2019-2020年高考數學一模試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高考數學一模試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，則?UA=（） A． φ B． {0，2} C． {1，5} D． {2，0，1，5} 2．（5分）已知復數z滿足z（1+i）=1（其中i為虛數單位），則z=（） A． B． C． D． 3．（5分）若函數y=ax+b的部分圖象如圖所示，則（） A． 0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B． 0＜a＜1，0＜b＜1 C． a＞1，﹣1＜b＜0 D． a＞1，0＜b＜1 4．（5分）已知實數x，y滿足不等式組，則2x+y的最大值為（） A． 3 B． 4 C． 6 D． 9 5．（5分）已知直線a，b，平面α，β，且a⊥α，b?β，則“a⊥b”是“α∥β”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（） A． 16 B． 25 C． 36 D． 49 7．（5分）在△ABC中，a，b，c分為為∠A，∠B，∠C所對的邊，若函數f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有極值點，則∠B的范圍是（） A． （0，） B． （0，] C． [，π） D． [，π] 8．（5分）如果自然數a的各位數字之和等于8，我們稱a為“吉祥數”．將所有“吉祥數”從小到大排成一列a1，a2，a3…，若an=xx，則n=（） A． 83 B． 82 C． 39 D． 37 二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分．本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生必須作答． 9．（5分）（x﹣）4的展開式中常數項為．（用數字表示） 10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=． 11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，則x+4y的最小值為． 12．（5分）已知圓C：x2+y2+8x+ay﹣5=0經過拋物線E：x2=4y的焦點，則拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長為． 13．（5分）設P是函數y=lnx圖象上的動點，則點P到直線y=x的距離的最小值為． 三、【坐標系與參數方程選做題】（共1小題，每小題5分，滿分5分） 14．（5分）在極坐標系中，曲線C1：ρcosθ=與曲線C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B兩點，則|AB|=． 四、【幾何證明選講選做題】（共1小題，每小題0分，滿分0分） 15．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30，∠C=90，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點E．若BC=6，則DE的長為． 三、解答題 16．（12分）函數f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π． （1）求f（）的值； （2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值． 17．（12分）空氣質量指數（簡稱AQI）是定量描述空氣質量狀況的指數，其數值越大說明空氣污染越嚴重，為了及時了解空氣質量狀況，廣東各城市都設置了實時監(jiān)測站．下表是某網站公布的廣東省內21個城市在xx12月份某時刻實時監(jiān)測到的數據： 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 廣州 118 東莞 137 中山 95 江門 78 云浮 76 茂名 107 揭陽 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇慶 48 清遠 47 佛山 160 惠州 113 汕頭 88 汕尾 74 陽江 112 韶關 68 梅州 84 （1）請根據上表中的數據，完成下列表格： 空氣質量 優(yōu)質 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） 城市個數 （2）統(tǒng)計部門從空氣質量“良好”和“輕度污染”的兩類城市中采用分層抽樣的方式抽取6個城市，省環(huán)保部門再從中隨機選取3個城市組織專家進行調研，記省環(huán)保部門“選到空氣質量“良好”的城市個數為ξ”，求ξ的分布列和數學期望． 18．（14分）在三棱錐P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最長的邊．