2019-2020年高二數(shù)學上學期期中試卷 文（含解析）.doc

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2019-2020年高二數(shù)學上學期期中試卷 文（含解析） 一、選擇題（本大題共10個小題；每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.） 1．（5分）直線x﹣y+1=0的傾斜角是（） A． 30 B． 45 C． 60 D． 135 2．（5分）如果命題“p∨q”為真命題，則（） A． p，q中至少有一個為真命題 B． p，q均為假命題 C． p，q均為真命題 D． p，q中至多有一個為真命題 3．（5分）全稱命題“?x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（） A． ?x∈R，x2+2x+3＜0 B． ?x?R，x2+2x+3≥0 C． ?x∈R，x2+2x+3≤0 D． ?x∈R，x2+2x+3＜0 4．（5分）已知直線m，n，l，若m∥n，n∩l=P，則m與l的位置關系是（） A． 異面直線 B． 相交直線 C． 平行直線 D． 相交直線或異面直線 5．（5分）設x∈R，則“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（） A． 充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 6．（5分）已知圓錐的母線長為4，側面展開圖的中心角為，那么它的體積為（） A． B． C． D． 4π 7．（5分）以直線x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交點為圓心，且過點（2，0）的圓的方程為（） A． （x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B． （x+2）2+（y+1）2=1 C． （x﹣2）2+（y﹣1）2=2 D． （x+2）2+（y+1）2=2 8．（5分）對于直線m、n和平面α，下面命題中的真命題是（） A． 如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥α B． 如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n與α相交 C． 如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D． 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n 9．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準線分別交于O、A、B三點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p=（） A． 1 B． C． 2 D． 3 10．（5分）過雙曲線的右焦點F2向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點，若，則雙曲線的離心率為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 二、填空題.（共5小題，每小題5分，共25分） 11．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面積是． 12．（5分）已知球的體積為，則球的大圓面積是． 13．（5分）設M為圓（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的點，則M點到直線3x+4y﹣2=0的最短距離為． 14．（5分）一長方體的各頂點均在同一個球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1，，3，則這個球的表面積為． 15．（5分）已知雙曲線=1的右焦點為F，P是雙曲線右支上任意一點，定點M（6，2），則3|PM|+|PF|的最小值是． 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答題卷相應的位置上． 16．（13分）如圖直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分別是棱CC1、AB、BB1中點． （1）求證：平面AEB1∥平面CFM； （2）求證：CF⊥BA1． 17．（13分）已知命題p：方程=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：m2﹣15m＜0，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求m的取值范圍． 18．（13分）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A． （Ⅰ）求實數(shù)b的值； （Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程． 19．（12分）如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓焦點F作弦AB．當直線AB斜率為0時，弦AB長4． （1）求橢圓的方程； （2）若|AB|=．求直線AB的方程． 20．（12分）已知四棱錐G﹣ABCD，四邊形ABCD是長為2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足為H，且H在直線CG上． （1）求證：平面AGD⊥平面BGC； （2）求三棱錐D﹣ACG的體積； （3）求三棱錐D﹣ACG的內(nèi)切球半徑． 21．（12分）已知橢圓的兩焦點為，，離心率． （1）求此橢圓的方程； （2）設直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值； （3）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由． 