2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊六 排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)模型2完整講義（學(xué)生版）.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊六 排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)模型2完整講義（學(xué)生版） 知識(shí)內(nèi)容 1．基本計(jì)數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理． ⑵乘法原理 分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)子步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同方法，……，做第個(gè)步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理． ⑶加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用 如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理． 分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問(wèn)題的基本思想方法，這兩個(gè)原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用． 2． 排列與組合 ⑴排列：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對(duì)象叫做元素） 排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示． 排列數(shù)公式：，，并且． 全排列：一般地，個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列． 的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：． ⑵組合：一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合． 組合數(shù)：從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示． 組合數(shù)公式：，，并且． 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：．（規(guī)定） ⑶排列組合綜合問(wèn)題 解排列組合問(wèn)題，首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時(shí)要掌握一些常見(jiàn)類型的排列組合問(wèn)題的解法： 1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； 2．分類分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需要分類討論或分步計(jì)算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏． 3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法． 4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列． 5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空． 6．插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題——把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有． 7．分組、分配法：分組問(wèn)題（分成幾堆，無(wú)序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以！ 8．錯(cuò)位法：編號(hào)為1至的個(gè)小球放入編號(hào)為1到的個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱為錯(cuò)位排列，特別當(dāng)，3，4，5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1，2，9，44．關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問(wèn)題． 1．排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問(wèn)題，解決此類問(wèn)題通常有三種途徑： ①元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； ②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； ③間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；再通過(guò)分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；最后列出式子計(jì)算作答． 2．具體的解題策略有： ①對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排； ②理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類，分類后要驗(yàn)證是否不重不漏； ③對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問(wèn)題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)； ④對(duì)于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對(duì)于元素間隔排列的問(wèn)題，采取插空法或隔板法； ⑤順序固定的問(wèn)題用除法處理；分幾排的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直排問(wèn)題處理； ⑥對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮反面． ⑦對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問(wèn)題，需要構(gòu)造模型． 典例分析 分堆問(wèn)題 【例1】 本不同的書(shū)，按照以下要求處理，各有幾種分法？ ⑴ 一堆一本，一堆兩本，一堆三本； ⑵ 甲得一本，乙得兩本，丙得三本； ⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本； ⑷ 平均分給甲、乙、丙三人； ⑸ 平均分成三堆． 【例2】 有6本不同的書(shū) ⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？ ⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？ ⑷分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？ ⑸分給甲1本、乙1本、丙4本，有多少種不同的分配方法？ ⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？ ⑺擺在3層書(shū)架上，每層2本，有多少種不同的擺法？ 【例3】 七個(gè)人參加義務(wù)勞動(dòng)，按下列方法分組有多少種不同的分法？ ⑴選出5個(gè)人再分成兩組，一組2人，另一組3人； ⑵選出6個(gè)人，分成兩組，每組都是3人； ⑶選出2人一組、3人一組，輪流挖土、運(yùn)土． 【例4】 將名大學(xué)生分配到個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）． 【例5】 把一同排6張座位編號(hào)為的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是 （ ） A． B． C． D． 【例6】 現(xiàn)有3輛公交車(chē)、3 位司機(jī)和3位售票員，每輛車(chē)上需配1位司機(jī)和1位售票員，問(wèn)車(chē)輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？ 【例7】 3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（ ） A．90種 B．180種 C．270種 D．540種 【例8】 將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為（ ） A． 540 B． 300 C． 180 D． 150 【例9】 某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有 種．（用數(shù)字作答） 染色問(wèn)題 【例10】 如圖，正五邊形中，若把頂點(diǎn)A、B、C、D、E染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不相同，則不同的染色方法有（ ） A． 30種 B． 27種 C． 24種 D． 21種 【例11】 將填入的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫(xiě)方法共有____________． 【例12】 將填入的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫(xiě)方法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例13】 用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給圖中的、、、四個(gè)小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數(shù)為（ ）． A． B． C． D． 【例14】 將個(gè)和個(gè)共個(gè)字母填在如圖所示的個(gè)小方格內(nèi)，每個(gè)小方格內(nèi)至多填個(gè)字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法共有__________種（用數(shù)字作答）． 【例15】 如圖所示、、、、為個(gè)區(qū)域，現(xiàn)備有種顏色為個(gè)區(qū)域涂色，涂色要求：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，每個(gè)區(qū)域只涂一色，共有多少種不同的涂色方法？ 【例16】 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）． 【例17】 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色．要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）． 錯(cuò)位排列 【例18】 編號(hào)為的五人入座編號(hào)也為的五個(gè)座位，至多有人對(duì)號(hào)的坐法有______種． 【例19】 7個(gè)人到7個(gè)地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，問(wèn)：共有多少種旅游方案? 【例20】 7個(gè)人到7個(gè)地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，問(wèn)：共有多少種旅游方案? 【例21】 7個(gè)人到7個(gè)地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，問(wèn)：共有多少種旅游方案?