三棱錐P﹣ABC的三視圖如圖1所示，其中側視圖和俯視圖均為直角三角形． （1）請在圖2中，用斜二測畫法，把三棱錐P﹣ABC的直觀圖補充完整（其中點P在xOz平面內），并指出三棱錐P﹣ABC的哪些面是直角三角形； （2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值； （3）求點C到面PAB的距離． 19．（14分）已知數列{an}的首項大于0，公差d=1，且+=． （1）求數列{an}的通項公式； （2）若數列{bn}滿足：b1=﹣1，b2=λ，bn+1=bn+，其中n≥2． ①求數列{bn}的通項bn； ②是否存在實數λ，使得數列{bn}為等比數列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由． 20．（14分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過左焦點傾斜角為45的直線被橢圓截得的弦長為． （1）求橢圓E的方程； （2）若動直線l與橢圓E有且只有一個公共點，過點M（1，0）作l的垂線垂足為Q，求點Q的軌跡方程． 21．（14分）已知定義在[﹣2，2]上的奇函數f（x）滿足：當x∈（0，2]時，f（x）=x（x﹣2）． （1）求f（x）的解析式和值域； （2）設g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常數a＞0． ①試指出函數F（x）=g（f（x））的零點個數； ②若當1+是函數F（x）=g（f（x））的一個零點時，相應的常數a記為ak，其中k=1，2，…，n． 證明：a1+a2+…+an＜（n∈N*）． 廣東省深圳市xx高考數學一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，則?UA=（） A． φ B． {0，2} C． {1，5} D． {2，0，1，5} 考點： 交、并、補集的混合運算． 專題： 集合． 分析： 根據集合的補集的定義求出A的補集即可． 解答： 解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}， ∴?UA={1，5}， 故選：C． 點評： 本題考查了集合的運算，是一道基礎題． 2．（5分）已知復數z滿足z（1+i）=1（其中i為虛數單位），則z=（） A． B． C． D． 考點： 復數代數形式的乘除運算． 專題： 數系的擴充和復數． 分析： 利用復數的運算法則即可得出． 解答： 解：∵z（1+i）=1， ∴=． 故選：D． 點評： 本題考查了復數的運算法則，屬于基礎題． 3．（5分）若函數y=ax+b的部分圖象如圖所示，則（） A． 0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B． 0＜a＜1，0＜b＜1 C． a＞1，﹣1＜b＜0 D． a＞1，0＜b＜1 考點： 指數函數的圖像與性質． 專題： 函數的性質及應用． 分析： 根據指數函數的圖象和性質即可判斷 解答： 解：由圖象可以看出，函數為減函數，故0＜a＜1， 因為函數y=ax的圖象過定點（0，1），函數y=ax+b的圖象過定點（0，b）， ∴﹣1＜b＜0， 故選：A 點評： 本題主要考查函數圖象的應用，利用函數過定點是解決本題的關鍵． 4．（5分）已知實數x，y滿足不等式組，則2x+y的最大值為（） A． 3 B． 4 C． 6 D． 9 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應用． 分析： 作出可行域，平行直線可得直線過點A（3，0）時，z取最大值，代值計算可得． 解答： 解：作出不等式組所對應的可行域（如圖陰影）， 變形目標函數z=2x+y可得y=﹣2x+z， 平移直線y=﹣2x可知，當直線經過點A（3，0）時，z取最大值， 代值計算可得z=2x+y的最大值為6 故選：C 點評： 本題考查簡單線性規(guī)劃，準確作圖是解決問題的關鍵，屬中檔題． 5．（5分）已知直線a，b，平面α，β，且a⊥α，b?β，則“a⊥b”是“α∥β”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據題意，分兩步來判斷：①分析當α∥β時，a⊥b是否成立，有線面垂直的性質，可得其是真命題， ②分析當a⊥b時，α∥β是否成立，舉出反例可得其是假命題，綜合①②可得答案． 解答： 解：根據題意，分兩步來判斷： ①當α∥β時， ∵a⊥α，且α∥β， ∴a⊥β，又∵b?β， ∴a⊥b， 則a⊥b是α∥β的必要條件， ②若a⊥b，不一定α∥β， 當α∩β=a時，又由a⊥α，則a⊥b，但此時α∥β不成立， 即a⊥b不是α∥β的充分條件， 則a⊥b是α∥β的必要不充分條件， 故選B． 點評： 本題考查充分必要條件的判斷，涉及線面垂直的性質的運用，解題的關鍵要掌握線面垂直的性質． 6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（） A． 16 B． 25 C． 36 D． 49 考點： 程序框圖． 專題： 算法和程序框圖． 