重慶一中xx高二上學期期中數(shù)學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共10個小題；每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.） 1．（5分）直線x﹣y+1=0的傾斜角是（） A． 30 B． 45 C． 60 D． 135 考點： 直線的傾斜角． 專題： 直線與圓． 分析： 化直線的方程為斜截式可得直線的斜率，進而可得其傾斜角． 解答： 解：直線方程可化為：y=x+1， ∴直線的斜率為1， 設其傾斜角為α，0≤α＜180， 則可得tanα=1， ∴α=45 故選：B 點評： 本題考查直線的傾斜角，涉及斜率和傾斜角的關系，屬基礎題． 2．（5分）如果命題“p∨q”為真命題，則（） A． p，q中至少有一個為真命題 B． p，q均為假命題 C． p，q均為真命題 D． p，q中至多有一個為真命題 考點： 復合命題的真假． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)p∨q為真命題的定義即可找出正確選項． 解答： 解：根據(jù)p∨q為真命題的定義即可知道：A正確． 故選A． 點評： 考查真假命題的概念，以及p∨q真假和p，q真假的關系． 3．（5分）全稱命題“?x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（） A． ?x∈R，x2+2x+3＜0 B． ?x?R，x2+2x+3≥0 C． ?x∈R，x2+2x+3≤0 D． ?x∈R，x2+2x+3＜0 考點： 全稱命題；命題的否定． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)全稱命題的否定要改成存在性命題的原則，可寫出原命題的否定． 解答： 解：原命題為：?x∈R，x2+2x+3≥0 ∵原命題為全稱命題 ∴其否定為存在性命題，且不等號須改變 ∴原命題的否定為：?x∈R，x2+2x+3＜0 故選項為：D． 點評： 本題考查命題的否定的寫法，常見的命題的三種形式寫否定：（1）“若A，則B”的否定為“若￢A，則￢B”；（2）全稱命題的否定為存在性命題，存在性命題的否定為全稱命題；（3）切命題的否定為或命題，或命題的否定為切命題．本題考查第二種形式，屬簡單題 4．（5分）已知直線m，n，l，若m∥n，n∩l=P，則m與l的位置關系是（） A． 異面直線 B． 相交直線 C． 平行直線 D． 相交直線或異面直線 考點： 異面直線的判定． 專題： 空間位置關系與距離． 分析： 利用正方體的空間結構求解． 解答： 解：如圖，AB∥CD，CD∩DD1=D，∴AB與DD1異面， AB∥CD，CD∩AD=D，∴AB與AD相交， ∴若m∥n，n∩l=P，則l與m的位置關系：相交或異面． 故選D． 點評： 本題考查兩直線的位置關系的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 5．（5分）設x∈R，則“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（） A． 充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 求出二次不等式的解，然后利用充要條件的判斷方法判斷選項即可． 解答： 解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞； 所以當“x＞”?“2x2+x﹣1＞0”； 但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”． 所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要條件． 故選A． 點評： 本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，二次不等式的解法，考查計算能力． 6．（5分）已知圓錐的母線長為4，側面展開圖的中心角為，那么它的體積為（） A． B． C． D． 4π 考點： 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）． 專題： 計算題；空間位置關系與距離． 分析： 設圓錐的底面半徑為R，利用側面展開圖的中心角為，求得R，再根據(jù)圓錐的底面半徑，高，母線構成直角三角形求得圓錐的高，代入圓錐的體積公式計算． 解答： 解：設圓錐的底面半徑為R， ∵側面展開圖的中心角為，∴π4=2πR， ∴R=1，圓錐的高為=， ∴圓錐的體積V=π12=． 故選：A． 點評： 本題考查了圓錐的體積公式及圓錐的側面展開圖，解答的關鍵是利用圓錐的底面半徑，高，母線構成直角三角形求得圓錐的高． 7．（5分）以直線x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交點為圓心，且過點（2，0）的圓的方程為（） A． （x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B． （x+2）2+（y+1）2=1 C． （x﹣2）2+（y﹣1）2=2 D． （x+2）2+（y+1）2=2 考點： 直線與圓相交的性質(zhì)． 專題： 計算題；直線與圓． 分析： 求出直線的交點坐標，然后求出圓的半徑，即可求出圓的方程． 解答： 解：由題意，直線x﹣2y=0和x+2y﹣4=0聯(lián)立，解得x=2，y=1， ∴兩條直線的交點為：（2，1）． 所求圓的半徑為：1， ∴所求圓的標準方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1． 故選：A． 點評： 本題考查圓的標準方程的求法，求出圓的圓心與半徑是解題的關鍵． 8．（5分）對于直線m、n和平面α，下面命題中的真命題是（） A． 如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥α B． 如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n與α相交 C． 如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D． 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n 考點： 四種命題的真假關系；空間中直線與直線之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系． 