2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬試卷 理（含解析） 　 一、選擇題：本大題共10小題．每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于（　?。? 　 A． ﹣1+i B． ﹣1﹣i C． 1﹣i D． 1+i 　 2．設(shè)全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，則（　?。? 　 A． A?B B． A∪B=A C． A∩B=? D． A∩（?IB）≠? 　 3．如圖是某體育比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（　?。? 　 A． 5和1.6 B． 85和1.6 C． 85和0.4 D． 5和0.4 　 4．“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（　?。? 　 A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 　 C． 充要條件 D． 即不充分也不必要條件 　 5．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是（　?。? 　 A． 2 B． C． D． 3 6．已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（　　） 　 A． ﹣=1 B．﹣=1 　 C． ﹣=1 D． ﹣=1 　 7．設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，下列命題中正確的是（　?。? 　 A． 若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β B． 若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥β 　 C． 若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β D． 若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β 　 8．函數(shù)y=4cosx﹣e|x|（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是（　?。? 　 A． B． C． D． 　 9．對于函數(shù)y=sin（2x﹣），下列說法正確的是（　?。? 　 A． 函數(shù)圖象關(guān)于點（，0）對稱 　 B． 函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱 　 C． 將它的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin2x的圖象 　 D． 將它的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的倍，得到y(tǒng)=sin（x﹣）的圖象 　 10．已知點G是△ABC的外心，是三個單位向量，且2++=，如圖所示，△ABC的頂點B，C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動，O是坐標(biāo)原點，則||的最大值為（　?。? 　 A． B． C． 2 D． 3 　 　 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分． 11．已知函數(shù)f（x）=tanx+sinx+xx，若f（m）=2，則f（﹣m）=　　　　　?。? 　 12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是　　　　　??； 　 13．設(shè)a=∫12（3x2﹣2x）dx，則二項式（ax2﹣）6展開式中的第6項的系數(shù)為　　　　　?。? 　 14．若目標(biāo)函數(shù)z=kx+2y在約束條件下僅在點（1，1）處取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是　　　　　　． 　 15．若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于τ，?屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ．則稱τ是集合X上的一個拓?fù)洌阎蟈={a，b，c}，對于下面給出的四個集合τ： ①τ={?，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ={?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ={?，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ={?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的拓?fù)涞募夕拥男蛱柺恰　　　　　。? 　 　 三、解答題：本大題共6小題，共75分．請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 16．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，b=3． （Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面積． 　 17．某大學(xué)準(zhǔn)備在開學(xué)時舉行一次大學(xué)一年級學(xué)生座談會，擬邀請20名來自本校機械工程學(xué)院、海洋學(xué)院、醫(yī)學(xué)院、經(jīng)濟學(xué)院的學(xué)生參加，各學(xué)院邀請的學(xué)生數(shù)如下表所示： 學(xué)院 機械工程學(xué)院 海洋學(xué)院 醫(yī)學(xué)院 經(jīng)濟學(xué)院 人數(shù) 4 6 4 6 （Ⅰ）從這20名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生發(fā)言，求這3名學(xué)生中任意兩個均不屬于同一學(xué)院的概率； （Ⅱ）從這20名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生發(fā)言，設(shè)來自醫(yī)學(xué)院的學(xué)生數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望． 　 18．