2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10.5 二項(xiàng)式定理教案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10.5 二項(xiàng)式定理教案知識(shí)梳理1.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ).2.二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.利用二項(xiàng)式展開(kāi)式可以證明整除性問(wèn)題,討論項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì),證明組合數(shù)恒等式,進(jìn)行近似計(jì)算等.點(diǎn)擊雙基1.已知(13x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9,則a0+a1+a2+a9等于A.29 B.49 C.39 D.1解析:x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值,a0+a1+a2+a9=a0a1+a2a3+a9.已知條件中只需賦值x=1即可.答案:B2.(xx年江蘇,7)(2x+)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是A.6B.12C.24D.48解析:(2x+)4=x2(1+2)4,在(1+2)4中,x的系數(shù)為C22=24.答案:C3.(xx年全國(guó),5)(2x3)7的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是A.14B.14C.42D.42解析:設(shè)(2x3)7的展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)是T=C(2x3)()r=C2(1)rx,當(dāng)+3(7r)=0,即r=6時(shí),它為常數(shù)項(xiàng),C(1)621=14.答案:A4.(xx年湖北,文14)已知(x+x)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128,則展開(kāi)式中x5的系數(shù)是_.(以數(shù)字作答)解析:(x+x)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為128,令x=1,即得所有項(xiàng)系數(shù)和為2n=128.n=7.設(shè)該二項(xiàng)展開(kāi)式中的r+1項(xiàng)為T(mén)=C(x)(x)r=Cx,令=5即r=3時(shí),x5項(xiàng)的系數(shù)為C=35.答案:355.若(x+1)n=xn+ax3+bx2+cx+1(nN*),且ab=31,那么n=_.解析:ab=CC=31,n=11.答案:11典例剖析【例1】 如果在(+)n的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列,求展開(kāi)式中的有理項(xiàng).解:展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1,由題意得2=1+,得n=8.設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng),T=Cx,則r是4的倍數(shù),所以r=0,4,8.有理項(xiàng)為T(mén)1=x4,T5=x,T9=.評(píng)述:求展開(kāi)式中某一特定的項(xiàng)的問(wèn)題常用通項(xiàng)公式,用待定系數(shù)法確定r.【例2】 求式子(x+2)3的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).解法一:(x+2)3=(x+2)(x+2)(x+2)得到常數(shù)項(xiàng)的情況有:三個(gè)括號(hào)中全取2,得(2)3;一個(gè)括號(hào)取x,一個(gè)括號(hào)取,一個(gè)括號(hào)取2,得CC(2)=12,常數(shù)項(xiàng)為(2)3+(12)=20.解法二:(|x|+2)3=()6.設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則T=C(1)r()r|x|=(1)6C|x|,得62r=0,r=3.T3+1=(1)3C=20.思考討論(1)求(1+x+x2+x3)(1x)7的展開(kāi)式中x4的系數(shù);(2)求(x+4)4的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng);(3)求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)50的展開(kāi)式中x3的系數(shù).解:(1)原式=(1x)7=(1x4)(1x)6,展開(kāi)式中x4的系數(shù)為(1)4C1=14.(2)(x+4)4=,展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C(1)4=1120.(3)方法一:原式=.展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C.方法二:原展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C.評(píng)述:把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開(kāi)式形式是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.【例3】 設(shè)an=1+q+q2+q(nN*,q1),An=Ca1+Ca2+Can.(1)用q和n表示An;(2)(理)當(dāng)3q1時(shí),求.解:(1)因?yàn)閝1,所以an=1+q+q2+q=.于是An= C+ C+C=(C+C+C)(Cq+Cq2+Cqn)=(2n1)(1+q)n1=2n(1+q)n.(2)=1()n.因?yàn)?q1,且q1,所以0| |1.所以=.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成,每串有20個(gè)燈泡,只要有一只燈泡壞了,整串燈泡就不亮,則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為A.20 B.219C.220D.2201解析:C+C+C=2201.答案:D2.