2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章8.3 圓的方程.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章8.3 圓的方程考綱要求掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程知識(shí)梳理1圓的定義在平面內(nèi),到_的距離等于_的點(diǎn)的_叫做圓確定一個(gè)圓最基本的要素是_和_2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0),其中_為圓心,_為半徑長(zhǎng)特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),圓的方程為_3圓的一般方程對(duì)于方程x2y2DxEyF0.(1)當(dāng)_時(shí),表示圓心為,半徑長(zhǎng)為的圓;(2)當(dāng)_時(shí),表示一個(gè)點(diǎn);(3)當(dāng)_時(shí),它不表示任何圖形;(4)二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0),點(diǎn)M(x0,y0),(1)點(diǎn)在圓上:_;(2)點(diǎn)在圓外:_;(3)點(diǎn)在圓內(nèi):_.基礎(chǔ)自測(cè)1方程x2y24mx2y5m0表示圓的充要條件是()Am1 Bm1Cm Dm或m12圓心在y軸上,半徑長(zhǎng)為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)213若點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da14圓C:x2y22x4y40的圓心到直線3x4y40的距離d_.思維拓展1二元二次方程x2y2DxEyF0是否都表示一個(gè)圓?提示:對(duì)于該二元二次方程,只有當(dāng)D2E24F0時(shí),才表示一個(gè)圓;當(dāng)D2E24F0時(shí),表示點(diǎn);當(dāng)D2E24F0時(shí),不表示任何圖形2求圓的方程時(shí),應(yīng)注意什么?提示:圓的方程由圓心坐標(biāo)和半徑確定求圓的方程可從確定這兩個(gè)條件入手,也可先用待定系數(shù)法設(shè)出其方程,再確定其中的參數(shù)一般地,若利用半徑列方程,通常設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)形式;否則,設(shè)成一般式無(wú)論選用哪種形式,最多需要三個(gè)獨(dú)立的條件一、求圓的方程【例11】求經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,2),且圓心在直線2xy30上的圓的方程【例12】已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(1,2),問這四點(diǎn)能否在同一個(gè)圓上?為什么?方法提煉常見的求圓的方程的方法有兩種:一是利用圓的幾何特征,求出圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng),寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;二是利用待定系數(shù)法,它的應(yīng)用關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程如果給定的條件易求圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng),則選用標(biāo)準(zhǔn)方程求解;如果所給條件與圓心、半徑關(guān)系不密切或涉及圓上多點(diǎn),常選用一般方程求解請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練3二、與圓有關(guān)的最值問題【例2】已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值;(2)求yx的最大值和最小值;(3)求x2y2的最大值和最小值方法提煉處理與圓有關(guān)的最值問題,應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思想求解與圓有關(guān)的最值問題,常見的有以下幾種類型:形如形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題;形如taxby形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題;形如(xa)2(yb)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練5三、與圓有關(guān)的軌跡問題【例3】如下圖所示,圓O1和圓O2的半徑長(zhǎng)都等于1,|O1O2|4.過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1,圓O2的切線PM,PN(M,N為切點(diǎn)),使得|PM|PN|.試建立平面直角坐標(biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程方法提煉1解答與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí),根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法:直接法,直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;定義法,根據(jù)圓、直線等定義列方程;幾何法,利用圓的幾何性質(zhì)列方程;代入法,找到所求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式此外還有交軌法、參數(shù)法等不論哪種方法,充分利用圓的幾何性質(zhì),找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵2求與圓的軌跡問題時(shí),題目的設(shè)問有兩種常見形式,作答也應(yīng)有不同:若求軌跡方程,把方程求出化簡(jiǎn)即可;若求軌跡,則必須根據(jù)軌跡方程,指出軌跡是什么樣的曲線請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練4考情分析通過分析近幾年的高考試題可以看出,對(duì)于本節(jié)內(nèi)容的考查主要側(cè)重以下兩點(diǎn):(1)利用配方法把圓的一般式方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式方程,并能指出圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng);(2)求圓的方程,方法主要有配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等考查的形式以選擇題、填空題為主針對(duì)訓(xùn)練1圓x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是()A(2,3) B(2,3) C(2,3) D(2,3)2(xx安徽高考,文4)若直線3xya0過圓x2y22x4y0的圓心,則a的值為()A1 