如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，AD=AA1=3，BC=1，E1為A1B1中點． （Ⅰ）證明：B1D∥平面AD1E1； （Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（銳角）的余弦值． 　 19．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，且a10=19，S10=100；數(shù)列{bn}對任意n∈N*，總有b1?b2?b3…bn﹣1?bn=an+2成立． （Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； （Ⅱ）記cn=（﹣1）n，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn． 　 20．已知橢圓C：+y2=1與直線l：y=kx+m相交于E、F兩不同點，且直線l與圓O：x2+y2=相切于點W（O為坐標(biāo)原點）． （Ⅰ）證明：OE⊥OF； （Ⅱ）設(shè)λ=，求實數(shù)λ的取值范圍． 　 21．已知函數(shù)f（x）=x2+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1），h（x）=f（x）+g′（x）． （Ⅰ）若函數(shù)g（x）的圖象在原點處的切線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，求實數(shù)k的值； （Ⅱ）若h（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，求實數(shù)k的取值范圍； （Ⅲ）若對于?t∈[0，﹣1]，總存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2滿f（xi）=g（t）（i=1，2），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍． 　 　  xx山東省青島市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共10小題．每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于（　　） 　 A． ﹣1+i B． ﹣1﹣i C． 1﹣i D． 1+i 考點： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題： 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)． 分析： 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值． 解答： 解：=． 故選：D． 點評： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)的計算題． 　 2．設(shè)全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，則（　　） 　 A． A?B B． A∪B=A C． A∩B=? D． A∩（?IB）≠? 考點： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用． 專題： 計算題；集合． 分析： 化簡集合A，B，即可得出結(jié)論． 解答： 解：由題意，A={y|y=log2x，x＞2}=（1，+∞），B={x|y=}=[1，+∞）， ∴A?B， 故選：A． 點評： 本題考查集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集． 　 3．如圖是某體育比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（　?。? 　 A． 5和1.6 B． 85和1.6 C． 85和0.4 D． 5和0.4 考點： 莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)． 專題： 圖表型． 分析： 根據(jù)均值與方差的計算公式，分布計算出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分即可． 解答： 解：根據(jù)題意可得：評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)還剩84，84，84，86，87， 所以所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=85， 所剩數(shù)據(jù)的方差為[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6． 故選B． 點評： 本題考查莖葉圖、平均數(shù)和方差，對于一組數(shù)據(jù)通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差，它們分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題． 　 4．“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（　?。? 　 A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 　 C． 充要條件 D． 即不充分也不必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷；等差數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列；若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，易得2an+1=an+an+2，由充要條件的定義可得答案． 解答： 解：由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an， 由n的任意性可知，數(shù)列從第二項起每一項 與前一項的差是固定的常數(shù)，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列， 反之，若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，易得2an+1=an+an+2， 故“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充要條件， 故選C 點評： 本題考查充要條件的判斷，涉及等差數(shù)列的判斷，屬基礎(chǔ)題． 　 5．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是（　?。? 　 