2019-2020年高二數學上 6.2 算術平均數與幾何平均數優(yōu)秀教案.doc

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文檔編號：2665786

上傳時間：2019-11-28

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2019-2020年高二數學上 6.2 算術平均數與幾何平均數優(yōu)秀教案教學目的： 1學會推導并掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這個重要定理 2理解這個定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等 3．通過掌握公式的結構特點，運用公式的適當變形，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，進一步加強學生的實踐能力教學重點：均值定理證明教學難點：等號成立條件授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入： 1．同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式例如：a>b，cb，那么bb．(對稱性) 即：a>bbb 定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(傳遞性) 即a>b，b>ca>c 定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．即a>ba+c>b+c 推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法則) 即a>b， c>d a+c>b+d．定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么acb >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法則) 推論2 若定理5 若二、講解新課： 1．重要不等式：如果證明：當所以，，即由上面的結論，我們又可得到 2．定理：如果a,b是正數，那么證明：∵ ，即顯然，當且僅當說明：ⅰ）我們稱的算術平均數，稱的幾何平均數，因而，此定理又可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數 ⅱ）成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數，而后者要求a,b都是正數 ⅲ）“當且僅當”的含義是充要條件 3．均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦” 以長為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C，使AC=a,CB=b過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么，即這個圓的半徑為，顯然，它不小于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合；即a=b時，等號成立 4．關于“平均數”的概念如果則：叫做這n個正數的算術平均數；叫做這n個正數的幾何平均數推廣： ≥ 語言表述：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數上述重要不等式有著廣泛的應用，例如：證明不等式，求函數最值，判斷變量或數學式子的取值范圍等等它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧今天，我們就來進一步學習均值不等式的應用三、講解范例：例1已知a,b,c∈R，求證證明：∵，，以上三式相加： ∴ 例2 已知x,y都是正數，求證：（1）如果積xy是定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值（2）如果和x+y是定值S,那么當x=y時，積xy有最大值證明：因為x,y都是正數，所以（1）積xy為定值P時，有上式當時，取“=”號，因此，當時，和有最小值（2）和x+y為定值S時，有上式當x=y時取“=”號，因此，當x=y時，積xy有最大值說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件： ⅰ）函數式中各項必須都是正數; ⅱ)函數式中含變數的各項的和或積必須是常數； ⅲ）等號成立條件必須存在例3 已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求證：分析：本題結論中，注意互為倒數，它們的積為1，可利用公式a＋b≥2，但要注意條件a、b為正數故此題應從已知條件出發(fā)，經過變形，說明為正數開始證題證明：∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx） ∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx ∴ax－ay＋by－bx＞0 ∴（ax－bx）－（ay－by）＞0 ∴（a－b）（x－y）＞0，即a－b與x－y同號 ∴均為正數 ∴＝2 (當且僅當時取“＝”號) ∴≥2 點評：我們在運用重要不等式a2＋b2≥2ab時，只要求a、b為實數就可以了而運用定理：“”時，必須使a、b滿足同為正數本題通過對已知條件變形(恰當地因式分解)，從討論因式乘積的符號來判斷與是正還是負，是我們今后解題中常用的方法四、課堂練習： 1．求證： 2．比較大小 3．若x>-1,則x為何值時,有最小值,最小值為幾? 答案:當x=0時,有最小值1 思考:已知a,b,x,y∈R+且x+y=1,求的最小值 5已知a、b、c都是正數，求證（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：對于此類題目，選擇定理：（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結果答案：∵a，b，c都是正數 ∴a＋b≥2＞0；b＋c≥2＞0；c＋a≥2＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥222＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 6已知x、y都是正數，求證：(1)≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3 分析：在運用定理：時，注意條件a、b均為正數，結合不等式的性質(把握好每條性質成立的條件)，進行變形答案：∵x，y都是正數，∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1)＝2即≥2 (2)x＋y≥2＞0；x2＋y2≥2＞0；x3＋y3≥2＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥222＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3 7求證：（）2≤ 分析：利用完全平方公式，結合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰當變形，是證明本題的關鍵答案：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2 ∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2 不等式兩邊同除以4，得 ≥（）2，即（）2≤ 五、小結：本節(jié)課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數a、b的算術平均數（），幾何平均數（）及它們的關系（≥）它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數，而后者要求a、b都是正數它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數最值的重要工具六、課后作業(yè)： (1)“a＋b≥2”是“a∈R＋，b∈R＋”的(B ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D即不充分也不必要條件 (2)設b＞a＞0，且a＋b＝1，則此四個數，2ab，a2＋b2，b中最大的是(A ) Ab Ba2＋b2 Ｃ2ab D (3)設a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有( B ) A1≤ab≤ Bab＜1＜ Cab＜＜1 D ＜ab＜1 (4)已知a，b∈R＋且a＋b＝4，則下列各式恒成立的是(B ) A B≥1 Ｃ≥2 D (5)若a＞b＞0，則下面不等式正確的是( C ) A B C D (6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的個數為（D ） ①a2＋3ab＞2b2 ②a５＋b５＞a3b2＋a2b3 ③a2＋b2≥2（a－b－1） ④＞2 A4 B3 Ｃ2 D1 (7)設a，b，c是區(qū)間(0，1)內的三個互不相等的實數且p＝logc，q＝，r＝，則p，q，r的大小關系是(C ) Ap＞q＞r Bp＜q＜r Cr＜P＜q Dp＜r＜q (8)已知x＞y＞0，xy＝1，求證：≥2 證明：∵x＞y＞0，xy＝1 ∴ ≥2＝2 ，即≥2 (9)已知a＞2，求證：loga（a－1）loga（a＋1）＜1 證明：∵a＞2 ∴l(xiāng)oga(a－1)＞0,loga(a＋1)＞0,loga(a－1)≠loga(a＋1) ∴l(xiāng)oga（a－1）loga（a＋1）＜［］2 ＝［loga（a2－1））2＜（logaa2）2＝1 即loga（a－1）loga（a＋1）＜1 (10)已知a，b∈R，證明：log2（2a＋2b）≥ 證明：∵a，b∈R ∴l(xiāng)og2（2a＋2b）≥log2（2）＝log2（22）＝1＋＝,即log2（2a＋2b）≥ (11)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求證：證明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1 ∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a） ∴［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］（） ≥33＝９故 (12)已知方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0，求證：方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2 證明：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0 ∴ax12＋bx1＋c＝0,∴a＋＝0 ∴c（）2＋b＋a＝0(方程cx2＋bx＋a＝0必有一根＞0) ∴x1＋x2＝x1＋≥2 故方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2 七、板書設計（略）八、課后記：

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