分析： 執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，n，S的值，當i=6時，滿足條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為36． 解答： 解：執(zhí)行程序框圖，可得 S=0，n=1，i=1 S=1， 不滿足條件i＞5，i=2，n=3，S=4 不滿足條件i＞5，i=3，n=5，S=9 不滿足條件i＞5，i=4，n=7，S=16 不滿足條件i＞5，i=5，n=9，S=25 不滿足條件i＞5，i=6，n=11，S=36 滿足條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為36． 故選：C． 點評： 本題主要考察了程序框圖和算法，正確判斷退出循環(huán)時S的值是解題的關鍵，屬于基礎題． 7．（5分）在△ABC中，a，b，c分為為∠A，∠B，∠C所對的邊，若函數f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有極值點，則∠B的范圍是（） A． （0，） B． （0，] C． [，π） D． [，π] 考點： 利用導數研究函數的極值． 專題： 計算題；導數的綜合應用；解三角形． 分析： 先求導f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），從而化函數f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有極值點為x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有兩個不同的根，從而再利用余弦定理求解． 解答： 解：∵f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1， ∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac）， 又∵函數f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有極值點， ∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有兩個不同的根， ∴△=（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0， 即ac＞a2+c2﹣b2， 即ac＞2accosB； 即cosB＜； 故∠B的范圍是（，π）； 故選：D． 點評： 本題考查了導數的綜合應用及余弦定理的應用，屬于中檔題． 8．（5分）如果自然數a的各位數字之和等于8，我們稱a為“吉祥數”．將所有“吉祥數”從小到大排成一列a1，a2，a3…，若an=xx，則n=（） A． 83 B． 82 C． 39 D． 37 考點： 數列遞推式． 專題： 點列、遞歸數列與數學歸納法． 分析： 利用“吉祥數”的定義，分類列舉出“吉祥數”，推理可得到結論． 解答： 解：由題意，一位數時只有8一個； 二位數時，有17，26，35，44，53，62，71，80共8個 三位數時：（0，0，8）有1個，（0，1，7）有4個，（0，2，6）有4個， （0，3，5）有4個，（0，4，4）有2個，（1，1，6）有3個，（1，2，5）有6個， （1，3，4）有6個，（2，2，4），有3個，（2，3，3）有3個， 共1+43+2+33+62=36個， 四位數小于等于xx：（0，0，1，7）有3個，（0，0，2，6）有1個，（0，1，1，6）有6個， （0，1，2，5）有7個，（0，1，3，4）有6個，（1，1，1，5）有3個，（1，1，2，4）有6個， （1，1，3，3）有3個，（1，2，2，3）有3個， 共有34+63+1+7=38個數， ∴小于等于xx的一共有1+8+36+38=83個，即a83=xx 故選：A 點評： 本題考查新定義，涉及簡單計數原理和排列組合的知識，屬中檔題． 二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分．本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生必須作答． 9．（5分）（x﹣）4的展開式中常數項為．（用數字表示） 考點： 二項式定理． 專題： 計算題；二項式定理． 分析： 利用二項展開式的通項公式Tr+1=（﹣）r??x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2，即可求出（x﹣）4的展開式中常數項． 解答： 解：設（x﹣）4展開式的通項為Tr+1，則Tr+1=（﹣）r??x4﹣2r， 令4﹣2r=0得r=2． ∴展開式中常數項為：（﹣）2?=． 故答案為：． 點評： 本題考查二項式系數的性質，利用通項公式化簡是關鍵，屬于中檔題． 10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=18． 考點： 微積分基本定理． 專題： 導數的概念及應用． 分析： 根據微積分基本定理計算即可． 解答： 解：（x2﹣2sinx）dx=（x3+2cosx）|=33+2cos3﹣（﹣3）3﹣2cos（﹣3）=9+9=18 故答案為：18 點評： 本題考查了微積分基本定理，關鍵是求出原函數，屬于基礎題 11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，則x+4y的最小值為9． 