2019-2020年高考數學競賽平面幾何教案講義(16).doc
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2019-2020年高考數學競賽平面幾何教案講義(16)一、常用定理(僅給出定理,證明請讀者完成)梅涅勞斯定理 設分別是ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線上的點,若三點共線,則梅涅勞斯定理的逆定理 條件同上,若則三點共線。塞瓦定理 設分別是ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線上的點,若三線平行或共點,則塞瓦定理的逆定理 設分別是ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線上的點,若則三線共點或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分別是ABC的三邊BC,CA,AB所在直線上的點,則平行或共點的充要條件是廣義托勒密定理 設ABCD為任意凸四邊形,則ABCD+BCADACBD,當且僅當A,B,C,D四點共圓時取等號。斯特瓦特定理 設P為ABC的邊BC上任意一點,P不同于B,C,則有AP2=AB2+AC2-BPPC.西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線,則三垂足共線。西姆松定理的逆定理 若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點在三角形的外接圓上。九點圓定理 三角形三條高的垂足、三邊的中點以及垂心與頂點的三條連線段的中點,這九點共圓。蒙日定理 三條根軸交于一點或互相平行。(到兩圓的冪(即切線長)相等的點構成集合為一條直線,這條直線稱根軸)歐拉定理 ABC的外心O,垂心H,重心G三點共線,且二、方法與例題1同一法。即不直接去證明,而是作出滿足條件的圖形或點,然后證明它與已知圖形或點重合。例1 在ABC中,ABC=700,ACB=300,P,Q為ABC內部兩點,QBC=QCB=100,PBQ=PCB=200,求證:A,P,Q三點共線。2面積法。例2 ABCD中,E,F分別是CD,BC上的點,且BE=DF,BE交DF于P,求證:AP為BPD的平分線。3幾何變換。例3 (蝴蝶定理)AB是O的一條弦,M為AB中點,CD,EF為過M的任意弦,CF,DE分別交AB于P,Q。求證:PM=MQ。例4 平面上每一點都以紅、藍兩色之一染色,證明:存在這樣的兩個相似三角形,它們的相似比為1995,而且每個三角形三個頂點同色。4三角法。例5 設AD,BE與CF為ABC的內角平分線,D,E,F在ABC的邊上,如果EDF=900,求BAC的所有可能的值。5向量法。例6 設P是ABC所在平面上的一點,G是ABC的重心,求證:PA+PB+PC3PG.6解析法。例7 H是ABC的垂心,P是任意一點,HLPA,交PA于L,交BC于X,HMPB,交PB于M,交CA于Y,HNPC交PC于N,交AB于Z,求證:X,Y,Z三點共線。7四點共圓。例8 直線l與O相離,P為l上任意一點,PA,PB為圓的兩條切線,A,B為切點,求證:直線AB過定點。三、習題精選1O1和O2分別是ABC的邊AB,AC上的旁切圓,O1與CB,CA的延長線切于E,G,O2與BC,BA的延長線切于F,H,直線EG與FH交于點P,求證:PABC。2設O的外切四邊形ABCD的對角線AC,BD的中點分別為E,F,求證:E,O,F三點共線。3已知兩小圓O1與O2相外切且都與大圓O相內切,AB是O1與O2的一條外公切線,A,B在O上,CD是O1與O2的內公切線,O1與O2相切于點P,且P,C在直線AB的同一側,求證:P是ABC的內心。4ABC內有兩點M,N,使得MAB=NAC且MBA=NBC,求證:5ABC中,O為外心,三條高AD,BE,CF相交于點H,直線ED和AB相交于點M,直線FD和AC相交于點N,求證:(1)OBDF,OCDE;(2)OHMN。6設點I,H分別是銳角ABC的內心和垂心,點B1,C1分別是邊AC,AB的中點,已知射線B1I交邊AB于點B2(B2B),射線C1I交AC的延長線于點C2,B2C2與BC相交于點K,A1為BHC的外心。試證:A,I,A1三點共線的充要條件是BKB2和CKC2的面積相等。7已知點A1,B1,C1,點A2,B2,C2,分別在直線l1,l2上 ,B2C1交B1C2于點M,C1A2交A1C2于點N,B1A2交B2A1于L。求證:M,N,L三點共線。8ABC中,C=900,A=300,BC=1,求ABC的內接三角形(三個頂點分別在三條邊上的三角形)的最長邊的最小值。9ABC的垂心為H,外心為O,外接圓半徑為R,頂點A,B,C關于對邊BC,CA,AB的對稱點分別為,求證:三點共線的充要條件是OH=2R。- 配套講稿:
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