2019-2020年高中數(shù)學(xué) 空間幾何體 板塊四 綜合問題完整講義（學(xué)生版）.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 空間幾何體 板塊四 綜合問題完整講義（學(xué)生版） 典例分析 組合體 【例1】 （xx京春）一個(gè)底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高，則 ． 【例2】 已知正四面體的表面積為，其四個(gè)面的中心分別為、、、，設(shè)四面體的表面積為，則等于（ ） A． B． C． D． 【例3】 有一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為的正方形的圓柱，將它的內(nèi)部挖去一個(gè)與它同底等高的圓錐，求余下來的幾何體的表面積與體積． 【例4】 棱長(zhǎng)為1的正方體被以為球心，為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（ ） A． B． C． D． 【例5】 已知正三棱錐，一個(gè)正三棱柱的上底面三頂點(diǎn)在棱錐的三條側(cè)棱上，下底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為． ⑴求正三棱柱的高； ⑵求正三棱柱的體積； ⑶求棱柱上底面所截棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比． 【例6】 （xx福建15） 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是　　　?。? 【例7】 正方體全面積為，求它的外接球和內(nèi)切球的表面積． 【例8】 半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，則球的表面積和體積的比為______． 【例9】 棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為______． 【例10】 （xx年天津理12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為則此球的表面積． 【例11】 （xx浙江卷14）如圖，已知球的球面上四點(diǎn)、、、，平面，，，則球點(diǎn)體積等于__________ 【例12】 （xx全國(guó)文15）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)、、、、都在同一球面上，則該球的體積為_______． 【例13】 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．（等邊圓錐是指軸截面是等邊三角形的圓錐） 【例14】 設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，求： ⑴內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)； ⑵內(nèi)切球的表面積． 【例15】 圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑為，且圓臺(tái)的全面積和球面積之比為，求圓臺(tái)的上，下底面半徑（）． 【例16】 一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切．問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？ 【例17】 （xx全國(guó)卷I）直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，，則此球的表面積等于 ． 【例18】 （06四川卷文9）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是（?。? A． B． C． D． 【例19】 正四面體棱長(zhǎng)為，求其外接球和內(nèi)切球的表面積． 【例20】 如圖所示，正四面體的外接球的體積為，求四面體的體積． 【例21】 （xx新課標(biāo)海南寧夏文理） 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的體積為_________． 【例22】 如圖，在等腰梯形中，，為的中點(diǎn)，將 與分別沿向上折起，使重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積（ ） A． B． C． D． 【例23】 （xx重慶理9）如圖，體積為的大球內(nèi)有個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的個(gè)頂點(diǎn)．為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是（ ） A． B． C． D． 【例24】 (xx全國(guó)Ⅱ，理12)將半徑都為的個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為( ) A． B． C． D． 綜合問題 與三視圖、直觀圖綜合 【例1】 若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的表面積為（　?。? A． B． C． D． 【例25】 若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的體積為_______． 【例26】 （xx寧夏海南卷理）一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：）為（ ） A． B． C． D． 【例27】 （xx年豐臺(tái)一模） 若一個(gè)正三棱柱的三視圖及其尺寸如下圖所示（單位：）， 則該幾何體的體積是 ． 【例28】 （xx石景山一模） 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側(cè)面積（單位：）為（ ） A． B． C． D． 【例29】 （xx年東城一模） 下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 ． 【例30】 （xx年東城一模） 已知某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 【例31】 （xx年宣武一模） 若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是 ． 【例32】 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是________． 【例33】 （xx年崇文一模） 有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖（單位：），該幾何體的表面積和體積為（ ） A． B． C． D．以上都不正確 【例34】 （朝陽文題12） 如下圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為 ． 【例35】 （xx天津高考）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為 【例36】 （xx浙江高考）若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 ． 【例37】 （xx年崇文二模） 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積等于（ ） A． B． C． D． 【例38】 （xx年朝陽二模） 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是 （ ） A． B． C． D． 【例39】 已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形． ⑴求該幾何體的體積； ⑵求該幾何體的側(cè)面積． 【例40】 已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸， 可得這個(gè)幾何體的體積是_______． 【例41】 （xx揚(yáng)州中學(xué)高三期末）一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為 ． 【例42】 （xx山東文理6）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 【例43】 已知一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長(zhǎng)為的正三角形，俯視圖是直徑為的圓，如圖，則此幾何體的外接球的表面積為 ． 【例44】 （xx新課標(biāo)海南寧夏） 如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：）． ⑴在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； ⑵按照給出的尺寸，求該多面體的體積； ⑶在所給直觀圖中連結(jié)，證明：面． 【例45】 一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M、N分別是AF、BC的中點(diǎn)）． ⑴求證：MN∥平面CDEF； ⑵求多面體A—CDEF的體積． 其他問題 【例46】 已知一個(gè)全面積為24的正方體，有一個(gè)與每條棱都相切的球，此球的體積為 ． 【例47】 有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)．已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且該塔形的表面積（包括上下底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例48】 （xx年全國(guó)高考）一間民房的屋頂有如下圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜．記三種蓋法屋頂面積分別為、、．若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則（　?。? A． B． C． D． 雜題 【例49】 （xx江西）如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)．如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)（圖2）．有下列四個(gè)命題： A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半 B．將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn) C．任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn) D．若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿 其中真命題的代號(hào)是： （寫出所有真命題的代號(hào)）． 【例50】 （xx年全國(guó)文最后一題）⑴給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說明； ⑵試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??； ⑶如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個(gè)直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要說明． 【例51】 （xx江蘇）兩相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ） A．個(gè)　　　　　B．個(gè) C．個(gè)　　　　　D．無窮多個(gè) 【例52】 （06江西卷）如圖，在四面體中，截面經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心，且與，分別截于、，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐與三棱錐的表面積分別是，，則必有（ ） A．　　B．　　 C．　　D．，的大小關(guān)系不能確定 【例53】 （xx福建，16）如圖，將邊長(zhǎng)為的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器（如圖）． 當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為 時(shí)，其容積最大． 【例54】 （xx全國(guó)Ⅱ，理12）將半徑都為的個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（ ） A． B． C． D． 【例55】 養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為，高．養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）． ⑴分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積； ⑵分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積； ⑶哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？