2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（5）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（5）教案 新人教A版必修1 教材分析　　　　　 本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)1必修本(A版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解． 由于在實際問題的解決中，列出的方程可能相當(dāng)復(fù)雜．設(shè)f(x)是實系數(shù)多項式或是任一實數(shù)函數(shù)，方程f(x)＝0稱為代數(shù)方程或超越方程．一般說來，此類方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表達式，卻因比較復(fù)雜，難以用它來計算根的近似值．所以，當(dāng)根存在時，研究求根的數(shù)值方法很有必要，本節(jié)教材向?qū)W生介紹了求零點近似值的實用且基本的方法——二分法． 教材在學(xué)生了解了函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系的基礎(chǔ)上，從實例入手介紹了求方程近似解的二分法．學(xué)生不難理解函數(shù)的零點及其求法，而困難的地方在于使用二分法求函數(shù)零點的計算過程相當(dāng)繁雜． 在教學(xué)中應(yīng)注意鼓勵學(xué)生運用現(xiàn)代教育技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題，借助計算器或計算機處理繁雜的計算、理解數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)結(jié)論． 學(xué)情分析　　　　　 學(xué)生在學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)的零點后，對于不能用公式法求根的方程f(x)＝0來說，我們可以將它與函數(shù)y＝f(x)聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或零點所在的區(qū)間，從而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解． 本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷經(jīng)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比等思維過程，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學(xué)模式進行思考和作出判斷，因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，開拓他們的創(chuàng)新意識和“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想． 教學(xué)目標(biāo)　　　　　 知識與技能： 通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應(yīng)用． 過程與方法： 能借助計算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備． 情感態(tài)度和價值觀： 體會數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一． 重點難點　　　　　 重點：通過用二分法求方程的近似解，體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識． 難點：恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解． 課前準(zhǔn)備　　　　　 1．學(xué)生要準(zhǔn)備能進行較為復(fù)雜運算的計算器． 2．課前學(xué)習(xí)材料：分治算法． 分治是實際生活中使用得比較廣泛的一種解決問題的方法．在程序設(shè)計中，分治算法的設(shè)計思想是：將一個規(guī)模比較大的、難以直接解決的問題，分割成一些規(guī)模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題相同；然后將這些子問題各個擊破，分而治之．值得注意的是，分治算法的設(shè)計思想很自然地導(dǎo)致了遞歸算法的應(yīng)用．它的一般設(shè)計模式如下： if　問題規(guī)模小到可以直接解決　then　直接解決該問題 else　將問題分解成k個規(guī)模較小的子問題 end if for i＝1 to k 遞歸調(diào)用該分治算法，分別解決每一個子問題 next i 將各子問題的解合并為原問題的解． 設(shè)計意圖 從學(xué)生感興趣的計算機編程問題引入，引導(dǎo)學(xué)生分析分治算法的思想與方法，為后面引出二分法的思想與方法做鋪墊． 教學(xué)環(huán)節(jié)　　　　　 創(chuàng)設(shè)情境 一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題 問題：現(xiàn)有大小與形狀完全相同的金屬小球16個，其中有一個是實心的，其余都是空心的．用一架天平需測量幾次一定能找出實心小球？(要求測量次數(shù)盡可能少) 讓學(xué)生思考、討論，并得出結(jié)論． 學(xué)生可能會得出這樣的結(jié)論：先將這16個小球分成個數(shù)相等的兩部分，將這兩部分放在天平上稱，實心球在較重的這部分球中，再將較重的這部分球分成個數(shù)相等的兩部分，將這兩部分放在天平上稱，實心球又在較重的這部分球中，依此類推，所以只要四次一定能找到實心小球． 學(xué)生也有可能將小球分成相同的四部分，再兩部分兩部分地去稱，也可得到結(jié)果，等等．教師根據(jù)學(xué)生得出的方法進行總結(jié)． 