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2019-2020年高考數(shù)學二輪專題復習 專題突破篇 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)專題限時訓練4 文
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(xx河南洛陽統(tǒng)考)設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導函數(shù)為f′(x)．若?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，則的最大值為( )
A.＋2 B.－2
C．2＋2 D．2－2
答案：B
解析：由題意，得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，
得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，則a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，
則≤＝，
令t＝－1，可知t≥0.
當t>0時，≤＝≤＝－2，
當t＝0時，＝0，故的最大值為－2.故選B.
2．(xx山東卷)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
答案：B
解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，
若z＝ax＋y的最大值為4，則最優(yōu)解為x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，經檢驗知x＝2，y＝0符合題意，
∴ 2a＋0＝4，此時a＝2.故選B.
3．已知點A(2，－2)，點P(x，y)在所表示的平面區(qū)域內，則在方向上投影的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．
由向量投影的幾何意義知，當點P與點D重合時投影最大，當點P與點B或點C重合時投影最?。?
又C(－1,0)，D(0，－1)，
所以＝(－1,0)，＝(0，－1)，
所以在方向上的投影為＝，
在方向上的投影為＝－，
故在方向上投影的取值范圍是.
4．若a，b為實數(shù)，則“0
”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案：A
解析：00，b>0時，由0.
所以“0”的充分條件，
反之，當a<或b>時，可能有ab<0，所以“0”的不必要條件，故應為充分不必要條件．
5．已知三點A(2,1)，B(1，－2)，C，動點P(a，b)滿足0≤≤2，且0≤≤2，則動點P到點C的距離小于的概率為( )
A. B．1－
C. D．1－
答案：A
解析：動點P(a，b)滿足的不等式組為畫出可行域可知點P在以C為中心且邊長為的正方形及內部運動，而點P到點C的距離小于的區(qū)域是以C為圓心且半徑為的圓的內部，所以概率P＝＝.故選A.
二、填空題(每小題5分，共15分)
6．(xx河北唐山一模)已知x，y∈R且滿足x2＋2xy＋4y2＝6，則z＝x2＋4y2的取值范圍是________．
答案：[4,12]
解析：∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，
∴6－(x2＋4y2)≤，
∴x2＋4y2≥4(當且僅當x＝2y時，等號成立)．
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，
∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(當且僅當x＝－2y時，等號成立)．
綜上可知，4≤x2＋4y2≤12.
7．(xx浙江卷)設函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案：(－∞，]
解析：結合圖形(圖略)，由f(f(a))≤2可得f(a)≥－2，可得a≤.
8．設實數(shù)x，y滿足則μ＝的取值范圍是________．
答案：
解析：由約束條件作出可行域如圖陰影部分所示．
μ＝的幾何意義是原點與可行域內動點連線的斜率，
聯(lián)立解得A(2,1)．
聯(lián)立解得C(2,4)．
由圖可知，當動點為點A時，kOA最小，等于；
當動點為點C時，kOC最大，等于＝2.
所以μ＝的取值范圍是.
三、解答題(9題12分，10題、11題每題14分，共40分)
9．已知函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋cx＋d(a，c，d∈R)滿足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝x2－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)<0.
解：(1)∵f(0)＝0，∴d＝0.
∵f′(x)＝ax2－x＋c.
又f′(1)＝0，∴a＋c＝.
∵f′(x)≥0在R上恒成立，
即ax2－x＋－a≥0恒成立，
顯然當a＝0時，上式不恒成立，∴a≠0，
∴
即
解得a＝，c＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝x2－x＋.
由f′(x)＋h(x)<0，得
x2－x＋＋x2－bx＋－<0，
即x2－x＋<0，即(x－b)<0.
當b>時，解集為.
當b<時，解集為.
當b＝，解集為?.
10.(xx銀川模擬)運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/小時)．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元．
(1)求這次行車總費用y關于x的表達式；
(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．
解：(1)設所用時間t＝(h)，
y＝2＋14，x∈[50,100]．
所以，這次行車總費用y關于x的表達式是
y＝＋x，x∈[50,100]
.
(2)由(1)知，y＝＋x≥26，
當且僅當＝x，即x＝18時，等號成立．
故當x＝18千米/小時時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26元．
11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx.
(1)若a＝2b，試問函數(shù)f(x)能否在x＝－1處取到極
值？若有可能，求出實數(shù)a，b的值；否則說明理由；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,2)，(2,3)內各有一個極值點，試求w＝a－4b的取值范圍．
解：(1)由題意f′(x)＝x2＋ax＋b，
∵a＝2b，∴f′(x)＝x2＋2bx＋b.
若f(x)在x＝－1處取極值，
則f′(－1)＝1－2b＋b＝0，即b＝1，
此時f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
函數(shù)f(x)為單調遞增函數(shù)，這與該函數(shù)能在x＝－1處取極值矛盾，
∴該函數(shù)不能在x＝－1處取得極值．
(2)∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx在區(qū)間(－1,2)，(2,3)內分別有一個極值點，
∴f′(x)＝x2＋ax＋b＝0在(－1,2)，(2,3)內分別有一個實根，
∴?
畫出不等式表示的平面區(qū)域如圖所示，
當目標函數(shù)w＝a－4b過N(－5,6)時，對應的w＝－29；
當目標函數(shù)w＝a－4b過M(－2，－3)時，對應的w＝10.
故w＝a－4b的取值范圍為(－29,10)．
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