2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第30課 正弦定理與解三角形要點導學.doc

《2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第30課 正弦定理與解三角形要點導學.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第30課 正弦定理與解三角形要點導學.doc（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第30課 正弦定理與解三角形要點導學 正弦定理的直接應用 　在△ABC中,已知a=3,b=2,B=2A. (1) 求cosA的值; (2) 求c的值. [思維引導](1) 結合已知條件,利用正弦定理構造關系式,解決問題的關鍵在于條件“B=2A”的運用;(2) 求出sinA,sinC,結合正弦定理即可求得c. [解答](1) 因為a=3,b=2,B=2A, 所以在△ABC中,由正弦定理得=, 所以=,故cosA=. (2) 由(1)知cosA=,所以sinA==. 又因為B=2A,所以cosB=cos2A=2cos2A-1=, 所以sinB==. 在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=. 由正弦定理得c==5. [精要點評]解三角形時,正弦定理是一個重要的工具.在結合正弦定理解三角形時,要注意:其一,什么條件下用;其二,怎么用;其三,如何靈活恰當?shù)剡\用.特別是在邊角關系轉化時對定理的熟練應用. 　(xx廣東卷)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=2b,則=　　　　. [答案]2 [解析]由正弦定理及bcosC+ccosB=2b,得sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB.因為sin(B+C)=sinA,所以sinA=2sinB,利用正弦定理得a=2b,故=2. 利用正弦定理判斷三角形的形狀 　在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,試判斷△ABC的形狀. [思維引導]從條件我們容易發(fā)現(xiàn)角C可以寫成π-(A+B),另外注意到兩邊都是關于邊的二次齊次式,因此可以利用正弦定理將邊化為角處理. [解答]由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 得b2[sin(A-B)+sin(A+B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], 即b2sinAcosB=a2cosAsinB, 即sin2BsinAcosB=sin2AcosAsinB, 所以sin2B=sin2A. 由于A,B是三角形的內角, 故0<2A<2π,0<2B<2π, 所以2A=2B或2A=π-2B, 即A=B或A+B=. 故△ABC為等腰三角形或直角三角形. [精要點評]正弦定理的一個重要作用就是將邊化為角處理,借助三角恒等變換得到問題的解. 　若acosA=bcosB,試判斷△ABC的形狀. [解答]因為acosA=bcosB, 所以sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B. 又因為A,B∈(0,π),所以2A,2B∈(0,2π), 所以2A=2B或2A+2B=π, 所以A=B或A+B=, 所以△ABC為等腰三角形或直角三角形. 正弦定理及面積公式的綜合應用 　(xx重慶卷改編)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足a+b+c=8,sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面積S=sinC,求a和b的值. [思維引導]利用降冪公式化簡sinAcos2+sinBcos2=2sinC,再利用正弦定理將角的關系轉化為邊的關系,最后結合三角形面積公式,即可通過解方程組得出a和b的值. [解答]由sinAcos2+sinBcos2=2sinC, 得sinA+sinB=2sinC, 化簡得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC. 因為sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, 所以sinA+sinB=3sinC,由正弦定理可知a+b=3c. 又a+b+c=8,所以a+b=6.?、? 由于S=absinC=sinC,所以ab=9,?、? 結合①②解得a=b=3. [精要點評](1) 解決此類問題,要根據(jù)已知條件,靈活運用正弦定理或余弦定理及其推論,求邊角或將邊角互化,同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.(2) 注意降冪公式和升冪公式在化簡過程中的靈活運用. 　(xx德州模擬)已知a,b,c分別為△ABC的三個內角A,B,C的對邊,向量m=(sinA,1),n=(cosA,),且m∥n. (1) 求角A的大小; (2) 若a=2,b=2,求△ABC的面積. [思維引導](1)由m∥n,得sinA=cosA,即tanA=.又A∈(0,π),得到A=.(2)首先由正弦定理可得sinB==,通過討論aBsinA>sinB是準確判斷并取舍解的情況的工具.(3) 利用正弦定理將邊化為角或者將角化為邊處理,這是正弦定理的一種重要作用,正弦定理在此承擔了邊與角之間互化的橋梁作用. 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足ccos B+bcos C=4acos A. (1) 求cos A的值; (2) 若△ABC的面積是,求的值. [規(guī)范答題](1) 利用正弦定理==, 得sin Ccos B+sin Bcos C=4sin Acos A, sin(B+C)=4sin Acos A, 即sin A=4cos Asin A, 所以cos A=.(7分) (2) 由(1)得sin A=, 由題意得S△ABC=bcsin A=, 所以bc=8, 所以=bccos A=2.(14分) 1. 在△ABC中,已知b=4,c=8,B=30,那么a=　　　　. [答案]4 [解析]由正弦定理得sin C===1,所以C=90,A=60.又由正弦定理得a===4. 2. 在銳角三角形ABC中,角A,B所對的邊分別為a,b.若2asinB=b,則A=　　　　. [答案] [解析]由2asin B=b及正弦定理得sin A==,因為△ABC是銳角三角形,所以A∈,所以A=. 3. 已知==,那么△ABC的形狀是　　　　. [答案]等腰直角三角形 [解析]由正弦定理及==得tan B=tan C=1,注意到角A,B,C是△ABC的內角,所以B=C=,從而A=,△ABC是等腰直角三角形. 4. (xx福建卷)在△ABC中,A=60,AC=4,BC=2,則△ABC的面積為　　　　. [答案]2 [解析]由=,得sinB==1,所以B=90,C=180-(A+B)=30,則S△ABC=ACBCsinC=42sin30=2. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第59-60頁).