分析： 根據(jù)空間中直線與直線之間的位置關系和空間中直線與平面之間的位置關系及其性質(zhì)對A、B、C、D四個選項進行一一判斷，從而進行求解． 解答： 解：A、∵m?α，n?α，m、n是異面直線，若n⊥m，則n⊥α，故A錯誤； B、∵m?α，n?α，m、n是異面直線，可知n與α也可以平行，故B錯誤； C、∵m?α，n∥α，m、n共面，?m∥n，故C正確； D、∵m∥α，n∥α，m、n共面，可知m與n也可以垂直，故D錯誤； 故選C． 點評： 此題是一道立體幾何題，主要考查直線與直線之間的位置關系：相交與平行；空間中直線與平面之間的位置關系：平行或相交，比較基礎． 9．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準線分別交于O、A、B三點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p=（） A． 1 B． C． 2 D． 3 考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 求出雙曲線的漸近線方程與拋物線y2=2px（p＞0）的準線方程，進而求出A，B兩點的坐標，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，列出方程，由此方程求出p的值． 解答： 解：∵雙曲線， ∴雙曲線的漸近線方程是y=x 又拋物線y2=2px（p＞0）的準線方程是x=﹣， 故A，B兩點的縱坐標分別是y=，雙曲線的離心率為2，所以， ∴則， A，B兩點的縱坐標分別是y==， 又，△AOB的面積為，x軸是角AOB的角平分線 ∴，得p=2． 故選C． 點評： 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點的坐標，列出三角形的面積與離心率的關系也是本題的解題關鍵，有一定的運算量，做題時要嚴謹，防運算出錯． 10．（5分）過雙曲線的右焦點F2向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點，若，則雙曲線的離心率為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用相互垂直的直線的斜率之間的關系可得直線PF2的斜率，即可得到直線方程，直線方程分別與漸近線方程聯(lián)立即可得出點P，Q的坐標，再利用向量共線即可得出a，b，c的關系，利用離心率計算公式即可． 解答： 解：如圖所示， ∵PF2⊥OP，∴PF2的斜率為． ∴直線PF2的直線方程為． 聯(lián)立解得．∴P． 聯(lián)立，解得． ∴Q． ∴=，=． ∵，∴c2=4a2． ∴=2． 故選A． 點評： 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線相交問題、向量的運算等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題． 二、填空題.（共5小題，每小題5分，共25分） 11．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面積是20π． 考點： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計算題；空間位置關系與距離． 分析： 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個底面半徑為2，高為5的圓柱，代入圓柱的側面積公式，可得答案． 解答： 解：由已知可得該幾何體為圓柱 且圓柱的底面直徑為4，高h=5 即圓柱的底面半徑r=2 故該幾何體的側面積S=2πrh=20π． 故答案為：20π． 點評： 本題考查的知識點是由三視圖求面積，其中根據(jù)已知中的三視圖分析出幾何體的形狀及底面半徑，高等幾何量是解答的關鍵． 12．（5分）已知球的體積為，則球的大圓面積是4π． 考點： 球的體積和表面積． 專題： 空間位置關系與距離． 分析： 運用體積公式求解半徑，再運用圓的面積公式求解． 解答： 解：∵球的體積為， ∴R=2， ∴球的大圓面積是πR2=4π 故答案為：4π 點評： 本題考查了球的體積公式，面積公式，屬于計算題． 13．（5分）設M為圓（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的點，則M點到直線3x+4y﹣2=0的最短距離為2． 考點： 直線與圓的位置關系；點到直線的距離公式． 專題： 直線與圓． 分析： 利用點到直線的距離公式求出圓心M到直線3x+4y﹣2=0的距離d，減去半徑即可得到最短距離． 解答： 解：由圓（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，得到圓心M（5，3），半徑r=3， ∵圓心M到直線3x+4y﹣2=0的距離d==5， ∴M點到直線3x+4y﹣2=0的最短距離為5﹣3=2． 故答案為：2 點評： 此題考查了直線與圓的位置關系，以及點到直線的距離公式，根據(jù)題意得出d﹣r為最短距離是解本題的關鍵． 14．（5分）一長方體的各頂點均在同一個球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1，，3，則這個球的表面積為16π． 考點： 球的體積和表面積． 專題： 計算題；空間位置關系與距離． 分析： 求出長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求出球的表面積． 解答： 解：由題意可知長方體的對角線的長，就是外接球的直徑， 所以球的直徑：=4，所以外接球的半徑為：2． 所以這個球的表面積：4π22=16π． 故答案為：16π． 點評： 本題考查球內(nèi)接多面體，球的體積和表面積的求法，考查計算能力． 15．（5分）已知雙曲線=1的右焦點為F，P是雙曲線右支上任意一點，定點M（6，2），則3|PM|+|PF|的最小值是13． 考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析： 先根據(jù)雙曲線方程求得a，b，進而求得c，則雙曲線的離心率和右準線方程可得，進而根據(jù)雙曲線的第二定義可知|MP|=e?d，進而推斷出當MA垂直于右準線時，d+|PM|取得最小值進而推斷3|PM|+|PF|的最小值． 