考點： 平面向量數量積的運算． 專題： 平面向量及應用． 分析： 根據⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4結合“=”成立的條件，求出此時x，y的值，從而得到答案． 解答： 解：∵⊥，（x＞0，y＞0）， ∴?=﹣1+=0， ∴+=1， ∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9， 當且僅當=即x2=4y2時“=”成立， 故答案為：9 點評： 本題考查了平面向量數量積的運算，考查了基本不等式的性質，是一道基礎題． 12．（5分）已知圓C：x2+y2+8x+ay﹣5=0經過拋物線E：x2=4y的焦點，則拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長為4． 考點： 拋物線的簡單性質． 專題： 計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析： 求出拋物線E：x2=4y的焦點為（0，1），準線為y=﹣1，確定圓的方程，即可求出拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長． 解答： 解：拋物線E：x2=4y的焦點為（0，1），準線為y=﹣1． （0，1）代入圓C：x2+y2+8x+ay﹣5=0，可得1+a﹣5=0，∴a=4 ∴圓C：x2+y2+8x+4y﹣5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25， ∴圓心到直線的距離為d=1， ∴拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長為2=4． 故答案為：4． 點評： 本題考查圓的方程，考查拋物線的性質，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，比較基礎． 13．（5分）設P是函數y=lnx圖象上的動點，則點P到直線y=x的距離的最小值為． 考點： 利用導數研究曲線上某點切線方程． 專題： 計算題；作圖題；導數的綜合應用． 分析： 由題意作圖，從而可得點P（1，0）時，點P到直線y=x的距離的有最小值；從而求解． 解答： 解：由題意作圖如下， 令y′==1得， x=1，y=0； 故點P（1，0）時，點P到直線y=x的距離的有最小值； 故d==； 故答案為：． 點評： 本題考查了導數的綜合應用及數形結合的思想應用，屬于中檔題． 三、【坐標系與參數方程選做題】（共1小題，每小題5分，滿分5分） 14．（5分）在極坐標系中，曲線C1：ρcosθ=與曲線C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B兩點，則|AB|=2． 考點： 簡單曲線的極坐標方程． 專題： 坐標系和參數方程． 分析： 曲線C1：ρcosθ=化為x=．曲線C2：ρ2cos2θ=1化為ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，可得x2﹣y2=1，聯(lián)立解得即可． 解答： 解：曲線C1：ρcosθ=化為x=． 曲線C2：ρ2cos2θ=1化為ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，∴x2﹣y2=1， 聯(lián)立，解得． ∴|AB|=2． 故答案為：2． 點評： 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、弦長問題，考查了計算能力，屬于基礎題． 四、【幾何證明選講選做題】（共1小題，每小題0分，滿分0分） 15．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30，∠C=90，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點E．若BC=6，則DE的長為4． 考點： 與圓有關的比例線段． 專題： 立體幾何． 分析： 連接OE，由已知得∠AEO=90，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得DE=OD，由此能求出DE的長． 解答： 解：連接OE，∵AC是⊙O的切線，∴∠AEO=90， ∵∠A=30，∴OA=2OE， ∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD， ∴DE=OD（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）， ∵∠C=90，∠A=30，BC=6， ∴AB=2BC=12， ∵AB=OB+OD+AD=3OD=12， ∴OD=4， ∴DE=OD=4． 故答案為：4． 點評： 本題考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的簡單性質的合理運用． 