A． 2 B． C． D． 3 考點： 簡單空間圖形的三視圖． 專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，再利用體積公式求高x即可． 解答： 解：根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖是： V==3?x=3． 故選D． 點評： 由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵． 　 6．已知雙曲線﹣=1（a＞0， b＞0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（　　） 　 A． ﹣=1 B． ﹣=1 　 C． ﹣=1 D． ﹣=1 考點： 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 由已知得，由此能求出雙曲線方程． 解答： 解：∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0， 雙曲線的一個焦點在直線l上， ∴， 解得a=2，b=， ∴雙曲線方程為﹣=1． 故選：A． 點評： 本題考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運用． 　 7．設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，下列命題中正確的是（　?。? 　 A． 若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β B． 若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥β 　 C． 若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β D． 若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β 考點： 平面與平面之間的位置關(guān)系． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 利用線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理即可判斷出答案． 解答： 解：選擇支C正確，下面給出證明． 證明：如圖所示： ∵m∥n，∴m、n確定一個平面γ，交平面α于直線l． ∵m∥α，∴m∥l，∴l(xiāng)∥n． ∵n⊥β，∴l(xiāng)⊥β， ∵l?α，∴α⊥β． 故C正確． 故選C． 點評： 正確理解和掌握線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵． 　 8．（5分）（xx?紹興二模）函數(shù)y=4cosx﹣e|x|（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是（　　） 　 A． B． C． D． 考點： 函數(shù)的圖象． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 先驗證函數(shù)y=4cosx﹣e|x|是否具備奇偶性，排除一些選項，在取特殊值x=0時代入函數(shù)驗證即可得到答案． 解答： 解：∵函數(shù)y=4cosx﹣e|x|， ∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x）， 函數(shù)y=4cosx﹣e|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除BD， 又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3， 只有A適合， 故選：A． 點評： 本題主要考查函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)圖象的選擇題，通常先驗證奇偶性，排除一些選項，再代特殊值驗證，屬于中檔題． 　 9．對于函數(shù)y=sin（2x﹣），下列說法正確的是（　?。? 　 A． 函數(shù)圖象關(guān)于點（，0）對稱 　 B． 函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱 　 C． 將它的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin2x的圖象 　 D． 將它的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的倍，得到y(tǒng)=sin（x﹣）的圖象 考點： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；正弦函數(shù)的圖象． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： A，將x=代入可得y≠0，故不正確； B，將x=代入可得：y=﹣1，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知正確； C，求出平移后的函數(shù)解析式即可判斷． D，求出平移后的函數(shù)解析式即可判斷． 解答： 解：A，將x=代入可得：y=sin（2﹣）=1，故不正確； B，將x=代入可得：y=sin（2﹣）=﹣1，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知正確； C，將它的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的圖象，故不正確； D，將它的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的倍，得到函數(shù)y=sin（4x﹣）的圖象，故不正確． 故選：B． 點評： 本題考查正弦函數(shù)的對稱性、周期性，考查綜合分析與應(yīng)用能力，屬于中檔題． 　 10．已知點G是△ABC的外心，是三個單位向量，且2++=，如圖所示，△ABC的頂點B，C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動，O是坐標(biāo)原點，則||的最大值為（　?。? 　 A． B． C． 2 D． 3 考點： 向量的加法及其幾何意義． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)題意，得出：①G是BC的中點，△ABC是直角三角形，且斜邊BC=2； ②點G的軌跡是以原點為圓心、1為半徑的圓?。? ③OA經(jīng)過BC的中點G時，||取得最大值為2||． 