解答： 解：由題意可知，a=，b=2，c=3， ∴e=，右準線方程為x=，且點P在雙曲線右支上， 則|PF|=e?d=d（d為點P到右準線的距離）． ∴3|PM|+|PF|=3（d+|PA|）， 當PM垂直于右準線時， d+|MA|取得最小值，最小值為6﹣=， 故3|MF|+|MA|的最小值為13． 故答案為：13 點評： 本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)．考查了學生數(shù)形結合和轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學思想． 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答題卷相應的位置上． 16．（13分）如圖直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分別是棱CC1、AB、BB1中點． （1）求證：平面AEB1∥平面CFM； （2）求證：CF⊥BA1． 考點： 直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面平行的判定． 專題： 證明題；空間位置關系與距離． 分析： （1）利用平面與平面平行的判定定理可得結論； （2）證明CF⊥平面ABB1A1，即可證明CF⊥BA1． 解答： 證明：（1）∵B1M∥CE，且B1M=CE， ∴四邊形CEB1M是平行四邊形， ∴CE∥EB1 又∵FM∥AB1， CF∩FM=M，EB1∩AB1=B1， ∴平面AEB1∥平面CFM； （2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BB1⊥平面ABC， ∴BB1⊥CF， ∵AC=BC，AF=FB， ∴CF⊥AB，BB1∩AB=B， ∴CF⊥平面ABB1A1， ∴CF⊥BA1． 點評： 本題考查平面與平面平行的判定定理，考查線面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 17．（13分）已知命題p：方程=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：m2﹣15m＜0，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求m的取值范圍． 考點： 橢圓的簡單性質(zhì)；復合命題的真假． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 根據(jù)題意求出命題p、q為真時m的范圍，由p∨q為真，p∧q為假得p真q假，或p假q真，進而求出答案即可． 解答： 解：命題p為真命題時， 將方程改寫為， 只有當1﹣m＞2m＞0，即時，方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓， 若命題q為真命題時， 0＜m＜15， ∵p∧q為假命題，p∨q為真命題， ∴p，q中有一真一假； 當p真q假時，無解； 當p假q真時，，解得 綜上：m的取值范圍為 點評： 解決問題的關鍵是熟練掌握命題真假的判定方法，由復合命題的真假判斷出簡單命題的真假結合有關的基礎知識進行判斷解題即可． 18．（13分）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A． （Ⅰ）求實數(shù)b的值； （Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程． 考點： 圓與圓錐曲線的綜合． 專題： 綜合題． 分析： （I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直線l與拋物線C相切，知△=（﹣4）2﹣4（﹣4b）=0，由此能求出實數(shù)b的值． （II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x2=4y，得點A的坐標為（2，1），因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=﹣1的距離，由此能求出圓A的方程． 解答： 解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①， 因為直線l與拋物線C相切， 所以△=（﹣4）2﹣4（﹣4b）=0， 解得b=﹣1； （II）由（I）可知b=﹣1， 把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0， 解得x=2，代入拋物線方程x2=4y，得y=1， 故點A的坐標為（2，1）， 因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=﹣1的距離， 即r=|1﹣（﹣1）|=2， 所以圓A的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4． 點評： 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用． 19．（12分）如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓焦點F作弦AB．當直線AB斜率為0時，弦AB長4． （1）求橢圓的方程； （2）若|AB|=．求直線AB的方程． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）由題意知，2a=4，又a2=b2+c2，聯(lián)立即可解出． （2）設直線AB的方程為y=k（x﹣1），將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得（3﹣4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， 利用根與系數(shù)的關系、弦長公式即可得出． 解答： 解：（1）由題意知，2a=4， 又a2=b2+c2，解得：， ∴橢圓方程為：． （2）設直線AB的方程為y=k（x﹣1）， 將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， 則， ∴． 