三、解答題 16．（12分）函數f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π． （1）求f（）的值； （2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值． 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 計算題；三角函數的求值． 分析： （1）由已知可求ω的值，從而可得解析式，即可根據誘導公式求值． （2）由已知可求得cos2x0的值，即可求sin2x0的值，由兩角和的正弦公式展開所求代入即可求值． 解答： 解：（1）∵f（x）的周期是π，即T=π，…（1分） ∴ω==2，即． …（3分） ∴． …（5分） （2）由得，…（7分） 又，∴2x0∈（0，π），…（8分） ∴，…（9分） ∵ =． ∴． …（12分） 點評： 本小題主要考查了三角函數f（x）=Asin（ωx+?）的圖象與性質，同角三角函數的關系式，誘導公式，兩角和與差和二倍角的三角函數公式，考查了簡單的數學運算能力，屬于基礎題． 17．（12分）空氣質量指數（簡稱AQI）是定量描述空氣質量狀況的指數，其數值越大說明空氣污染越嚴重，為了及時了解空氣質量狀況，廣東各城市都設置了實時監(jiān)測站．下表是某網站公布的廣東省內21個城市在xx12月份某時刻實時監(jiān)測到的數據： 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 城市 AQI數值 廣州 118 東莞 137 中山 95 江門 78 云浮 76 茂名 107 揭陽 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇慶 48 清遠 47 佛山 160 惠州 113 汕頭 88 汕尾 74 陽江 112 韶關 68 梅州 84 （1）請根據上表中的數據，完成下列表格： 空氣質量 優(yōu)質 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） 城市個數 （2）統(tǒng)計部門從空氣質量“良好”和“輕度污染”的兩類城市中采用分層抽樣的方式抽取6個城市，省環(huán)保部門再從中隨機選取3個城市組織專家進行調研，記省環(huán)保部門“選到空氣質量“良好”的城市個數為ξ”，求ξ的分布列和數學期望． 考點： 離散型隨機變量的期望與方差；分層抽樣方法． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： （1）根據已知數據，能完成表格． （2）按分層抽樣的方法，抽出的“良好”類城市為4個，抽出的“輕度污染”類城市為2個．根據題意ξ的所有可能取值為：1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望． 解答： 解：（1）根據數據，完成表格如下： 空氣質量 優(yōu)質 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） 城市頻數 2 12 6 1 …（2分） （2）按分層抽樣的方法，從“良好”類城市中抽取個，…（3分） 從“輕度污染”類城市中抽取個，…（4分） 所以抽出的“良好”類城市為4個，抽出的“輕度污染”類城市為2個． 根據題意ξ的所有可能取值為：1，2，3． ∵， ， ．…（8分） ∴ξ的分布列為： ξ 1 2 3 p 所以． …（11分） 答：ξ的數學期望為2個．…（12分） 點評： 本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力． 18．（14分）在三棱錐P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最長的邊．三棱錐P﹣ABC的三視圖如圖1所示，其中側視圖和俯視圖均為直角三角形． （1）請在圖2中，用斜二測畫法，把三棱錐P﹣ABC的直觀圖補充完整（其中點P在xOz平面內），并指出三棱錐P﹣ABC的哪些面是直角三角形； （2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值； （3）求點C到面PAB的距離． 考點： 二面角的平面角及求法． 專題： 空間位置關系與距離；空間角． 分析： （1）由已知條件能用出三棱錐P﹣ABC直觀圖，由三視圖知△ABC和△PCA是直角三角形． （2）過P作PH⊥BC交BC于點H，由三視圖知△PBC為等腰三角形，取PC的中點E，過E作EF⊥PA且交PA于點F，連接BE，BF，∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣PA﹣C的正切值． （3）記C到面PAB的距離為h，由VP﹣ABC=VC﹣PAB，能求出C到面PAB的距離． 解答： 解：（1）三棱錐P﹣ABC直觀圖如圖1所示； 由三視圖知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分） （2）如圖2，過P作PH⊥BC交BC于點H， 由三視圖知△PBC為等腰三角形， ∵BC=4，，∴PB=PC=BC=4， 取PC的中點E，過E作EF⊥PA且交PA 于點F，連接BE，BF， 因為BE⊥PC，由三視圖知AC⊥面PBC， 且BE?