2019年高中數(shù)學(xué) 2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法綜合檢測(cè) 蘇教版選修4-2.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法綜合檢測(cè) 蘇教版選修4-2 1．計(jì)算： (1)； (2). 【解】　(1) ＝ ＝. (2)＝ ＝. 2．已知A＝，B＝，計(jì)算AB，并從變換的角度解釋． 【解】　AB＝ ＝. AB所對(duì)應(yīng)的變換為復(fù)合變換，即由旋轉(zhuǎn)變換和切變變換連續(xù)變換得到的． 3．已知M＝，A＝，且MN＝A，求二階矩陣N. 【解】　設(shè)N＝，則 ＝＝， ∴ 解得 ∴N＝. 4．設(shè)E為二階單位矩陣，試證明對(duì)于任意二階矩陣M，ME＝EM＝M. 【證明】　設(shè)M＝，a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則 ME＝＝＝M， EM＝ ＝＝M. 所以等式得證． 5．已知A＝，試求A2，A3，并據(jù)此猜想An(n∈N*)． 【解】　因?yàn)锳＝， 所以A2＝＝ ＝， A3＝ ＝， 所以據(jù)此猜想An＝. 6．根據(jù)如圖所示的變換，你能將其分解為已知的一些變換嗎？ 【解】　(1)先施以矩陣對(duì)應(yīng)的關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換，再往以矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換得到． (2)先施以矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換，再施以矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換得到． 7．已知矩陣A＝，B＝. (1)計(jì)算AB，BA； (2)設(shè)M＝AB，N＝BA，若矩陣M，N分別把直線l：x＋y＋2＝0變?yōu)橹本€l1，l2，求直線l1，l2的方程． 【解】　(1)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝. (2)任取直線l上一點(diǎn)P(x，y)經(jīng)矩陣M變換后為點(diǎn)P′(x′，y′)， 則＝＝， ∴，即， 把上式代入x＋y＋2＝0得： x′＋y′＋x′＋y′＋2＝0， 即x′＋y′＋2＝0， ∴直線l1的方程為x＋y＋2＝0， 同理可求l2的方程為3x＋7y＋10＝0. 8．在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積，這里矩陣M＝，N＝. 【解】　由題設(shè)得MN＝＝. 由＝，＝， ＝， 可知A，B，C三點(diǎn)在矩陣MN作用下變換所得到的點(diǎn)分別是A′(0,0)，B′(1，－1)，C′(0，－2)．計(jì)算得△A′B′C′的面積為1. 所以△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積為1. 9．已知矩陣M＝，N＝， 且MN＝. (1)求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值； (2)求直線y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象． 【解】　由題設(shè)得，解得：. (2)設(shè)直線y＝3x上的任意點(diǎn)(x，y)，在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象是點(diǎn)(x′，y′)， 由＝＝＝得y′＝－x′，即點(diǎn)(x′，y′)必在直線y＝－x上．由(x，y)的任意性可知，直線y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象的方程為y＝－x. 10．假設(shè)我們收集到蘋(píng)果和香蕉在兩個(gè)不同商店的價(jià)格，每個(gè)男性與女性分別對(duì)這兩種水果的日需求量以及兩個(gè)不同公司中男性與女性人員數(shù)量，并用矩陣表示如下： 　　　　價(jià)格　　　　　　日需求量 A＝，B＝， 　　　人員數(shù)量 C＝. 利用A，B，C，按下列要求求出矩陣乘積： (1)計(jì)算乘積BA，并說(shuō)明該乘積矩陣表示的是什么量表； (2)哪兩個(gè)矩陣的乘積可以表示兩個(gè)不同公司對(duì)兩種不同水果的日需求量？并計(jì)算出這個(gè)量表． 【解】　(1)BA＝ ＝. 由于7.1＝11.5＋22.8，表示男性每日在A店買蘋(píng)果和香蕉共需消費(fèi)7.1元；10.1＝31.5＋22.8，表示女性每日在A店買蘋(píng)果和香蕉共需消費(fèi)10.1元．故BA表示男、女在A，B兩店每日需消費(fèi)的金額，用量表表示如下： (2)C與B的乘積可以表示兩個(gè)不同公司對(duì)兩種不同水果的日需求量： CB＝ ＝， 故量表為