解得k=2， ∴直線AB方程為2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0． 點評： 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 20．（12分）已知四棱錐G﹣ABCD，四邊形ABCD是長為2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足為H，且H在直線CG上． （1）求證：平面AGD⊥平面BGC； （2）求三棱錐D﹣ACG的體積； （3）求三棱錐D﹣ACG的內(nèi)切球半徑． 考點： 平面與平面垂直的判定；球的體積和表面積． 專題： 綜合題；空間位置關系與距離． 分析： （1）過點B作平面AGC的垂線，垂足H在CG上，由ABCD是正方形，面ABCD⊥面ABG，由面面垂直的性質(zhì)可得BC⊥面ABG，則BC⊥AG，又由BH⊥面AGC得BH⊥AG，由線面垂直的判定定理可得AG⊥面AGD后，可由面面垂直的判定定理得到面AGD⊥面BGC （2）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中點E，連接GE，則GE⊥AB，利用等積法可得三棱錐D﹣ACG的體積； （3）利用等體積求三棱錐D﹣ACG的內(nèi)切球半徑． 解答： （1）證明：過點B作平面AGC的垂線，垂足H在CG上，則 ∵ABCD是正方形， ∴BC⊥AB， ∵面ABCD⊥面ABG， ∴BC⊥面ABG， ∵AG?面ABG， ∴BC⊥AG， 又BH⊥面AGC， ∴BH⊥AG， 又∵BC∩BH=B， ∴AG⊥面AGD， ∴面AGD⊥面BGC； （2）解：由（1）知AG⊥面BGC， ∴AG⊥BG， 又AG=BG， ∴△ABG是等腰Rt△，取AB中點E，連接GE，則GE⊥AB ∴GE⊥面ABCD ∴VD﹣ACG=VG﹣ACD=GE?S△ACD=??2a?（2a）2=； （3）解：記三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，， △DCG中，DG=GC=a，DC=2a，S△DOG=， △ACG中，AC=2a，GC=a，AG=a，S△ACG=， △DAG中，DA=2a，AG=a，S△DAG=， △ADC中，S△DAC=2a2 由， 可得r=． 點評： 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，三棱錐的體積，其中（1）要熟練掌握空間中線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題． 21．（12分）已知橢圓的兩焦點為，，離心率． （1）求此橢圓的方程； （2）設直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值； （3）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程． 專題： 綜合題；壓軸題；數(shù)形結合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法． 分析： （1）求橢圓的方程即是求a，b兩參數(shù)的值，由題設條件橢圓的兩焦點為，，離心率求出a，b即可得到橢圓的方程． （2）本題中知道了直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，故可由弦長公式建立方程求出參數(shù)m的值．首先要將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用弦長公式建立方程； （3）設能構成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設k＜0），則BC邊所在直線的方程為，將此兩直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，分別解出A，C兩點的坐標，用坐標表示出兩線段AB，BC的長度，由兩者相等建立方程求參數(shù)k，由解的個數(shù)判斷三角形的個數(shù)即可． 解答： 解：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0），…（1分） 則，，…（2分）∴a=2，b2=a2﹣c2=1…（3分） ∴所求橢圓方程為．…（4分） （2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，…（6分） 則△=64m2﹣80（m2﹣1）＞0得m2＜5（*） 設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，y1﹣y2=x1﹣x2，…（7分） …（9分） 解得.，滿足（*） ∴．…（10分） （3）設能構成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直 或平行于x軸，故可設BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設k＜0），則BC邊所在直線的方 程為，由，得A，…（11分） ∴，…（12分） 用代替上式中的k，得， 由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2，…（13分） ∵k＜0， ∴解得：k=﹣1或， 故存在三個內(nèi)接等腰直角三角形．…（14分） 點評： 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關鍵是掌握直線與圓錐曲線位置關系中的相關的知識，如本題中求解的重點是弦長公式的熟練掌握運用，依據(jù)條件進行正確轉(zhuǎn)化，分析出建立方程的依據(jù)很關鍵，如本題第二小題利用弦長公式建立方程求參數(shù)，第三小題中利用等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩弦長AB與BC相等，由此關系得到斜率k所滿足的方程，將求解有幾個三角形的問題轉(zhuǎn)化為關于k的方程有幾個根的問題，此類問題中正確轉(zhuǎn)化，充分利用等量關系是解題的重中之重．本題中轉(zhuǎn)化靈活，運算量大，且比較抽象，易出錯，做題時要嚴謹認真．