設(shè)計意圖 以實際問題為載體，通過學(xué)生親自產(chǎn)生的思維方法體會二分法查找的思想與方法． 二、組織探究，導(dǎo)出算法 1．問題：通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(如下圖所示)．那我們能否找出這個零點呢？或者能找出這個零點的近似值嗎？ 設(shè)計意圖 上面的問題有著承上啟下的作用，它既是對前面一節(jié)課結(jié)果的進一步的深入，也揭示了本節(jié)課所要解決的問題． 2．將學(xué)生分成幾組進行合作學(xué)習(xí)，并要求學(xué)生將自己的求解過程進行記錄、歸納． 設(shè)計意圖 由于這一任務(wù)具有一定的難度，問題又具有一定的挑戰(zhàn)性，有利于激發(fā)學(xué)生的主動性與小組學(xué)習(xí)活動的激情及發(fā)揮學(xué)習(xí)共同體的創(chuàng)造性，因此采用了小組合作學(xué)習(xí)的方式進行教學(xué)．這一環(huán)節(jié)借助信息技術(shù)功能提倡學(xué)生通過觀察、思考、討論來歸納結(jié)論，體現(xiàn)了學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)方式． 3．通過學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，由一個小組代表發(fā)言求函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6零點的過程，可用下表反映： 區(qū)間 中點的值 中點函數(shù)近似值 (2,3) 2.5 －0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.562 5 0.066 (2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009 (2.531 25,2.562 5) 2.546 875 0.029 (2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010 (2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001 當(dāng)精確度為0.01時，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5<0.01，所以我們可以將x＝2.531 25作為函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6零點的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0根的近似值． 4．給定精確度ε，再請一個小組代表發(fā)言求函數(shù)f(x)零點近似值的基本步驟(教師引導(dǎo)，由其他小組補充，逐步完善) (1)確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0，給定精度ε； (2)求區(qū)間(a，b)的中點x1； (3)計算f(x1)：①若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)的零點； ②若f(a)f(x1)<0，則令b＝x1[此時零點x0∈(a，x1)]； ③若f(x1)f(b)<0，則令a＝x1[此時零點x0∈(x1，b)]； (4)判斷是否達到精度ε； 即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2～4. 設(shè)計意圖 從特殊到一般，揭示數(shù)學(xué)通常的發(fā)現(xiàn)過程，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗．這種教學(xué)方式易于學(xué)生接受和形成二分法的算法思想與計算原理． 三、探索發(fā)現(xiàn)，尋找內(nèi)涵 1．教師：通過前面的探究，我們得出了求函數(shù)f(x)零點近似值的一種方法，我們來給這種方法取個名字，叫什么好呢？(學(xué)生可能會取“分割法”、“二分法”、“中點法”等，教師最后進行評析) 設(shè)計意圖 從學(xué)生探究創(chuàng)造中下定義，便于學(xué)生深刻理解定義的內(nèi)涵，這也是新課程提倡的教學(xué)理念之一． 2．問題：是不是所有有零點的函數(shù)都適合用二分法求零點的近似值呢？請同學(xué)們先看下面幾個函數(shù)的圖象再回答． 圖一 　　　圖二 　　　圖三 學(xué)生通過上圖的比較與分析，可以得出上圖中一、三兩個函數(shù)是無法用二分法求零點的近似值的，因此要用二分法求零點的近似值的函數(shù)必須具備兩個特征：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)f(b)<0.這時教師對二分法的定義進行完善：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 設(shè)計意圖 通過學(xué)生自己的觀察、比較、分析，深化學(xué)生對定義的認識與理解，進一步挖掘二分法的內(nèi)涵，使學(xué)生對二分法的算法思想與計算原理有了新的感悟． 3．教師進一步指出，從“數(shù)”的角度看，函數(shù)的零點即是使f(x)＝0的實數(shù)；從“形”的角度看，函數(shù)的零點即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點；若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點．二分法的條件f(a)f(b)<0表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點． 設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個角度去體會函數(shù)零點的意義，掌握常見函數(shù)零點的求法，進一步明確二分法的適用范圍． 四、嘗試練習(xí)，體會應(yīng)用 1．