(xx年福建,文9)已知(x)8展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1120,其中實(shí)數(shù)a是常數(shù),則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析:T=Cx8r(ax1)r=(a)rCx82r.令82r=0,r=4.(a)4C=1120.a=2.當(dāng)a=2時(shí),令x=1,則(12)8=1.當(dāng)a=2時(shí),令x=1,則(12)8=38.答案:C3.(xx年全國(guó),13)(x)8展開(kāi)式中x5的系數(shù)為_(kāi).解析:設(shè)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為T(mén)=Cx8r()r=(1)rCx.令8=5得r=2時(shí),x5的系數(shù)為(1)2C=28.答案:284.(xx年湖南,理15)若(x3+)n的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為84,則n=_.解析:T=C(x3)nr(x)r=Cx.令3nr=0,2n=3r.n必為3的倍數(shù),r為偶數(shù).試驗(yàn)可知n=9,r=6時(shí),C=C=84.答案:95.已知(x+1)n展開(kāi)式中,末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于22,二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為xx0,求x的值.解:由題意CCC=22,即CCC=22,n=6.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.C(x)3=xx0,即x3lgx=1000.x=10或x=.培養(yǎng)能力6.若(1+x)6(12x)5=a0+a1x+a2x2+a11x11.求:(1)a1+a2+a3+a11;(2)a0+a2+a4+a10.解:(1)(1+x)6(12x)5=a0+a1x+a2x2+a11x11.令x=1,得a0+a1+a2+a11=26,又a0=1,所以a1+a2+a11=261=65.(2)再令x=1,得a0a1+a2a3+a11=0.+得a0+a2+a10=(26+0)=32.評(píng)述:在解決此類(lèi)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和的問(wèn)題中常用賦值法,令其中的字母等于1或1.7.在二項(xiàng)式(axm+bxn)12(a0,b0,m、n0)中有2m+n=0,如果它的展開(kāi)式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng).(1)求它是第幾項(xiàng);(2)求的范圍.解:(1)設(shè)T=C(axm)12r(bxn)r=Ca12rbrxm(12r)+nr為常數(shù)項(xiàng),則有m(12r)+nr=0,即m(12r)2mr=0,r=4,它是第5項(xiàng).(2)第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng),有Ca8b4Ca9b3, Ca8b4Ca7b5. 由得a8b4a9b3,a0,b0, ba,即.由得,.8.在二項(xiàng)式(+)n的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,求展開(kāi)式中的有理項(xiàng).分析:根據(jù)題意列出前三項(xiàng)系數(shù)關(guān)系式,先確定n,再分別求出相應(yīng)的有理項(xiàng).解:前三項(xiàng)系數(shù)為C,C,C,由已知C=C+C,即n29n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).T=C()8r(2)r=Cx.4Z且0r8,rZ,r=0,r=4,r=8.展開(kāi)式中x的有理項(xiàng)為T(mén)1=x4,T5=x,T9= x2.評(píng)述:展開(kāi)式中有理項(xiàng)的特點(diǎn)是字母x的指數(shù)4Z即可,而不需要指數(shù)4N.探究創(chuàng)新9.有點(diǎn)難度喲!求證:2(1+)n3(n2,nN*).證明:(1+)n=C+C +C()2+C()n=1+1+C+C+C=2+2+2+=2+=3()2.所以2(1+)n3.思悟小結(jié)1.在使用通項(xiàng)公式T=Cbr時(shí),要注意:(1)通項(xiàng)公式是表示第r1項(xiàng),而不是第r項(xiàng).(2)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C與第r+1項(xiàng)的系數(shù)不同.(3)通項(xiàng)公式中含有a,b,n,r,T五個(gè)元素,只要知道其中的四個(gè)元素,就可以求出第五個(gè)元素.在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題中,常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè),求另外幾個(gè)元素的問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題一般是利用通項(xiàng)公式,把問(wèn)題歸納為解方程(或方程組).這里必須注意n是正整數(shù),r是非負(fù)整數(shù)且rn.2.證明組合恒等式常用賦值法.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.要正確理解二項(xiàng)式定理,準(zhǔn)確地寫(xiě)出二項(xiàng)式的展開(kāi)式.2.要注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù). 3.要注意二項(xiàng)式定理在近似計(jì)算及證明整除性中的應(yīng)用.4.通項(xiàng)公式及其應(yīng)用是二項(xiàng)式定理的基本問(wèn)題,要熟練掌握.拓展題例【例題】 求(a2b3c)10的展開(kāi)式中含a3b4c3項(xiàng)的系數(shù).解:(a2b3c)10=(a2b3c)(a2b3c)(a2b3c),從10個(gè)括號(hào)中任取3個(gè)括號(hào),從中取a;再?gòu)氖S?個(gè)括號(hào)中任取4個(gè)括號(hào),從中取2b;最后從剩余的3個(gè)括號(hào)中取3c,得含a3b4c3的項(xiàng)為Ca3C(2b)4C(3c)3=CCC(3)3a3b4c3.所以含a3b4c3項(xiàng)的系數(shù)為CC1627.- 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