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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上第六章不等式： 6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)教案.doc

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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上第六章不等式： 6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)教案教學(xué)目的： 1學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理 2理解這個(gè)定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等 3．通過掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用公式的適當(dāng)變形，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力教學(xué)重點(diǎn)：均值定理證明教學(xué)難點(diǎn)：等號成立條件授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí) 教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1．同向不等式：兩個(gè)不等號方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式異向不等式：兩個(gè)不等號方向相反的不等式例如：a>b，cb，那么bb．(對稱性) 即：a>bbb 定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(傳遞性) 即a>b，b>ca>c 定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．即a>ba+c>b+c 推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法則) 即a>b， c>d a+c>b+d．定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么acb >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法則) 推論2 若定理5 若二、講解新課： 1．重要不等式：如果證明：當(dāng) 所以，，即由上面的結(jié)論，我們又可得到 2．定理：如果a,b是正數(shù)，那么證明：∵ ，即顯然，當(dāng)且僅當(dāng) 說明：?。┪覀兎Q的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) ⅱ）成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù) ⅲ）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件 3．均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦” 以長為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使AC=a,CB=b過點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么，即這個(gè)圓的半徑為，顯然，它不小于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合；即a=b時(shí)，等號成立 4．關(guān)于“平均數(shù)”的概念如果則：叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)；叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù) 推廣： ≥ 語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 上述重要不等式有著廣泛的應(yīng)用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等等它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧今天，我們就來進(jìn)一步學(xué)習(xí)均值不等式的應(yīng)用三、講解范例：例1已知a,b,c∈R，求證證明：∵，，以上三式相加： ∴ 例2 已知x,y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值（2）如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值證明：因?yàn)閤,y都是正數(shù)，所以（1）積xy為定值P時(shí)，有上式當(dāng)時(shí)，取“=”號，因此，當(dāng)時(shí)，和有最小值（2）和x+y為定值S時(shí)，有上式當(dāng)x=y時(shí)取“=”號，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件： ?。┖瘮?shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù); ⅱ)函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)； ⅲ）等號成立條件必須存在例3 已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求證：分析：本題結(jié)論中，注意互為倒數(shù)，它們的積為1，可利用公式a＋b≥2，但要注意條件a、b為正數(shù)故此題應(yīng)從已知條件出發(fā)，經(jīng)過變形，說明為正數(shù)開始證題證明：∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx） ∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx ∴ax－ay＋by－bx＞0 ∴（ax－bx）－（ay－by）＞0 ∴（a－b）（x－y）＞0，即a－b與x－y同號 ∴均為正數(shù) ∴＝2 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號) ∴≥2 點(diǎn)評：我們在運(yùn)用重要不等式a2＋b2≥2ab時(shí)，只要求a、b為實(shí)數(shù)就可以了而運(yùn)用定理：“”時(shí)，必須使a、b滿足同為正數(shù)本題通過對已知條件變形(恰當(dāng)?shù)匾蚴椒纸?，從討論因式乘積的符號來判斷與是正還是負(fù)，是我們今后解題中常用的方法四、課堂練習(xí)： 1．求證： 2．比較大小 3．若x>-1,則x為何值時(shí),有最小值,最小值為幾? 答案:當(dāng)x=0時(shí),有最小值1 思考:已知a,b,x,y∈R+且x+y=1,求的最小值 5已知a、b、c都是正數(shù)，求證（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：對于此類題目，選擇定理：（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結(jié)果答案：∵a，b，c都是正數(shù) ∴a＋b≥2＞0；b＋c≥2＞0；c＋a≥2＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥222＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 6已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3 分析：在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形答案：∵x，y都是正數(shù)，∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1)＝2即≥2 (2)x＋y≥2＞0；x2＋y2≥2＞0；x3＋y3≥2＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥222＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3 7求證：（）2≤ 分析：利用完全平方公式，結(jié)合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰當(dāng)變形，是證明本題的關(guān)鍵答案：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2 ∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2 不等式兩邊同除以4，得 ≥（）2，即（）2≤ 五、小結(jié) ：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（≥）它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具六、課后作業(yè)： (1)“a＋b≥2”是“a∈R＋，b∈R＋”的(B ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D即不充分也不必要條件 (2)設(shè)b＞a＞0，且a＋b＝1，則此四個(gè)數(shù)，2ab，a2＋b2，b中最大的是(A ) Ab Ba2＋b2 Ｃ2ab D (3)設(shè)a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有( B ) A1≤ab≤ Bab＜1＜ Cab＜＜1 D ＜ab＜1 (4)已知a，b∈R＋且a＋b＝4，則下列各式恒成立的是(B ) A B≥1 Ｃ≥2 D (5)若a＞b＞0，則下面不等式正確的是( C ) A B C D (6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的個(gè)數(shù)為（D ） ①a2＋3ab＞2b2 ②a５＋b５＞a3b2＋a2b3 ③a2＋b2≥2（a－b－1） ④＞2 A4 B3 Ｃ2 D1 (7)設(shè)a，b，c是區(qū)間(0，1)內(nèi)的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)且p＝logc，q＝，r＝，則p，q，r的大小關(guān)系是(C ) Ap＞q＞r Bp＜q＜r Cr＜P＜q Dp＜r＜q (8)已知x＞y＞0，xy＝1，求證：≥2 證明：∵x＞y＞0，xy＝1 ∴ ≥2＝2 ，即≥2 (9)已知a＞2，求證：loga（a－1）loga（a＋1）＜1 證明：∵a＞2 ∴l(xiāng)oga(a－1)＞0,loga(a＋1)＞0,loga(a－1)≠loga(a＋1) ∴l(xiāng)oga（a－1）loga（a＋1）＜［］2 ＝［loga（a2－1））2＜（logaa2）2＝1 即loga（a－1）loga（a＋1）＜1 (10)已知a，b∈R，證明：log2（2a＋2b）≥ 證明：∵a，b∈R ∴l(xiāng)og2（2a＋2b）≥log2（2）＝log2（22）＝1＋＝,即log2（2a＋2b）≥ (11)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求證：證明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1 ∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a） ∴［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］（） ≥33＝９故 (12)已知方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0，求證：方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2 證明：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0 ∴ax12＋bx1＋c＝0,∴a＋＝0 ∴c（）2＋b＋a＝0(方程cx2＋bx＋a＝0必有一根＞0) ∴x1＋x2＝x1＋≥2 故方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2 七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：

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