例題：借助計算器或計算機用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精確度0.1) 分析：首先利用函數(shù)性質(zhì)或借助計算機、計算器畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點大致所在的區(qū)間，然后利用二分法逐步計算解答． 注意： (1)第一步確定零點所在的大致區(qū)間(a，b)，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個長度為1的區(qū)間． (2)建議列表樣式如下： 零點所在區(qū)間 中點函數(shù)值 區(qū)間長度 [1,2] f(1.5)>0 1 [1,1.5] f(1.25)<0 0.5 [1.25,1.5] f(1.375)<0 0.25 如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步． (在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生利用二分法逐步尋求函數(shù)零點的近似值，注意規(guī)范方法、步驟與書寫格式．學(xué)生要根據(jù)二分法的思想與步驟獨立完成思考，并進行交流、討論、評析．) 設(shè)計意圖 該例題是對這節(jié)課前面所學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的綜合運用和鞏固，解題過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)表達的簡潔性和數(shù)學(xué)思維的嚴謹性，也體現(xiàn)了函數(shù)思想在解方程中的應(yīng)用． 2．學(xué)生練習(xí)： 已知f(x)＝2＋2x－x2， (1)如果g(x)＝f(2－x2)，求g(x)的解析式； (2)借助計算器或計算機，畫出函數(shù)g(x)的圖象； (3)求出函數(shù)g(x)的零點．(精確到0.1) 分析：本題第(1)問是一道代入法復(fù)合函數(shù)解析式的問題，第(2)、(3)問需用本節(jié)知識進行解決．另外在求g(x)的零點時，不妨用函數(shù)g(x)的奇偶性，只需用二分法求出其中一個零點，另一個便知道了． 答案：(1)g(x)＝2＋2x2－x4； (2) (3)1.7. 設(shè)計意圖 利用課堂練習(xí)鞏固所學(xué)的知識內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，以求達到教學(xué)目標(biāo)．本環(huán)節(jié)以個別指導(dǎo)為主，體現(xiàn)面對全體學(xué)生的課改理念． 五、小結(jié)體會，教師歸納 以學(xué)生發(fā)言的形式對本堂課進行小結(jié)，教師歸納強調(diào)： 1．二分法求方程的近似解，要求函數(shù)f(x)在某一區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，并且在此區(qū)間端點的函數(shù)值異號． 2．用二分法不能求二次重根． 3．在學(xué)習(xí)中要注意運用函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想和“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想． 設(shè)計意圖 關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，培養(yǎng)學(xué)生表達交流數(shù)學(xué)的能力．學(xué)生的課堂小結(jié)既是對一節(jié)課的簡單回顧與梳理，也是對所學(xué)內(nèi)容的再次鞏固． 六、作業(yè)回饋，鞏固知識 1．教材習(xí)題3.1(A組)第3～6題、(B組)第4題． 2．提高作業(yè)： (1)已知函數(shù)f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1. ①m為何值時，函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點？ ②如果函數(shù)的一個零點在原點，求m的值． (2)用二分法求的近似值(精確到0.01)． 設(shè)計意圖 1為鞏固作業(yè)，2為課外拓展作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)造能力． 七、課外活動，培養(yǎng)能力 查找有關(guān)系資料或利用internet查找有關(guān)高次代數(shù)方程的解的研究史料，追尋阿貝爾(Abel)和伽羅瓦(Galois)． 設(shè)計意圖 增強探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識． 利用函數(shù)圖象解方程和函數(shù)問題 1．求方程x＋lg x＝3的近似解． 求某些方程的解，不容易通過筆算來獲得，可以通過函數(shù)圖象，但往往不太容易直接畫圖，而且畫出的圖象也不準(zhǔn)確，此時利用圖形計算器幫助我們畫出圖象(很多復(fù)雜的函數(shù)都可以很快在圖形計算器上畫出)，對于我們來說，方法是更重要的． 第一步：按鍵，輸入函數(shù)：y1＝lg x，y2＝3－x. 第二步：按鍵，畫出兩個函數(shù)的圖象，如下圖所示： 第三步：按鍵：intersection(求交點)，屏幕會出現(xiàn)對話框：選擇第一條曲線、第二條曲線、下限、上限之后，屏幕上會給出交點值：xc：2.587 17，yc：0.412 826，則x＝2.587 17即為方程x＋lg x＝3的近似解． 小結(jié)：利用函數(shù)圖象的交點解方程是一個重要方法，而圖形計算器為我們提供了一個強有力的工具． 2．一片樹林中現(xiàn)有木材30 000米3，如果每年增長5%，經(jīng)過x年樹林中有木材y米3，寫出x、y間的函數(shù)關(guān)系式，并且利用圖象，求約經(jīng)過多少年，木材可以增加到40 000米3？(結(jié)果保留一位有效數(shù)字) 畫出函數(shù)圖象后，可以通過用鍵移動光標(biāo)，尋找當(dāng)y＝40 000時的x值；也可再作函數(shù)y2＝40 000的圖象，用求圖象的交點即可．