是正數(shù)， (1)若xy＝P是一個(gè)定值，當(dāng)且僅當(dāng)“x＝y(tǒng)”時(shí)，x＋y有最小值2；（2）若x＋y＝S是一個(gè)定值，當(dāng)且僅當(dāng)“x＝y(tǒng)”時(shí)，xy有最大值S2. ●板書設(shè)計(jì) 6.2.1 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(一) 一、重要不等式 課堂練習(xí) 課時(shí)小結(jié) a2＋b2≥2ab 二、定理 若a＞0，b＞0， 課后作業(yè) 則≥ ［例題］