解答： 解：∵點G是△ABC的外心，且2++=， ∴點G是BC的中點，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角； 又∵是三個單位向量， ∴BC=2； 又∵△ABC的頂點B、C分別在x軸和y軸的非負(fù)半軸上移動， ∴點G的軌跡是以原點為圓心、1為半徑的圓弧； 又∵||=1， ∴OA經(jīng)過BC的中點G時，||取得最大值，最大值為2||=2． 故選：C． 點評： 本題考查了平面向量的加法與減法的幾何意義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目． 　 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分． 11．已知函數(shù)f（x）=tanx+sinx+xx，若f（m）=2，則f（﹣m）=　4028?。? 考點： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解． 解答： 解：∵函數(shù)f（x）=tanx+sinx+xx， ∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+xx， ∵f（﹣x）+f（x）=4030， ∴f（m）+f（﹣m）=4030， ∵f（m）=2， ∴f（﹣m）=4028． 故答案為：4028． 點評： 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，整體運用的思想，屬于容易題，難度不大． 　 12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是　132?。? 考點： 程序框圖． 專題： 圖表型；算法和程序框圖． 分析： 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的s，i的值，當(dāng)i=10時，不滿足條件i≥11，退出循環(huán)，輸出s的值為132． 解答： 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 i=12，s=1 滿足條件i≥11，s=12，i=11 滿足條件i≥11，s=132，i=10 不滿足條件i≥11，退出循環(huán)，輸出s的值為132． 故答案為：132． 點評： 本題主要考查了程序框圖和算法，依次正確寫出每次循環(huán)得到的s，i的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查． 　 13．設(shè)a=∫12（3x2﹣2x）dx，則二項式（ax2﹣）6展開式中的第6項的系數(shù)為　﹣24?。? 考點： 定積分；二項式系數(shù)的性質(zhì)． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；二項式定理． 分析： 先根據(jù)定積分的計算法則求出a的值，再根據(jù)二項式展開式的通項公式求出第6項的系數(shù)． 解答： 解：a=∫12（3x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）|=4， ∴（ax2﹣）6=（4x2﹣）6， ∵Tk+1=， ∴T6=T5+1=﹣?4x﹣3，=﹣24x﹣3， ∴展開式中的第6項的系數(shù)為﹣24， 故答案為：﹣24． 點評： 本題考查了定積分的計算法則和根據(jù)二項式展開式的通項公式，屬于與基礎(chǔ)題． 　 14．若目標(biāo)函數(shù)z=kx+2y在約束條件下僅在點（1，1）處取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是?。ī?，2）?。? 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出k的取值范圍． 解答： 解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域， 由z=kx+2y得y=﹣x+， 要使目標(biāo)函數(shù)z=kx+2y僅在點B（1，1）處取得最小值， 則陰影部分區(qū)域在直線z=kx+2y的右上方， ∴目標(biāo)函數(shù)的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直線2x﹣y=1的斜率 即﹣1＜﹣＜2， 解得﹣4＜k＜2， 即實數(shù)k的取值范圍為（﹣4，2）， 故答案為：（﹣4，2）． 點評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)條件目標(biāo)函數(shù)僅在點（1，1）處取得最小值，確定直線的位置是解決本題的關(guān)鍵． 　 15．若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于τ，?屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ．則稱τ是集合X上的一個拓?fù)洌阎蟈={a，b，c}，對于下面給出的四個集合τ： ①τ={?，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ={?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ={?，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ={?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的拓?fù)涞募夕拥男蛱柺恰、冖堋。? 考點： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用． 專題： 壓軸題；新定義． 分析： 根據(jù)集合X上的拓?fù)涞募夕拥亩x，逐個驗證即可：①{a}∪{c}={a，c}?τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}?τ，因此①③都不是； ②④滿足：①X屬于τ，?屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ，因此②④是，從而得到答案． 解答： 解：①τ={?，{a}，{c}，{a，b，c}}； 而{a}∪{c}={a，c}?τ，故①不是集合X上的拓?fù)涞募夕樱? ②τ={?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，滿足：①X屬于τ，?屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ 因此②是集合X上的拓?fù)涞募夕樱? ③τ={?，{a}，{a，b}，{a，c}}； 而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}?