面PBC，∴AC⊥BE， 又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC， 由PA?面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF， 由BF?面BEF，∴PA⊥BF， 所以∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角．…（6分） ∵△PEF∽△PAC，∴， ∵，∴，…（8分），∴在直角△BFE中，有． 所以，二面角B﹣PA﹣C的正切值為． …（9分） （3）記C到面PAB的距離為h， 由（1）、（2）知，∴， PB=4，VC﹣PAB==，…（12分） 三棱錐P﹣ABC的體積，…（13分） 由VP﹣ABC=VC﹣PAB，得C到面PAB的距離． …（14分） 點評： 本題主要考察空間點、線、面位置關系，三視圖及幾何體的直觀圖，二面角，三棱錐的體積，空間坐標系等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數學問題的能力． 19．（14分）已知數列{an}的首項大于0，公差d=1，且+=． （1）求數列{an}的通項公式； （2）若數列{bn}滿足：b1=﹣1，b2=λ，bn+1=bn+，其中n≥2． ①求數列{bn}的通項bn； ②是否存在實數λ，使得數列{bn}為等比數列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由． 考點： 數列與不等式的綜合． 專題： 等差數列與等比數列． 分析： （1）由已知得=，從而，由此能求出數列{an}的通項公式． （2）①由已知得=+1，令cn=，則c2=λ，cn+1=cn+1，由此能求出數列{bn}的通項公式． ②若數列{bn}為等比數列，則有，由此能求出存在實數λ=1，使得數列{bn}為等比數列． 解答： 解：（1）∵數列{an}的首項大于0，公差d=1，且+=，…（2分） ∴=，…（3分） 整理得，解得a1=1或a1=﹣3（舍去）．…（4分） 因此數列{an}的通項an=n．…（5分） （2）①∵bn+， ∴=+1．…（6分） 令cn=，則有c2=λ，cn+1=cn+1，（n≥2）． ∴當n≥2時，cn=c2+（n﹣2）=n﹣2+λ，．…（8分） ∴數列{bn}的通項bn=．…（9分） ②∵b1=﹣1，b2=λ，，…（10分） ∴若數列{bn}為等比數列，則有=b1b3， 即，解得λ=1或．…（11分） 當時，（n≥2）， 不是常數，數列{bn}不是等比數列， 當λ=1時，b1=﹣1，，（n≥2），數列{bn}為等比數列． 所以，存在實數λ=1，使得數列{bn}為等比數列．…（14分） 點評： 本題考查了等差數列的基本量的計算、遞推數列的通項公式、數列裂項求和公式、等比數列的定義，考查了學生的運算能力，以及化歸與轉化的思想． 20．（14分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過左焦點傾斜角為45的直線被橢圓截得的弦長為． （1）求橢圓E的方程； （2）若動直線l與橢圓E有且只有一個公共點，過點M（1，0）作l的垂線垂足為Q，求點Q的軌跡方程． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析： （1）由橢圓E的離心率為，可得=，解得a2=2b2，可得c=b．故橢圓E的方程可設為x2+2y2=2b2，則橢圓E的左焦點坐標為（﹣b，0），過左焦點傾斜角為45的直線方程為l′：y=x+b．與橢圓方程聯(lián)立可得交點坐標，利用弦長公式|AB|===，解得b即可得出． （2）當切線l的斜率存在且不為0時，設l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，根據直線l和橢圓E有且僅有一個交點，可得△=0，m2=2k2+1．由于直線MQ與l垂直，可得直線MQ的方程為：y=﹣，聯(lián)立，解得，消去m，k即可得出． 解答： 解：（1）∵橢圓E的離心率為， ∴=，解得a2=2b2， ∴c2=a2﹣b2=b2，即c=b． 故橢圓E的方程可設為x2+2y2=2b2，則橢圓E的左焦點坐標為（﹣b，0），過左焦點傾斜角為45的直線方程為l′：y=x+b． 設直線l′與橢圓E的交點記為A，B，聯(lián)立，消去y，得3x2+4bx=0， 解得x1=0，x2=﹣， ∴|AB|===，解得b=1． 故橢圓E的方程為． （2）（ i）當切線l的斜率存在且不為0時，設l的方程為y=kx+m， 聯(lián)立，消去y并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ∵直線l和橢圓E有且僅有一個交點，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0， 化簡并整理，得m2=2k2+1． ∵直線MQ與l垂直，∴直線MQ的方程為：y=﹣， 聯(lián)立，解得， ∴x2+y2====2．