B1 C3 D33求半徑為,圓心在直線y2x上,被直線xy0截得的弦長(zhǎng)為4的圓的方程4已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x1)2y24上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡5如果實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x3)2(y3)26,求xy的最大值與最小值參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1定點(diǎn)定長(zhǎng)集合圓心半徑2(a,b)rx2y2r23(1)D2E24F0(2)D2E24F0(3)D2E24F0(4)AC0B0D2E24AF04(1)(x0a)2(y0b)2r2(2)(x0a)2(y0b)2r2(3)(x0a)2(y0b)2r2基礎(chǔ)自測(cè)1D解析:方程x2y24mx2y5m0表示圓的充要條件是(4m)2(2)245m0,即m或m1.2A解析:設(shè)圓心為(0,a),則1,a2.故圓的方程為x2(y2)21.3A解析:點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部,(1a)2(1a)24,即1a1.43解析:圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)21,其圓心為(1,2)圓心C到直線的距離為3.考點(diǎn)探究突破【例11】解:方法一:圓過A(5,2),B(3,2)兩點(diǎn),圓心一定在線段AB的垂直平分線上線段AB的垂直平分線的方程為y(x4)設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),則有解得C(2,1),r|CA|.所求圓的方程為(x2)2(y1)210.方法二:設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2,則解得圓的方程為(x2)2(y1)210.方法三:設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0),則解得D4,E2,F(xiàn)5.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y24x2y50.【例12】解:設(shè)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓的方程為(xa)2(yb)2r2.則解此方程組,得所以,經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x1)2(y3)25.把點(diǎn)D的坐標(biāo)(1,2)代入上面方程的左邊,得(11)2(23)25.所以,點(diǎn)D在經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓上,故A,B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,圓的方程為(x1)2(y3)25.【例2】解:(1)原方程可化為(x2)2y23,表示以(2,0)為圓心,為半徑長(zhǎng)的圓.的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以設(shè)k,即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時(shí),斜率k取最大值或最小值,此時(shí),解得k.所以的最大值為,最小值為.(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距,當(dāng)直線yxb與圓相切時(shí),縱截距b取得最大值或最小值,此時(shí),解得b2.所以yx的最大值為2,最小值為2.(3)x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,由平面幾何知識(shí)知,在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為2,所以x2y2的最大值是(2)274,x2y2的最小值是(2)274.【例3】解:以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1O2所在的直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則O1(2,0),O2(2,0)由已知|PM|PN|,得|PM|22|PN|2.因?yàn)閮蓤A的半徑長(zhǎng)均為1,所以|PO1|212(|PO2|21)設(shè)P(x,y),則(x2)2y212(x2)2y21,化簡(jiǎn),得(x6)2y233,所以所求軌跡方程為(x6)2y233.演練鞏固提升針對(duì)訓(xùn)練1D解析:x2y24x6y0可化為(x2)2(y3)213,圓心坐標(biāo)為(2,3)2B解析:圓x2y22x4y0化為標(biāo)準(zhǔn)方程:(x1)2(y2)25,可得圓心(1,2)直線過圓心,將(1,2)代入直線3xya0,可得a1.3解:設(shè)圓心C(a,2a),圓心到直線xy0的距離為d,則d|a|.r,由垂徑定理知2,即10a28,a24.a2.故所求圓的方程為(x2)2(y4)210,或(x2)2(y4)210.4解:設(shè)M(x,y),A(x0,y0),則有x,y.x02x4,y02y3.又A(x0,y0)在圓(x1)2y24上,(x01)24.(2x41)2(2y3)24,即221.故AB的中點(diǎn)M的軌跡是以為圓心,以1為半徑長(zhǎng)的圓5解:設(shè)xyb,則yxb,由圖知,當(dāng)直線與圓C相切時(shí),截距b取最值而圓心C到直線yxb的距離為d.因?yàn)楫?dāng),即b62時(shí),直線yxb與圓C相切,所以xy的最大值與最小值分別為62與62.- 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