τ，故③不是集合X上的拓?fù)涞募夕樱? ④τ={?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 滿足：①X屬于τ，?屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ 因此④是集合X上的拓?fù)涞募夕樱? 故答案為②④． 點評： 此題是基礎(chǔ)題．這是考查學(xué)生理解能力和對知識掌握的靈活程度的問題，重在理解題意．本題是開放型的問題，要認(rèn)真分析條件，探求結(jié)論，對分析問題解決問題的能力要求較高． 　 三、解答題：本大題共6小題，共75分．請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 16．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，b=3． （Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面積． 考點： 余弦定理；正弦定理． 專題： 解三角形． 分析： （I）利用正弦定理與余弦定理即可得出； （II）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角形的面積計算公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）∵， ∴， ∴a2﹣b2=ac﹣c2， ∴， ∵B∈（0，π）， ∴． （Ⅱ）由b=3，，，得a=2， 由a＜b得A＜B，從而， 故， ∴△ABC的面積為． 點評： 本題考查了正弦定理與余弦定理、正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 　 17．某大學(xué)準(zhǔn)備在開學(xué)時舉行一次大學(xué)一年級學(xué)生座談會，擬邀請20名來自本校機械工程學(xué)院、海洋學(xué)院、醫(yī)學(xué)院、經(jīng)濟學(xué)院的學(xué)生參加，各學(xué)院邀請的學(xué)生數(shù)如下表所示： 學(xué)院 機械工程學(xué)院 海洋學(xué)院 醫(yī)學(xué)院 經(jīng)濟學(xué)院 人數(shù) 4 6 4 6 （Ⅰ）從這20名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生發(fā)言，求這3名學(xué)生中任意兩個均不屬于同一學(xué)院的概率； （Ⅱ）從這20名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生發(fā)言，設(shè)來自醫(yī)學(xué)院的學(xué)生數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望． 考點： 離散型隨機變量及其分布列；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機變量的期望與方差． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： （Ⅰ）從20名學(xué)生隨機選出3名的方法數(shù)為，選出3人中任意兩個均不屬于同一學(xué)院的方法數(shù)為 ，由此利用等可能事件概率計算公式能求出這3名學(xué)生中任意兩個均不屬于同一學(xué)院的概率． （Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望． 解答： 解：（Ⅰ）從20名學(xué)生隨機選出3名的方法數(shù)為， 選出3人中任意兩個均不屬于同一學(xué)院的方法數(shù)為： 所以 （Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3， ， 所以ξ的分布列為 0 1 2 3 P 所以 點評： 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意排列組合知識的合理運用． 　 18．如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，AD=AA1=3，BC=1，E1為A1B1中點． （Ⅰ）證明：B1D∥平面AD1E1； （Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（銳角）的余弦值． 考點： 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定． 專題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角． 分析： （Ⅰ）連結(jié)A1D交AD1于G，四邊形ADD1A1為平行四邊形，從而B1D∥E1G，由此能證明B1D∥平面AD1E1． （Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD1的一個法向量和平面CDD1C1的一個法向量，由此利用向量法能求出平面ACD1和平面CDD1C1所成角（銳角）的余弦值． 解答： 解：（Ⅰ）證明：連結(jié)A1D交AD1于G， 因為ABCD﹣A1B1C1D1為四棱柱， 所以四邊形ADD1A1為平行四邊形， 所以G為A1D的中點， 又E1為A1B1中點，所以E1G為△A1B1D的中位線， 從而B1D∥E1G…（4分） 又因為B1D?平面AD1E1，E1G?平面AD1E1， 所以B1D∥平面AD1E1． …（5分） （Ⅱ）解：因為AA1⊥底面ABCD，AB?面ABCD，AD?面ABCD， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，又∠BAD=90， 所以AB，AD，AA1兩兩垂直．…（6分） 如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB=t，則A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0）， D（0，3，0），C1（t，1，3），D1（0，3，3）． 從而，． 因為AC⊥BD，所以，解得．…（8分） 所以，． 設(shè)是平面ACD1的一個法向量， 則即 令x1=1，則．…（9分） 又，． 設(shè)是平面CDD1C1的一個法向量， 則即 令x2=1，則．…（10分） ∴， ∴平面ACD1和平面CDD1C1所成角（銳角）的余弦值．…（12分） 點評： 本小題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想． 　 19．