2019-2020年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 18空間向量的數(shù)量積運算課時作業(yè) 新人教A版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 18空間向量的數(shù)量積運算課時作業(yè) 新人教A版選修2-1 1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，有下列命題： ①(＋＋)2＝32；②(－)＝0；③與的夾角為60.其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．0 解析：①，②均正確；③不正確，因為與夾角為120. 答案：B 2．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為(　　) A．a(chǎn)2 B.a2 C.a2 D.a2 解析：＝(＋)＝(＋) ＝＝a2. 答案：C 3．已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不為零的是(　　) A.與 B.與 C.與 D.與 解析：可用排除法．因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，＝0，排除D.又因為AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以＝0，同理＝0，排除B，C，故選A. 答案：A 4．設A，B，C，D是空間中不共面的四點，且滿足＝0，＝0，＝0，則△BCD是(　　) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定 解析：＝(－)(－)＝－－＋2＝2＞0， 同理，可證＞0，＞0. 所以△BCD的每個內(nèi)角均為銳角，故△BCD是銳角三角形． 答案：B 5．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，對角線AC1和BD1相交于點O，則有(　　) A.＝2a2 B.＝a2 C.＝a2 D.＝a2 解析：∵＝＝(＋＋) ＝(2＋＋)＝2＝||2＝a2. 答案：C 6．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為(　　) A.　B. C．－ D．0 解析：如圖所示， ∵＝(－)＝－ ＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝0， ∴⊥，∴〈，〉＝，cos〈，〉＝0. 答案：D 7．設向量a與b互相垂直，向理c與它們構成的角是60，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，則(a＋3c)(3b－2a)＝__________. 解析：(a＋3c)(3b－2a)＝3ab－2|a|2＋9bc－6ac＝－62. 答案：－62 8．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，，兩兩夾角均為60，且||＝1，||＝2，||＝3，則||＝________. 解析：由于＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝ ||2＋||2＋||2＋2(＋＋) ＝12＋22＋32＋2 ＝25，故||＝5. 答案：5 9．已知a，b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a，b所成的角是________． 解析：＝＋＋， ∴＝(＋＋)＝||2＝1， ∴cos〈，〉＝＝， ∴異面直線a，b所成角是60. 答案：60 B組　能力提升 10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范圍(　　) A．[0,1] B．[1,2] C．[0,3] D．[1,3] 解析：p2＝2＝3＋2≤3＋23＝9，∴0≤|p|≤3. 答案：C 11．在四面體OABC中，棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則(＋＋)＝________. 解析：由已知＝＝＝0， 且＝， 故(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝(1＋4＋9)＝. 答案： 12．如圖，正四面體V－ABC的高VD的中點為O，VC的中點為M. (1)求證：AO，BO，CO兩兩垂直； (2)求〈，〉． 解：(1)證明：設＝a，＝b，＝c，正四面體的棱長為1， 則＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)， ＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 所以＝(b＋c－5a)(a＋c－5b)＝(18ab－9|a|2) ＝(1811cos60－9)＝0， 所以⊥，即AO⊥BO. 同理，AO⊥CO，BO⊥CO. 所以AO，BO，CO兩兩垂直． (2)解：＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝＝. 又||＝＝， ＝(－2a－2b＋c)(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝. 又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 13．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長為. (1)設側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1； (2)設AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長． 解： (1)證明：＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC，∴＝0，＝0. 又△ABC為正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵＝(＋)(＋)＝＋＋2＋ ＝||||cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0， ∴AB1⊥BC1. (2)由(1)知＝||||cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝＝＝||， ∴cos〈，〉＝＝， ∴||＝2，即側(cè)棱長為2. 14．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90，沿著它的對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60角，求此時B，D間的距離． 解析：∵∠ACD＝90，∴＝0. 同理＝0. ∵AB與CD成60角， ∴〈，〉＝60或〈，〉＝120. 又＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝3＋211cos〈，〉 ∴當〈，〉＝60時，||2＝4，此時B，D間的距離為2； 當〈，〉＝120時，||2＝2， 此時B，D間的距離為.