2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 第四篇 第3講 三角函數(shù)、解三角形、平面向量.doc
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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 第四篇 第3講 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 1.α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α=θ+2kπ(k∈Z),注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等. 任意角的三角函數(shù)的定義:設α是任意一個角,P(x,y)是α的終邊上的任意一點(異于原點),它與原點的距離是r=>0,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0),三角函數(shù)值只與角的大小有關,而與終邊上點P的位置無關. [問題1] 已知角α的終邊經(jīng)過點P(3,-4),則sin α+cos α的值為________. 2.同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式 (1)平方關系:sin2α+cos2α=1. (2)商數(shù)關系:tan α=. (3)誘導公式記憶口訣:奇變偶不變、符號看象限 角 -α π-α π+α 2π-α -α 正弦 -sin α sin α -sin α -sin α cos α 余弦 cos α -cos α -cos α cos α sin α 3.三角函數(shù)的圖象與性質 (1)五點法作圖; (2)對稱軸:y=sin x,x=kπ+,k∈Z;y=cos x,x=kπ,k∈Z; 對稱中心:y=sin x,(kπ,0),k∈Z;y=cos x,,k∈Z;y=tan x,,k∈Z. (3)單調區(qū)間: y=sin x的增區(qū)間: (k∈Z), 減區(qū)間: (k∈Z); y=cos x的增區(qū)間: (k∈Z), 減區(qū)間:[2kπ,π+2kπ] (k∈Z); y=tan x的增區(qū)間: (k∈Z). (4)周期性與奇偶性: y=sin x的最小正周期為2π,為奇函數(shù);y=cos x的最小正周期為2π,為偶函數(shù);y=tan x的最小正周期為π,為奇函數(shù). 易錯警示:求y=Asin(ωx+φ)的單調區(qū)間時,容易出現(xiàn)以下錯誤: (1)不注意ω的符號,把單調性弄反,或把區(qū)間左右的值弄反; (2)忘掉寫+2kπ,或+kπ等,忘掉寫k∈Z; (3)書寫單調區(qū)間時,錯把弧度和角度混在一起.如[0,90]應寫為. [問題3] 函數(shù)y=sin的遞減區(qū)間是________________. 4.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(αβ)=sin αcos βcos αsin βsin 2α=2sin αcos α. cos(αβ)=cos αcos β?sin αsin βcos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan(αβ)=. cos2α=,sin2α=,tan 2α=. 在三角的恒等變形中,注意常見的拆角、拼角技巧,如: α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β), α=[(α+β)+(α-β)]. α+=(α+β)-,α=-. [問題4] 已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,則cos=________. 5.解三角形 (1)正弦定理:===2R(R為三角形外接圓的半徑).注意:①正弦定理的一些變式:(ⅰ)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;(ⅱ)sin A=,sin B=,sin C=;(ⅲ)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;②已知三角形兩邊及一對角,求解三角形時,若運用正弦定理,則務必注意可能有兩解,要結合具體情況進行取舍.在△ABC中A>B?sin A>sin B. (2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,cos A=等,常選用余弦定理判定三角形的形狀. [問題5] 在△ABC中,a=,b=,A=60,則B=________. 6.向量的平行與垂直 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,則a∥b?b=λa?x1y2-x2y1=0. a⊥b (a≠0)?ab=0?x1x2+y1y2=0. 0看成與任意向量平行,特別在書寫時要注意,否則有質的不同. [問題6] 下列四個命題:①若|a|=0,則a=0;②若|a|=|b|,則a=b或a=-b;③若a∥b,則|a|=|b|;④若a=0,則-a=0.