（*） （ ii）當切線l的斜率為0時，此時Q（1，1），符合（*）式． （ iii）當切線l的斜率不存在時，此時Q 或，符合（*）式． 綜上所述，點Q的軌跡方程為x2+y2=2． 點評： 本題主要考查軌跡方程和橢圓的定義、直線方程、直線與橢圓相切的位置關系，弦長問題，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想，屬于難題． 21．（14分）已知定義在[﹣2，2]上的奇函數f（x）滿足：當x∈（0，2]時，f（x）=x（x﹣2）． （1）求f（x）的解析式和值域； （2）設g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常數a＞0． ①試指出函數F（x）=g（f（x））的零點個數； ②若當1+是函數F（x）=g（f（x））的一個零點時，相應的常數a記為ak，其中k=1，2，…，n． 證明：a1+a2+…+an＜（n∈N*）． 考點： 數列與函數的綜合． 專題： 導數的綜合應用；等差數列與等比數列． 分析： （1）由奇函數性質得f（0）=0，當x∈[﹣2，0）時，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域． （2）①當t=0時，方程f（x）=t有三個實根，當t=1或t=﹣1時，方程f（x）=t只有一個實根，當t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）時，方程f（x）=t有兩個實根．設h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，由此利用導數性質能求出函數F（x）=g（f（x））的零點個數． ②由已知得g（f（1+））=0，g（f（1+））=g（）=ln（﹣ak（）=0，從而，記m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，由此利用導數性質能證明a1+a2+…+an＜（n∈N*）． 解答： （1）解：∵f（x）為奇函數，∴f（0）=0． 當x∈[﹣2，0）時，﹣x∈（0，2]，則f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2）， ∴f（x）=． ∵x∈[0，2]時，f（x）∈[﹣1，0]，x∈[﹣2，0），f（x）∈[0，1]， ∴f（x）的值域為[﹣1，1]． （2）①解：函數f（x）的圖象如圖a所示，當t=0時，方程f（x）=t有三個實根， 當t=1或t=﹣1時，方程f（x）=t只有一個實根， 當t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）時，方程f（x）=t有兩個實根． 由g（x）=0，解得a=， ∵f（x）的值域為[﹣1，1]， ∴只需研究函數y=在[﹣1，1]上的圖象特征． 設h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0， ， 令h′（x）=0，得x=e﹣2∈（0，1），h（e﹣2）=． ∵當﹣1＜x＜e﹣2時，h′（x）＞0，當e﹣2＜x＜1時，h′（x）＜0， 又∵ln23＜ln32，即， 由h（0）=，h（1）=，得h（0）＜h（1）， ∴h（x）的大致圖象如圖b所示． 根據圖象b可知，當0＜a＜、、a=時， 直線y=a與函數y=h（x）的圖象僅有一個交點， 則函數g（x）在[﹣1，1]上僅有一個零點，記零點為t， 則t分別在區(qū)間（﹣1，0）、（0，1）上，根據圖象a， 方程f（x）=t有兩個交點， 因此函數F（x）=g（f（x））有兩個零點． 類似地，當a=時，函數g（x）在[﹣1，1]上僅有零點0， 因此函數F（x）有﹣1、0、1這三個零點． 當a=時，函數g（x）在[﹣1，1]上有兩個零點，一個零點是1， 另一個零點在（0，1）內，因此函數Y（x）有三個零點． 當時，函數g（x）在[﹣1，1]上有兩個零點， 且這兩個零點均在（0，1）內，因此函數F（x）有四個零點． 當a＞時，函數g（x）在[﹣1，1]上沒有零點，因此函數F（x）沒有零點． ②證明：∵1+是函數F（x）=g（f（x））的一個零點， ∴有g（f（1+））=0，∵1+∈（0，2），∴f（1+）=， ∴g（f（1+））=g（）=ln（）﹣ak（）=0， ∴，k=1，2，…，n． 記m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=， ∵當x∈（0，1]時，m′（x）＜0， ∴當x∈（0，1]時，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x． 故有l(wèi)n（）＜，則＜=，k=1，2，…，n． 當n=1時，a1． 當n≥2時，∵＜=﹣， ∴a1+a2+a3+…+an＜+…+ ＜ = =＜． 綜上，有a1+a2+…+an＜（n∈N*）． 點評： 本題主要考查函數的性質、分段函數、導數應用、一元二次方程的求解、連續(xù)函數的零點存在性定理，放縮法證明數列不等式，考查學生數形結合、分類討論的數學思想，以及計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．