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，且a10=19，S10=100；數(shù)列{bn}對任意n∈N*，總有b1?b2?b3…bn﹣1?bn=an+2成立． （Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； （Ⅱ）記cn=（﹣1）n，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn． 考點： 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的前n項和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由題意和等差數(shù)列的前n項和公式求出公差，代入等差數(shù)列的通項公式化簡求出an，再化簡b1?b2?b3…bn﹣1?bn=an+2，可得當(dāng)n≥2時b1?b2?b3…bn﹣1=2n﹣1，將兩個式子相除求出bn； （2）由（1）化簡cn=（﹣1）n，再對n分奇數(shù)和偶數(shù)討論，分別利用裂項相消法求出Tn，最后要用分段函數(shù)的形式表示出來． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d， 則a10=a1+9d=19，， 解得a1=1，d=2，所以an=2n﹣1，） 所以b1?b2?b3…bn﹣1?bn=2n+1…① 當(dāng)n=1時，b1=3， 當(dāng)n≥2時，b1?b2?b3…bn﹣1=2n﹣1…② ①②兩式相除得 因為當(dāng)n=1時，b1=3適合上式，所以． （Ⅱ）由已知， 得 則Tn=c1+c2+c3+…+cn=， 當(dāng)n為偶數(shù)時， = =， 當(dāng)n為奇數(shù)時， = =． 綜上：． 點評： 本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，裂項相消法求數(shù)列的和，以及分類討論思想，考查化簡、計算能力，屬于中檔題． 　 20．已知橢圓C：+y2=1與直線l：y=kx+m相交于E、F兩不同點，且直線l與圓O：x2+y2=相切于點W（O為坐標(biāo)原點）． （Ⅰ）證明：OE⊥OF； （Ⅱ）設(shè)λ=，求實數(shù)λ的取值范圍． 考點： 橢圓的簡單性質(zhì)． 專題： 方程思想；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （Ⅰ）由直線l與圓O相切，得圓心到直線l的距離d=r，再由直線l與橢圓C相交，得出E、F點的坐標(biāo)關(guān)系，從而證明OE⊥OF； （Ⅱ）根據(jù)直線l與圓O相切于點W，以及OE⊥OF，得出λ=的坐標(biāo)表示，求出λ的取值范圍． 解答： 解：（Ⅰ）∵直線l與圓O相切， ∴圓x2+y2=的圓心到直線l的距離d==， ∴； 由，得： （1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0； 設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）， 則，； ∴ ∴OE⊥OF； （Ⅱ）∵直線l與圓O相切于W，， ∴； 由（Ⅰ）知x1x2+y1y2=0， ∴x1x2=﹣y1y2，即； 從而， 即， ∴； ∵﹣≤x1≤， ∴λ∈[，2]． 點評： 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，也考查了直線與圓相切的應(yīng)用問題，考查了方程思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目． 　 21．已知函數(shù)f（x）=x2+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1），h（x）=f（x）+g′（x）． （Ⅰ）若函數(shù)g（x）的圖象在原點處的切線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，求實數(shù)k的值； （Ⅱ）若h（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，求實數(shù)k的取值范圍； （Ⅲ）若對于?t∈[0，﹣1]，總存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2滿f（xi）=g（t）（i=1，2），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）求出g（x）的定義域和導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，寫出切線方程，聯(lián)立f（x），消去y，運用判別式為0，即可得到k； （Ⅱ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，h（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，則h′（x）≤0對x∈[0，2]恒成立，運用導(dǎo)數(shù)求出h′（x）在[0，2]的最大值，解不等式即可得到k的范圍； （Ⅲ）分別求出g（t）在t∈[0，﹣1]的值域A和f（x）在x∈（﹣1，4）的值域B，由題意可得A包含于B，得到不等式組，解出即可得到k的范圍． 解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)g（x）的定義域為（﹣1，+∞）， g′（x）=ln（x+1）+1， 則g（0）=0，g′（0）=1， ∴切線l：y=x， 由， ∵l與函數(shù)f（x）的圖象相切， ∴； （Ⅱ），導(dǎo)數(shù)， 令， 對x∈[0，2]恒成立， 則在[0，2]遞增，即h′（x）在[0，2]上為增函數(shù)， ∴， ∵h（x）在[0，2]上單調(diào)遞減， ∴h′（x）≤0對x∈[0，2]恒成立， 即， ∴； （Ⅲ）當(dāng)時，g′（x）=ln（x+1）+1＞0， ∴g（x）=（x+1）ln（x+1）在區(qū)間上為增函數(shù)， ∴時，， ∵的對稱軸為x=﹣k， ∴為滿足題意，必須﹣1＜﹣k＜4， 此時，f（x）的值恒小于f（﹣1）和f（4）中最大的一個， ∵對于，總存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2滿足f（xi）=g（t）（i=1，2）， ∴， ∴， ∴． 點評： 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，同時考查任意存在問題注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域的包含關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．