其中正確命題是________. 7.向量的數(shù)量積 |a|2=a2=aa, ab=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2, cos θ==, a在b上的投影=|a|cos〈a,b〉==. 注意:〈a,b〉為銳角?ab>0且a、b不同向; 〈a,b〉為直角?ab=0且a、b≠0; 〈a,b〉為鈍角?ab<0且a、b不反向. 易錯警示:投影不是“影”,投影是一個實數(shù),可以是正數(shù)、負數(shù)或零. [問題7] 已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,則向量a在向量b上的投影為________. 8.當ab=0時,不一定得到a⊥b,當a⊥b時,ab=0;ab=cb,不能得到a=c,消去律不成立;(ab)c與a(bc)不一定相等,(ab)c與c平行,而a(bc)與a平行. [問題8] 下列各命題:①若ab=0,則a、b中至少有一個為0;②若a≠0,ab=ac,則b=c;③對任意向量a、b、c,有(ab)c≠a(bc);④對任一向量a,有a2=|a|2.其中正確命題是________. 9.幾個向量常用結論 (1)++=0?P為△ABC的重心; (2)==?P為△ABC的垂心; (3)向量λ(+) (λ≠0)所在直線過△ABC的內(nèi)心; (4)||=||=||?P為△ABC的外心. 易錯點1 忽視角的范圍 例1 已知sin α=,sin β=,且α,β為銳角,則α+β=________. 錯因分析 只考慮α,β為銳角. 沒有注意到 sin α=,sin β=本身對角的范圍的限制,造成錯解. 解析 因為α,β為銳角,所以cos α==, cos β==. 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =-=. 又因為0<α+β<π,所以α+β=. 答案 易錯點2 圖象平移把握不準 例2 已知函數(shù)f(x)=sin(2x+),為了得到函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象,只要將y=f(x)的圖象( ) A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度 錯因分析?、贈]有將f(x),g(x)化為同名函數(shù);②平移時看2x變成了什么,而沒有認識到平移過程只是對“x”而言. 解析 g(x)=sin(2x+)=sin[2(x+)+], ∴y=f(x)的圖象向左平移個單位長度即可得到y(tǒng)=g(x)的圖象. 答案 A 易錯點3 三角函數(shù)單調性判斷錯誤 例3 求函數(shù)y=sin(-)的單調區(qū)間. 錯因分析 由于受思維定勢的影響,本題容易出現(xiàn)仍然按照函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調區(qū)間的判斷方法進行,如認為當x滿足2kπ-≤-x≤2kπ+(k∈Z)時函數(shù)單調遞增,就會求錯函數(shù)的單調區(qū)間. 解 原函數(shù)變形為y=-sin(-),令u=-,則只需求y=sin u 的單調區(qū)間即可,所以y=sin u在2kπ-≤-≤2kπ+(k∈Z),即3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)上單調遞增;y=sin u在2kπ+≤u=-≤2kπ+(k∈Z),即3kπ+≤x≤3kπ+π(k∈Z)上單調遞減. 故y=sin(-)=-sin u的單調遞減區(qū)間為[3kπ-,3kπ+](k∈Z),單調遞增區(qū)間為[3kπ+,3kπ+](k∈Z). 易錯點4 解三角形忽視檢驗 例4 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=1,c=. (1)若角C=,則角A=________; (2)若角A=,則b=________. 錯因分析 在用正弦定理解三角形時,易出現(xiàn)漏解或多解的錯誤,如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大,在求得sin A==后,得出角A=或;在第(2)問中沒有考慮角C有兩解,由sin C==,只得出角C=,所以角B=,解得b=2,這樣就出現(xiàn)漏解的錯誤. 解析 (1)由正弦定理=, 得sin A==, 又a<c,所以A<C.所以A=. (2)由=, 得sin C==,得C=或, 當C=時,B=,可得b=2; 當C=時,B=,此時得b=1. 答案 (1) (2)2或1 易錯點5 忽視向量共線致誤 例5 已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是________________________________________________________________________. 錯因分析 誤認為θ為銳角?cos θ>0,沒有排除θ=0即兩向量同向的情況. 解析 由θ為銳角,有0- 配套講稿:
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